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21.2.3因式分解法解一元二次方程（重点练)
1．下列命题：①关于x的方程
是一元二次方程；②
x=1与方程
是同解方程；③方程
与方程
x=1是同解方程；④由
可得
x+1=3或
x-1=3．其中正确的命题有（ ??
）.
A．0个
B．1个
C．2个
D．3个
2．若关于
x的方程
的一个根是0，则另一个根是（???
）
A．1
B．－1
C．5
D．
3．若
，则
的值为（???
）.
A．－3
B．－1或4
C．4
D．无法计算
4．方程的根的个数是(
)
A．4
B．2
C．1
D．0
5．若一元二次方程式x2﹣8x﹣3×11=0的两根为a、b，且a＞b，则a﹣2b之值为何？（ ）
A．﹣25
B．﹣19
C．5
D．17
6．若关于的两个方程与有一个解相同，则__________．
7．设一元二次方程的较大的根为，的较小的根为，则的值为______．
8．方程x2-9x+18=0的两个根是等腰三角形的底和腰，则这个三角形的周长为________.
9．若n是方程x2+mx+n=0的根，n≠0，则m+n等于_____．
10．因式分解结果为________，方程
的根为________．
11．按指定的方法解方程：
（1）9（x﹣1）2﹣5=0（直接开平方法）
（2）2x2﹣4x﹣8=0（配方法）
（3）6x2﹣5x﹣2=0（公式法）
（4）（x+1）2=2x+2（因式分解法）
12．如果方程
与方程
有一个公共根是3，求
a、b的值，并分别求出两个方程的另一个根．
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21.2.3因式分解法解一元二次方程（重点练)
1．下列命题：①关于x的方程
是一元二次方程；②
x=1与方程
是同解方程；③方程
与方程
x=1是同解方程；④由
可得
x+1=3或
x-1=3．其中正确的命题有（ ??
）.
A．0个
B．1个
C．2个
D．3个
【答案】A
【解析】
根据一元二次方程的概念，由于k的值不确定，当k=0时，此方程为一元一次方程，故①不正确；
方程
的解是x=±1，所以与x=1不是同解方程，故②不正确；
方程的解是x=1或x=0，所以与x=1不是同解方程，故③不正确；
由
可得x2-1=3，即x2=4，故④不正确.
因此正确的命题有0个.
故选：A.
2．若关于
x的方程
的一个根是0，则另一个根是（???
）
A．1
B．－1
C．5
D．
【答案】C
【解析】
根据方程的解，可直接把x=0代入，可得k=0，则原方程为，因式分解为x（x-5）=0，解得x=0或x=5，另一个解为x=5.
故选：C.
3．若
，则
的值为（???
）.
A．－3
B．－1或4
C．4
D．无法计算
【答案】C
【解析】
把看做一个整体，则方程可看作，然后分解因式为（+1）（-4）=0，解得=-1（舍去）或=4.
故选：C.
4．方程的根的个数是(
)
A．4
B．2
C．1
D．0
【答案】B
【解析】
【分析】对方程分两种情况进行计算即可.
【详解】
当时，原方程可化为，
解得，(舍去)；
当时，原方程可化为，
解得，(舍去)．
∴原方程有2个根．
故选B．
【点评】本题考查了绝对值的意义及因式分解法解一元二次方程.
5．若一元二次方程式x2﹣8x﹣3×11=0的两根为a、b，且a＞b，则a﹣2b之值为何？（ ）
A．﹣25
B．﹣19
C．5
D．17
【答案】D
【解析】
分析：先利用因式分解法解方程得到a=11，b=﹣3，然后计算代数式a﹣2b的值．
详解：（x﹣11）（x+3）=0，
x﹣11=0或x﹣3=0，
所以x1=11，x2=﹣3，
即a=11，b=﹣3，
所以a﹣2b=11﹣2×（﹣3）=11+6=17．
故选：D．
【点评】本题考查了解一元二次方程﹣因式分解法：因式分解法就是先把方程的右边化为0，再把左边通过因式分解化为两个一次因式的积的形式，那么这两个因式的值就都有可能为0，这就能得到两个一元一次方程的解，这样也就把原方程进行了降次，把解一元二次方程转化为解一元一次方程的问题了（数学转化思想）．
6．若关于的两个方程与有一个解相同，则__________．
【答案】4
【解析】
【分析】首先解出一元二次方程的解，根据两个方程的解相同，把x的值代入第二个方程中，解出a即可．
【详解】
解：解方程得x1＝2，x2＝?1，
∵x＋1≠0，
∴x≠?1，
把x＝2代入中得：，
解得：a＝4，
故答案为4．
【点评】此题主要考查了解一元二次方程，以及解分式方程，关键是正确确定x的值，分式方程注意分母要有意义．
7．设一元二次方程的较大的根为，的较小的根为，则的值为______．
【答案】1
【解析】
【分析】先利用因式分解法解两个一元二次方程得到m=0，n=1，然后计算m+n．
【详解】
∵，
∴，
解得或，
∴．
∵，
∴，
解得或，
∴，
∴．
【点评】本题考查了解一元二次方程-因式分解法：先把方程的右边化为0，再把左边通过因式分解化为两个一次因式的积的形式，那么这两个因式的值就都有可能为0，这就能得到两个一元一次方程的解，这样也就把原方程进行了降次，把解一元二次方程转化为解一元一次方程的问题了（数学转化思想）．
8．方程x2-9x+18=0的两个根是等腰三角形的底和腰，则这个三角形的周长为________.
【答案】15.
【解析】
【分析】利用因式分解法解方程得到x1=3，x2=6，再根据三角形三边的关系得等腰三角形的底为3，腰为6，然后计算三角形的周长．
【详解】
x2?9x+18=0，
(x?3)(x?6)=0，
∴x1=3，x2=6，
∵3+3=6，所以3不能为腰，
当等腰三角形的腰为6，底为3，这个等腰三角形的周长为3+6+6=15.
故答案为15.
【点评】此题考查等腰三角形的性质，三角形三边关系，解一元二次方程-因式分解法，解题关键在于掌握运算法则.
9．若n是方程x2+mx+n=0的根，n≠0，则m+n等于_____．
【答案】﹣1．
【解析】
【分析】将n代入方程可得n2+mn+n=0，提取n得到n（m+n+1）=0，由n≠0可得m+n+1=0，进而得出m+n的值.
【详解】
由题意得：n2+mn+n=0，
n（m+n+1）=0，
∵n≠0，
∴m+n+1=0，
∴m+n=﹣1.
故答案为﹣1.
【点评】本题主要考查一元二次方程根的意义.
10．因式分解结果为________，方程
的根为________．
【答案】（x+24）(x-4)
x1=-24
，
x2=4
【解析】
运用十字相乘法对二次三项式进行因式分解，
x2+20x-96=（x+24）（x-4）．然后把x2+20x-96=0方程因式分解为（x+24）（x-4）=0然后根据ab=0式的方程的解法，可得x+24=0或x-4=0，解得x1=-24，x2=4．
故答案为：（x+24）（x-4）；-24，4．
【点评】本题考查的是二次三项式的因式分解和因式分解法解一元二次方程，用十字相乘法因式分解并求出方程的两个根．
11．按指定的方法解方程：
（1）9（x﹣1）2﹣5=0（直接开平方法）
（2）2x2﹣4x﹣8=0（配方法）
（3）6x2﹣5x﹣2=0（公式法）
（4）（x+1）2=2x+2（因式分解法）
【答案】（1）x1=，x2=；（2）x1=1+，x2=1﹣；（3）x1=，x2=；（4）x1=﹣1，x2=1．
【解析】
【分析】（1）移项后，利用直接开平方法解方程；
（2）利用配方法，先把二次项的系数化为1，再确定一次项的系数，然后配方即可；
（3）先确定a、b、c的值，然后求出△=b2-4ac，判断后利用公式法解方程即可；
（4）把方程右边提公因式2，再移项，提公因式x+1即可解方程.
【详解】
（1）移项得：9（x﹣1）2=5，
（x﹣1）2=，
开方得：x﹣1=±，
x1=，x2=；
（2）2x2﹣4x﹣8=0，
2x2﹣4x=8，
x2﹣2x=4，
配方得：x2﹣2x+1=4+1，
（x﹣1）2=5，
开方得：x﹣1=±，
x1=1+，x2=1﹣；
（3）6x2﹣5x﹣2=0，
b2﹣4ac=（﹣5）2﹣4×6×（﹣2）=73，
x=，
x1=，x2=；
（4）（x+1）2=2x+2，
（x+1）2﹣2（x+1）=0，
（x+1）（x+1﹣2）=0，
x+1=0，x+1﹣2=0，
x1=﹣1，x2=1．
【点评】此题主要考查了一元一次方程的解法，关键是熟练掌握一元二次方程的解法：直接开平方法，配方法，公式法，因式分解法.
12．如果方程
与方程
有一个公共根是3，求
a、b的值，并分别求出两个方程的另一个根．
【答案】
a=b=1；该方程的另一个根为－2；该方程的另一个根为－5．
【解析】
试题分析：把x=3代入题中两个方程中，得到关于a、b的二元一次方程组，用适当的方法解答，求出a、b的值，再解方程即可求得．
试题解析：将
代入两个方程得
，解得：
,
∴
；将
代入方程
得
，
∴
，
∴
，
∴该方程的另一个根为－2；
将
代入方程
得
，
∴
，
∴
，
∴该方程的另一个根为－5．
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