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(
21.4第3课时二次函数应用中的其他问题（重点练)
)
1．如图，顶点坐标为的抛物线经过点，与轴的交点在，之间（含端点），则下列结论：①；②；③对于任意实数，总成立；④关于的方程有两个不相等的实数根．其中结论正确的个数为（
）
A．1个
B．2个
C．3个
D．4个
【答案】C
【解析】
【分析】
利用抛物线开口方向得到a＜0，再由抛物线的对称轴方程得到b＝﹣2a，则3a+b＝a，于是可对①进行判断；利用2≤c≤3和c＝﹣3a可对②进行判断；利用二次函数的性质可对③进行判断；根据抛物线y＝ax2+bx+c与直线y＝n﹣1有两个交点可对④进行判断．
【详解】
解：∵抛物线开口向下，
∴a＜0，
而抛物线的对称轴为直线x＝﹣＝1，即b＝﹣2a，
∴3a+b＝3a﹣2a＝a＜0，所以①错误；
∵2≤c≤3，
而c＝﹣3a，
∴2≤﹣3a≤3，
∴﹣1≤a≤﹣，所以②正确；
∵抛物线的顶点坐标（1，n），
∴x＝1时，二次函数值有最大值n，
∴a+b+c≥am2+bm+c，
即a+b≥am2+bm，所以③正确；
∵抛物线的顶点坐标（1，n），
∴抛物线y＝ax2+bx+c与直线y＝n﹣1有两个交点，
∴关于x的方程ax2+bx+c＝n﹣1有两个不相等的实数根，所以④正确．
故选：C．
【点评】本题考查了二次函数图象与系数的关系：二次项系数a决定抛物线的开口方向和大小．当a＞0时，抛物线向上开口；当a＜0时，抛物线向下开口；一次项系数b和二次项系数a共同决定对称轴的位置：当a与b同号时，对称轴在y轴左；当a与b异号时，对称轴在y轴右．常数项c决定抛物线与y轴交点：抛物线与y轴交于（0，c）．抛物线与x轴交点个数由判别式确定：b2﹣4ac＞0时，抛物线与x轴有2个交点；b2﹣4ac＝0时，抛物线与x轴有1个交点；b2﹣4ac＜0时，抛物线与x轴没有交点．
2．若抛物线与轴两个交点间的距离为2，称此抛物线为定弦抛物线，已知某定弦抛物线的对称轴为直线，将此抛物线向左平移2个单位，再向下平移3个单位，得到的抛物线过点(
)
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【解析】
分析：根据定弦抛物线的定义结合其对称轴，即可找出该抛物线的解析式，利用平移的“左加右减，上加下减”找出平移后新抛物线的解析式，再利用二次函数图象上点的坐标特征即可找出结论．
详解：∵某定弦抛物线的对称轴为直线x=1，
∴该定弦抛物线过点（0，0）、（2，0），
∴该抛物线解析式为y=x（x-2）=x2-2x=（x-1）2-1．
将此抛物线向左平移2个单位，再向下平移3个单位，得到新抛物线的解析式为y=（x-1+2）2-1-3=（x+1）2-4．
当x=-3时，y=（x+1）2-4=0，
∴得到的新抛物线过点（-3，0）．
故选：B．
点睛：本题考查了抛物线与x轴的交点、二次函数图象上点的坐标特征、二次函数图象与几何变换以及二次函数的性质，根据定弦抛物线的定义结合其对称轴，求出原抛物线的解析式是解题的关键．
3．某公司计划投资、两种产品，若只投资产品，所获得利润（万元）与投资金额（万元）之间的关系如图所示，若只投资产品，所获得利润（万元）与投资金额（万元）的函数关系式为．
（1）求与之间的函数关系式；
（2）若投资产品所获得利润的最大值比投资产品所获得利润的最大值少万元，求的值；
（3）该公司筹集万元资金，同时投资、两种产品，设投资产品的资金为万元，所获得的总利润记作万元，若时，随的增大而减少，求的取值范围．
【答案】（1）；（2）；（3）
【解析】
【分析】
（1）由图象可得函数抛物线的顶点坐标及经过的点，由待定系数法即可求解；
（2）由（1）可得的最大值，由的函数解析式求出产品所获得利润的最大值，再依据题意列方程求解即可；
（3）由得，依据题意由二次函数性质可得抛物线对称轴在30的左边，由此得关于n的不等式求解即可．
【详解】
解：（1）由图象可知点是抛物线的顶点坐标，
设与之间的函数关系式为，
又点在抛物线上，
，
解得．
与之间的函数关系式为；
（2）由（1）得，投资产品所获得利润的最大值为，
，
投资产品所获得利润的最大值为．
由题意可得，，解得．
当时不符合题意，
；
（3）由题意可得，．
当时，随的增大而减小，
解得．
的取值范围为．
【点评】此题主要考查了二次函数的性质及应用，根据已知得出W与x的关系式，进而求出最值，注意按题意分析得出正确关系式是解题关键．
4．已知直线l：y=kx和抛物线C：y=ax2+bx+1．
（1）当k=1，b=1时，抛物线C：y=ax2+bx+1的顶点在直线l：y=kx上，求a的值；
（2）若把直线l向上平移k2+1个单位长度得到直线r，则无论非零实数k取何值，直线r与抛物线C都只有一个交点；
（i）求此抛物线的解析式；
（ii）若P是此抛物线上任一点，过点P作PQ∥y轴且与直线y=2交于点Q，O为原点，
求证：OP=PQ．
【答案】（Ⅰ）a=﹣；（Ⅱ）（i）y=﹣
x2+1；（ii）证明见解析.
【解析】
【分析】
（1）可用a表示出抛物线的顶点坐标,再代入直线方程可求得a的值,
（2）（i）由于k为任意非零实数,可取k=1和k=2,再联立两解析式消去y,得到的一元二次方程有两个相等的实数根可得到两个关于a、b的方程,可求得a、b的值,即可求得拋物线解析式;
（ii）设出P点坐标,连接OP,过P作PQ⊥直线y=2,作PD⊥x轴于点D,可分别表示出OP和PQ,可证明其相等
【详解】
解：（1）将k=1，b=1代入得：抛物线的解析式为y=ax2+x+1，直线的解析式为y=x．
∵y=ax2+x+1=a（x+
）2+1﹣
，
∴抛物线的顶点为（﹣
，1﹣
）．
∵抛物线的顶点在直线y=x上，
∴﹣
=1﹣
，
解得：a=﹣
．
（2）（i）将直线y=kx向上平移k2+1个单位，所得直线的解析式为y=kx+k2+1．
∵无论非零实数k取何值，直线与抛物线都只有一个交点，
∴方程kx+k2+1=ax2+bx+1有两个相等的实数根，即ax2+（b﹣k）x﹣k2=0有两个相等的实数根，
∴△=（b﹣k）2+4ak2=（4a+1）k2﹣2bk+b2=0．
∵无论非零实数k取何值时，（4a+1）k2﹣2bk+b2=0恒成立，
∴4a+1=0且b=0，
∴a=﹣
，b=0．
∴抛物线的解析式为y=﹣
x2+1．
（ii）证明：根据题意，画出图象如图所示：
设点P的坐标为（x，﹣
x2+1）则点Q的坐标为（x，2），D（x，0）．
∴PD=|﹣
x2+1|，OD=|x|，QP=2﹣（﹣
x2+1）=
x2+1．
在Rt△OPD中，依据勾股定理得：OP=
=
=
x2+1．
∴OP=PQ
【点评】本题主要考查二次函数的综合应用,涉及待定系数法、二次函数的性质、一元二次方程根的判别式、勾股定理等知识点.在(1)中求得二次函数的顶点坐标是解题的关键,在(Ⅱ)①中取k的特殊值得到关于a、b的二元一次方程组,求得a、b的值是解题的关键,在②中用P点的坐标分别表示出PD、OP的长是解题的关键.
5．网络销售已经成为一种热门的销售方式为了减少农产品的库存，我市市长亲自在某网络平台上进行直播销售大别山牌板栗．为提高大家购买的积极性，直播时，板栗公司每天拿出2000元现金，作为红包发给购买者．已知该板栗的成本价格为6元，每日销售量与销售单价x（元）满足关系式：．经销售发现，销售单价不低于成本价格且不高于30元．当每日销售量不低于时，每千克成本将降低1元设板栗公司销售该板栗的日获利为W（元）．
（1）请求出日获利W与销售单价x之间的函数关系式
（2）当销售单价定为多少时，销售这种板栗日获利最大？最大利润为多少元？
（3）当元时，网络平台将向板栗公可收取a元的相关费用，若此时日获利的最大值为42100元，求a的值．
【答案】（1）；（2）当销售单价定为28元时，日获利最大，且最大为46400元；（3）
【解析】
【分析】
（1）首先根据题意求出自变量x的取值范围，然后再分别列出函数关系式即可；
（2）对于（1）得到的两个函数关系式在其自变量取值范围内求出最大值，然后进行比较，即可得到结果；
（3）先求出当，即时的销售单价，得当，从而，得，可知，当时，元，从而有，解方程即可得到a的值．
【详解】
解：（1）当，即，
．
∴当时，
当时，
．
（2）当时，．
∵对称轴为，
∴当时，元．
当时，．
∵对称轴为，
∴当时，元．
∴综合得，当销售单价定为28元时，日获利最大，且最大为46400元．
（3），
，则．
令，则．
解得：．
在平面直角坐标系中画出w与x的数示意图．
观察示意图可知：
．
又，
．
．
对称轴为
，
对称轴．
∴当时，元．
，
．
又，
．
【点评】本题考查了二次函数和一元二次方程在销售问题中的应用，明确成本利润问题的基本数量关系及二次函数的性质是解题的关键．
6．丰都县某中学为培养学生综合实践能力，开展了一系列综合实践活动，有一次财商训练活动中，小明同学准备去集市批发两种商品用于活动中交易．预先了解到A、B两种商品的价格之和为27元，小明计划购买B商品的数量比A商品的数量多2件，但一共不超过25件，且每样不少于3件，但小明去购买时发现A商品正打九折销售，而B商品的价格提高了20%，小明决定将A、B产品的购买数量对调，这样实际花费只比计划多8元，已知价格和购买数量均为整数，则小明购买两种商品实际花费为_____元．
【答案】312.
【解析】
【分析】
设A商品的单价为x元/件，则B商品的单价为（27﹣x）元/件，计划购买A商品a件，则B商品为（a+2）件，根据题中等量关系可列出关于x的方程，用含a的式子表示出x，由“一共不超过25件，且每样不少于3件”“
价格和购买数量均为整数”可知a的值，易求x的值.
【详解】
设A商品的单价为x元/件，则B商品的单价为（27﹣x）元/件，计划购买A商品a件，则B商品为（a+2）件，
根据题意可得：0.9x×（a+2）+1.2×（27﹣x）×a＝xa+（27﹣x）（a+2）+8，
∴x＝，
∵a≥3，a+2≥3，a+a+2≤25，x，a均为整数，
∴a＝10，x＝10
∴小明购买两种商品实际花费＝9×12+1.2×10×17＝312元，
故答案为：312.
【点评】本题考查了方程的应用，正确理解题意，找准题中的等量关系是解题的关键.
7．如图，平面直角坐标系中，点，，若抛物线与线段AB（包含A、B两点）有两个不同交点，则a的取值范围是____．
【答案】或
【解析】
【分析】
分两种情况：①a<0时，当x=1时，
，②a>0时，x=-3时，
，联立抛物线与直线的解析式得到，求出，即可求出答案.
【详解】
①a<0时，当x=1时，
，
即，
∴，
②a>0时，x=-3时，
，
即，
∴，
设直线AB的解析式为y=kx+b，
∴，解得，
∴直线AB的解析式为，
抛物线与直线联立得，
∴，
?=，
∴，
∴a的取值范围为或，
故答案为：或.
【点评】此题考查二次函数与直线的交点问题，二次函数的性质，求一次函数的解析式，正确理解题意中的两个交点是解此题的关键.
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1．如图，顶点坐标为的抛物线经过点，与轴的交点在，之间（含端点），则下列结论：①；②；③对于任意实数，总成立；④关于的方程有两个不相等的实数根．其中结论正确的个数为（
）
A．1个
B．2个
C．3个
D．4个
2．若抛物线与轴两个交点间的距离为2，称此抛物线为定弦抛物线，已知某定弦抛物线的对称轴为直线，将此抛物线向左平移2个单位，再向下平移3个单位，得到的抛物线过点(
)
A．
B．
C．
D．
3．某公司计划投资、两种产品，若只投资产品，所获得利润（万元）与投资金额（万元）之间的关系如图所示，若只投资产品，所获得利润（万元）与投资金额（万元）的函数关系式为．
（1）求与之间的函数关系式；
（2）若投资产品所获得利润的最大值比投资产品所获得利润的最大值少万元，求的值；
（3）该公司筹集万元资金，同时投资、两种产品，设投资产品的资金为万元，所获得的总利润记作万元，若时，随的增大而减少，求的取值范围．
4．已知直线l：y=kx和抛物线C：y=ax2+bx+1．
（1）当k=1，b=1时，抛物线C：y=ax2+bx+1的顶点在直线l：y=kx上，求a的值；
（2）若把直线l向上平移k2+1个单位长度得到直线r，则无论非零实数k取何值，直线r与抛物线C都只有一个交点；
（i）求此抛物线的解析式；
（ii）若P是此抛物线上任一点，过点P作PQ∥y轴且与直线y=2交于点Q，O为原点，
求证：OP=PQ．
5．网络销售已经成为一种热门的销售方式为了减少农产品的库存，我市市长亲自在某网络平台上进行直播销售大别山牌板栗．为提高大家购买的积极性，直播时，板栗公司每天拿出2000元现金，作为红包发给购买者．已知该板栗的成本价格为6元，每日销售量与销售单价x（元）满足关系式：．经销售发现，销售单价不低于成本价格且不高于30元．当每日销售量不低于时，每千克成本将降低1元设板栗公司销售该板栗的日获利为W（元）．
（1）请求出日获利W与销售单价x之间的函数关系式
（2）当销售单价定为多少时，销售这种板栗日获利最大？最大利润为多少元？
（3）当元时，网络平台将向板栗公可收取a元的相关费用，若此时日获利的最大值为42100元，求a的值．
丰都县某中学为培养学生综合实践能力，开展了一系列综合实践活动，有一次财商训练活动中，小明同学准备去集市批发两种商品用于活动中交易．预先了解到A、B两种商品的价格之和为27元，小明计划购买B商品的数量比A商品的数量多2件，但一共不超过25件，且每样不少于3件，但小明去购买时发现A商品正打九折销售，而B商品的价格提高了20%，小明决定将A、B产品的购买数量对调，这样实际花费只比计划多8元，已知价格和购买数量均为整数，则小明购买两种商品实际花费为_____元．
7．如图，平面直角坐标系中，点，，若抛物线与线段AB（包含A、B两点）有两个不同交点，则a的取值范围是____．
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