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21.2.2公式法解一元二次方程（重点练)
1．在中，，，
，则=（
）．
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【解析】
【分析】依题意可设，，根据勾股定理列出关于x的方程，解方程求出x的值，进而可得答案.
【详解】
解：如图，设，，根据勾股定理，得：，解得，∴.
故选B.
【点评】本题考查了勾股定理和简单的一元二次方程的解法，属于基础题型，熟练掌握勾股定理是解题的关键.
2．已知方程有实数根，则与的关系是（
）.
A．
B．或、异号
C．或、同号
D．是的整数倍
【答案】B
【解析】
【分析】将原方程化为的形式，根据可判断出正确答案。
【详解】
原方程可化为，∵，∴时方程才有实数解。当c=0时，有实数根；当a、c异号时，
，方程有实数解。故选B。
【点评】形如的一元二次方程当a≥0时方程有实数解。
3．如果一直角三角形的三边为a，b，c，∠B=90°，那么关于x的方程a（x2﹣1）﹣2cx+b（x2+1）=0的根的情况为（ ）
A．有两个相等的实数根
B．有两个不相等的实数根
C．没有实数根
D．无法确定根的情况
【答案】A
【解析】
【分析】根据勾股定理，确立a2+c2=b2，化简根的判别式，判断根的情况就是判断△与0的大小关系．
【详解】
∵∠B=90°
∴a2+c2=b2
化简原方程为：（a+b）x2-2cx+b-a=0
∴△=4c2-4（b2-a2）=4c2-4c2=0
∴方程有两个相等实数根
故选：A．
【点评】考查了一元二次方程根的情况与判别式△的关系：（1）△＞0?方程有两个不相等的实数根；（2）△=0?方程有两个相等的实数根；（3）△＜0?方程没有实数根.
4．若一元二次方程(k－1)x2＋2kx＋k＋3＝0有实数根，则k的取值范围是(
)
A．k≤
B．k＜
C．k≤且k≠1
D．k≥
【答案】C
【解析】
【分析】根据二次项系数非零结合根的判别式△≥0，即可得出关于k的一元一次不等式组，解之即可得出k的取值范围．
【详解】
解：∵一元二次方程(k－1)x2＋2kx＋k＋3＝0有实数根，
∴且，
解得：k≤且k≠1．
故选：C．
【点评】本题考查了一元二次方程的定义以及根的判别式，根据一元二次方程的定义结合根的判别式△≥0，列出关于k的一元一次不等式组是解题的关键．
5．定义：如果一元二次方程满足，那么我们称这个方程为“美丽”方程．已知是“美丽”方程，且有两个相等的实数根，则下列结论正确的是（
）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【解析】
【分析】根据已知得出方程有x=-1，再判断即可．
【详解】
把x=?1代入方程得出a?b+c=0，
∴b=a+c，
∵方程有两个相等的实数根，
∴△=，
∴a=c，
故选D．
【点评】此题考查根的判别式，解题关键在于利用有两个相等的实数根.
6．如果点A(3，4)，B(5，a)两点之间的距离是4，那么a=_____________．
【答案】．
【解析】
【分析】根据两点之间的距离公式，列出无理方程，求解即可．
【详解】
解：因为点A(3，4)，B(5，a)两点之间的距离是4，
所以，
即，
，
，
．
故答案为：．
【点评】本题考查两点之间的距离公式，解无理方程，解一元二次方程．能利用两点之间的距离公式列出无理方程是解决此题的关键．
7．已知a，b，c分别是△ABC的三边长，那么方程的根的情况是________________．
【答案】有两个不相等的实数根
【解析】
【分析】求出方程对应的判别式，根据三角形三边关系得到，即可得出结论.
【详解】
解：一元二次方程对应的判别式，
∵在三角形中，两边之和大于第三边，即，
∴，即，
∴方程有两个不相等的实数根，
故答案为：有两个不相等的实数根.
【点评】本题主要考查一元二次方程根的判别式，根的情况与判别式△的关系：（1）△＞0?方程有两个不相等的实数根；（2）△＝0?方程有两个相等的实数根；（3）△＜0?方程没有实数根．
8．设A是方程x2-x-520=0的所有根的绝对值之和,则A2=________.
【答案】4083
【解析】
【分析】根据公式法x=得到x=，再根据题意得到，计算即可得到答案.
【详解】
由公式法得x=，则=，所以A2=4083.
【点评】本题考查公式法求一元二次方程，解题的关键是掌握公式法求一元二次方程.
9．关于的方程的根是_________________．
【答案】无解或者x=±.
【解析】
【分析】先移项，然后利用直接开平方法解方程即可．
【详解】
解：∵（bx）2-1=0
∴（bx）2=1
∴bx=±1
①当b=0时，该方程无解．
②当b＞0时，x=±
综上所述，当b=0时原方程无解；当b＞0时方程的解是x=±．
故答案是：无解或者x=±．
【点评】考查了解一元二次方程的解法-直接开平方法．形如x2=p或（nx+m）2=p（p≥0）的一元二次方程可采用直接开平方的方法解．
10．已知关于x的方程x2－2x－m＝0没有实数根，试判断关于x的方程x2＋2mx＋m(m＋1)＝0的根的情况．
【答案】方程x2＋2mx＋m(m＋1)＝0有两个不相等的实数根，理由见解析
【解析】
【分析】首先根据已知方程无实根可得Δ1<0，可求出m的取值范围，再计算新方程的判别式，结合m的取值范围确定新方程判别式Δ2的情况，进而得出新方程根的情况即可.
【详解】
∵x2－2x－m＝0没有实数根，
∴Δ1＝(－2)2－4·(－m)＝4＋4m<0，即m<－1.
对于方程x2＋2mx＋m(m＋1)＝0，
Δ2＝(2m)2－4m(m＋1)＝－4m>4，
∴方程x2＋2mx＋m(m＋1)＝0有两个不相等的实数根．
【点评】本题考查了一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的根的判别式△=b2-4ac：当△＞0，方程有两个不相等的实数根；当△=0，方程有两个相等的实数根；当△＜0，方程没有实数根．
11．若0是关于x的方程（m-2）x2+3x+m2-2m-8=0的解，求实数m的值，并讨论此方程解的情况．
【答案】或，当时，方程有两个解，分别为；当时，方程有两个解，分别为.
【解析】
试题分析：一元二次方程的根就是能够使方程左右两边相等的未知数的值，即用这个数代替未知数所得式子仍然成立；把x=0代入方程就得到一个关于m的方程，就可以求出m的值．把m的值代入方程，即可求得方程的根．
试题解析：将x=0代入原方程得，
（m-2）?02+3×0+m2-2m-8=0，
∴m2-2m-8=0；
（m+2）（m-4）=0
可解得m1=-2，或m2=4；
当m=-2时，原方程为-4x2+3x=0，
此时方程的解是x1=0，x2=
当m=4时，原方程为2x2+3x=0．
解得x3=0或x4=-；
即此时原方程有两个解，解分别为x1=0，x2=，或x3=0，x4=-．
【点评】本题主要考查了方程的解的定义，就是能使方程的左右两边相等的未知数的值．
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21.2.2公式法解一元二次方程（重点练)
1．在中，，，
，则=（
）．
A．
B．
C．
D．
2．已知方程有实数根，则与的关系是（
）.
A．
B．或、异号
C．或、同号
D．是的整数倍
3．如果一直角三角形的三边为a，b，c，∠B=90°，那么关于x的方程a（x2﹣1）﹣2cx+b（x2+1）=0的根的情况为（ ）
A．有两个相等的实数根
B．有两个不相等的实数根
C．没有实数根
D．无法确定根的情况
4．若一元二次方程(k－1)x2＋2kx＋k＋3＝0有实数根，则k的取值范围是(
)
A．k≤
B．k＜
C．k≤且k≠1
D．k≥
5．定义：如果一元二次方程满足，那么我们称这个方程为“美丽”方程．已知是“美丽”方程，且有两个相等的实数根，则下列结论正确的是（
）
A．
B．
C．
D．
6．如果点A(3，4)，B(5，a)两点之间的距离是4，那么a=_____________．
7．已知a，b，c分别是△ABC的三边长，那么方程的根的情况是________________．
8．设A是方程x2-x-520=0的所有根的绝对值之和,则A2=________.
9．关于的方程的根是_________________．
10．已知关于x的方程x2－2x－m＝0没有实数根，试判断关于x的方程x2＋2mx＋m(m＋1)＝0的根的情况．
11．若0是关于x的方程（m-2）x2+3x+m2-2m-8=0的解，求实数m的值，并讨论此方程解的情况．
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