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21.2.一元二次方程的根与系数的关系（基础练)
1．若，是关于的一元二次方程的两实根，且，则等于（ ）
A．
B．
C．2
D．3
2．设方程x2－4x－1＝0的两个根为x1与x2，则x1x2的值是( )
A．－4
B．－1
C．1
D．0
3．以和为根的一元二次方程是(
)
A．-10x-1=0
B．+10x-1=0
C．+10x+1=0
D．-10x+1=0
4．若、是方程的两个根，则的值为(
)
A．
B．-1
C．3
D．-3
5．若实数，且满足，则代数式的值为(
)
A．
B．
C．
D．
6．已知菱形ABCD的边长为5，两条对角线交于O点，且OA、OB的长分别是关于的方程的根，则等于(
)
A．
B．
C．
D．
7．若是方程的两个根，则的值为(
)
A．
B．
C．
D．
8．关于x的方程x2+5x+m=0的一个根为-2，则另一个根是（ ）
A．-6
B．-3
C．3
D．6
9．设是方程的两实根，是关于的方程的两实根，则=
_____
，=
_____
．
10．若方程的两根之差为1，则的值是
_____
．
11．如果方程的两根相等，则之间的关系是
______．
12．.设、是方程的两个实根，当为何值时，有最小值？并求这个最小值.
13．关于x的一元二次方程x2+3x+m-1=0的两个实数根分别为x1,x2．
（1）求m的取值范围．
（2）若2（x1+x2）+
x1x2+10=0．求m的值.
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21.2.一元二次方程的根与系数的关系（基础练)
1．若，是关于的一元二次方程的两实根，且，则等于（ ）
A．
B．
C．2
D．3
【答案】B
【解析】
【分析】利用一元二次方程根与系数的关系得到，，再化简，代入即可求解；
【详解】
解：，是关于的一元二次方程的两实根，
∴，，
∵，
∴；
故选B.
【点评】本题考查一元二次方程；熟练掌握一元二次方程根与系数的关系是解题的关键.
2．设方程x2－4x－1＝0的两个根为x1与x2，则x1x2的值是( )
A．－4
B．－1
C．1
D．0
【答案】B
【解析】
【分析】根据一元二次方程的根与系数的关系得到两根之积即可．
【详解】
解：∵方程x2－4x－1＝0的两个根为x1与x2，
∴x1x2＝－1．
故选：B．
【点评】本题考查了一元二次方程ax2＋bx＋c＝0的根与系数关系即韦达定理，两根之和是，两根之积是．
3．以和为根的一元二次方程是(
)
A．-10x-1=0
B．+10x-1=0
C．+10x+1=0
D．-10x+1=0
【答案】D
【解析】
【分析】先计算和的和与积，然后根据根与系数的关系求解．
【详解】
解：∵+=10，
（）（）=25-24=1，
∴以和为根的一元二次方程可为x2-10x+1=0．
故选D.
【点评】本题考查了根与系数的关系：若x1，x2是一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的两根时，，．
4．若、是方程的两个根，则的值为(
)
A．
B．-1
C．3
D．-3
【答案】A
【解析】
【分析】根据一元二次方程根与系数关系求解.
【详解】
因为、是方程的两个根，
所以
所以=2-1=1
故选A
【点评】考核知识点：一元二次方程根与系数关系.
5．若实数，且满足，则代数式的值为(
)
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【解析】
【分析】由于实数a≠b，且a，b满足a2-8a+5=0，b2-8b+5=0，则a，b可看着方程x2-8x+5=0的两根，根据根与系数的关系得a+b=8，ab=5，然后把通分后变形得到
，再利用整体代入的方法计算．
【详解】
∵a，b满足
∴a，b可看着方程
的两根，
∴a+b=8，ab=5，
故选:A.
【点评】本题考查了一元二次方程根与系数的关系,熟记两根之和与两根之积是解题的关键.
6．已知菱形ABCD的边长为5，两条对角线交于O点，且OA、OB的长分别是关于的方程的根，则等于(
)
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【解析】
【分析】由题意可知：菱形ABCD的边长是5，则AO2+BO2=25，则再根据根与系数的关系可得：AO+BO=-2m+1，AO?BO=m2+3；代入AO2+BO2中，得到关于m的方程后，求得m的值．
【详解】
由直角三角形的三边关系可得：
又有根与系数的关系可得：
∴
整理得：
解得：m=?3或5.
又∵△>0,
∴
解得
∴m=?3.
故选：A.
【点评】考查一元二次方程根与系数的关系以及菱形的性质，注意掌握勾股定理在解题中的应用.
7．若是方程的两个根，则的值为(
)
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【解析】
【分析】根据韦达定理求得，然后由变形为含有x1+x2和x1?x2的式子，并代入求值即可．
【详解】
∵方程的二次项系数a=2，一次项系数b=?6，常数项c=3，
∴根据韦达定理，得,
∴
故选:A.
【点评】考查一元二次方程根与系数的关系,
熟记公式是解决本题的关键.
8．关于x的方程x2+5x+m=0的一个根为-2，则另一个根是（ ）
A．-6
B．-3
C．3
D．6
【答案】B
【解析】
分析：根据一元二次方程的两根之和等于－5求解.
详解：设另一个根为a，则根据根与系数的关系可得－2＋a＝－5，解得a＝－3.
故选B.
【点评】已知一元二次方程的一个根，求所含的字母系数的方法有：①把已知的根代入到原方程中，求出字母系数，再把字母系数的值代回到原方程求出另一个根；②用两根之和或者两根之积求解.
9．设是方程的两实根，是关于的方程的两实根，则=
_____
，=
_____
．
【答案】
【解析】
【分析】是方程的两实根，，又是关于的方程的两实根，
再解关于p，q的方程即可得出答案．
【详解】
∵是方程的两实根，
∴,
又∵是关于的方程的两实根，
∴
∴?p+2=?q，q?p+1=p，
即p?q=2，2p?q=1，
解得：q=?1，p=?3.
故答案为?1，?3.
【点评】考查了一元二次方程根与系数的关系，熟练掌握根与系数的关系是解题的关键.
10．若方程的两根之差为1，则的值是
_____
．
【答案】9或
【解析】
【分析】由根与系数的关系可知：又知两根之差为1，即|x1-x2|=1，根据（x1-x2）2=（x1+x2）2-4x1x2，建立等量关系求k．
【详解】
由根与系数的关系可知：
由已知两根之差为1,得
,即
则
解得k=?3或9.
故答案为：9或
【点评】考查一元二次方程根与系数的关系,
熟记公式是解决本题的关键.注意完全平方公式的变形.
11．如果方程的两根相等，则之间的关系是
______．
【答案】
【解析】
【分析】由于方程有两个相等的实数根，由此得到方程的判别式为0，由此可以得到关于a，b，c的等式，整理整式即可求解．
【详解】
方程的两根相等，
则：且方程的二次项系数
即且
故答案为：且
【点评】考查了一元二次方程根的判别式，利用根的判别式得到关于a，b，c的等式是解题的关键.
12．.设、是方程的两个实根，当为何值时，有最小值？并求这个最小值.
【答案】当时，最小值为
【解析】
【分析】根据一元二次方程两根与系数的关系，得到两根之和，与两根之积的值，同时方程有两根，则根的判别式要大于等于0，得到m的取值范围，再代入求解.
【详解】
对于方程，、是此方程的两个实根，则，.
由题意知，则.
又由根与系数关系，得.
∵.
∴.
从而，.
于是，当时，取得最小值，且最小值为.
【点评】本题解题关键在于，对于方程，、是此方程的两个实根，则，，且.
13．关于x的一元二次方程x2+3x+m-1=0的两个实数根分别为x1,x2．
（1）求m的取值范围．
（2）若2（x1+x2）+
x1x2+10=0．求m的值.
【答案】（1）m≤．
（2）m=-3.
【解析】
【分析】（1）方程有两个实数根，必须满足△=b2﹣4ac≥0，从而求出实数m的取值范围；
（2）先由一元二次方程根与系数的关系，得x1+x2=3，x1x2=m-1．再代入等式2（x1+x2）+
x1x2+10=0，即可求得m的值．
【详解】
（1）∵关于x的一元二次方程x2+3x+m-1=0的两个实数根分别为x1,x2．∴ ⊿≥0．
即 32-4（m-1）≥0，解得,m≤．
（2）由已知可得 x1+x2=3
x1x2=m-1
又2（x1+x2）+
x1x2+10=0
∴2×（-3）+m-1+10=0 ∴m=-3
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