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21.2.4一元二次方程的根与系数的关系（重点练)
1．关于x的一元二次方程x2+2x+k+1=0的两个实根x1，x2，满足x1+x2﹣x1x2＜﹣1，则k的取值范围在数轴上表示为（
）
A．
B．
C．
D．
2．若关于x的一元二次方程x2﹣2x+m=0有一个解为x=﹣1，则另一个解为（ ）
A．1
B．﹣3
C．3
D．4
3．设a，b是方程x2＋x－2009＝0的两个实数根，则a2＋2a＋b的值为(
)
A．2006
B．2007
C．2008
D．2009
4．已知一元二次方程x2－3x－2＝0的两个实数根为x1，x2，则(x1－1)(x2－1)的值是______________．
5．已知x1
，
x2是关于x的一元二次方程x2﹣5x+a=0的两个实数根，且x12﹣x22=10，则a=____．
6．如果m，n是两个不相等的实数，且满足m2﹣m=3，n2﹣n=3，那么代数式2n2﹣mn+2m+2015=
．
7．已知直角三角形的两条直角边的长恰好是方程2x2-8x+7=0的两个根，则这个直角三角形的斜边长是______.
8．已知关于x的方程x2－(2k－1)x＋k2－2k＋3＝0有两个不相等的实数根．
(1)求实数k的取值范围．
(2)设方程的两个实数根分别为x1，x2，是否存在这样的实数k，使得|x1|－|x2|＝成立？若存在，求出这样的k值；若不存在，请说明理由．
9．已知关于x的一元二次方程x2－6x＋m＋4＝0有两个实数根x1，x2.
(1)求m的取值范围；
(2)若x1，x2满足3x1＝|x2|＋2，求m的值．
10．已知关于x的方程x2+（2k﹣1）x+k2﹣1=0有两个实数根x1，x2．
（1）求实数k的取值范围；
（2）若x1，x2满足x12+x22=16+x1x2，求实数k的值．
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21.2.4一元二次方程的根与系数的关系（重点练)
1．关于x的一元二次方程x2+2x+k+1=0的两个实根x1，x2，满足x1+x2﹣x1x2＜﹣1，则k的取值范围在数轴上表示为（
）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【解析】
试题分析：根据根的判别式和根与系数的关系列出不等式，求出解集．
解：∵关于x的一元二次方程x2+2x+k+1=0有两个实根，
∴△≥0，
∴4﹣4（k+1）≥0，
解得k≤0，
∵x1+x2=﹣2，x1?x2=k+1，
∴﹣2﹣（k+1）＜﹣1，
解得k＞﹣2，
不等式组的解集为﹣2＜k≤0，
在数轴上表示为：
，
故选D．
点评：本题考查了根的判别式、根与系数的关系，在数轴上找到公共部分是解题的关键．
2．若关于x的一元二次方程x2﹣2x+m=0有一个解为x=﹣1，则另一个解为（ ）
A．1
B．﹣3
C．3
D．4
【答案】C
【解析】
【分析】设方程的另一个解为x1，根据两根之和等于﹣，即可得出关于x1的一元一次方程，解之即可得出结论．
【详解】
设方程的另一个解为x1，
根据题意得：﹣1+x1=2，
解得：x1=3，
故选C．
【点评】本题考查了根与系数的关系以及一元二次方程的解，牢记两根之和等于﹣、两根之积等于是解题的关键．
3．设a，b是方程x2＋x－2009＝0的两个实数根，则a2＋2a＋b的值为(
)
A．2006
B．2007
C．2008
D．2009
【答案】C
【解析】
分析：由于a2+2a+b=（a2+a）+（a+b），故根据方程的解的意义，求得（a2+a）的值，由根与系数的关系得到（a+b）的值，即可求解．
解答：解：∵a是方程x2+x-2009=0的根，
∴a2+a=2009；
由根与系数的关系得：a+b=-1，
∴a2+2a+b=（a2+a）+（a+b）=2009-1=2008．
故选C．
4．已知一元二次方程x2－3x－2＝0的两个实数根为x1，x2，则(x1－1)(x2－1)的值是______________．
【答案】-4
【解析】
【分析】【详解】
∵一元二次方程x2﹣3x﹣2=0的两个实数根为x1，x2，
∴x1+x2=3，x1x2=-2，
∴（x1-1）（x2-1）=x1x2-x2-x1+1=x1x2-(x1+x2)+1=-2-3+1=-4，
故答案为-4.
5．已知x1
，
x2是关于x的一元二次方程x2﹣5x+a=0的两个实数根，且x12﹣x22=10，则a=____．
【答案】
【解析】
∵是关于的一元二次方程的两个实数根，
∴，
又∵，
∴，
又∵，
∴，解得：.
【点评】（1）若关于的一元二次方程的两根分别是，则：；（2）当时，.
6．如果m，n是两个不相等的实数，且满足m2﹣m=3，n2﹣n=3，那么代数式2n2﹣mn+2m+2015=
．
【答案】2026
【解析】
【分析】【详解】
由题意可知：m，n是两个不相等的实数，且满足m2-m=3，n2-n=3，
所以m，n是x2-x-3=0的两个不相等的实数根，
则根据根与系数的关系可知：m+n=1，mn=-3，
又n2=n+3，
则2n2-mn+2m+2015
=2（n+3）-mn+2m+2015
=2n+6-mn+2m+2015
=2（m+n）-mn+2021
=2×1-（-3）+2021
=2+3+2021
=2026．
已知直角三角形的两条直角边的长恰好是方程2x2-8x+7=0的两个根，则这个直角三角形的斜边长是______.
【答案】3
【解析】
试题分析：设直角三角形的斜边为c，两直角边分别为a与b．
∵直角三角形的两条直角边的长恰好是方程2x2－8x＋7＝0的两个根，
∴a＋b＝4，ab＝3.5；
根据勾股定理可得：c2＝a2＋b2＝（a＋b）2－2ab＝16－7＝9，
∴c＝3，
即直角三角形的斜边长为3．
故答案为3．
【点评】此题主要考查了根与系数的关系，将根与系数的关系与代数式变形相结合解题是一种经常使用的解题方法．
8．已知关于x的方程x2－(2k－1)x＋k2－2k＋3＝0有两个不相等的实数根．
(1)求实数k的取值范围．
(2)设方程的两个实数根分别为x1，x2，是否存在这样的实数k，使得|x1|－|x2|＝成立？若存在，求出这样的k值；若不存在，请说明理由．
【答案】（1）
k＞；（2）4．
【解析】
【分析】（1）由方程有两个不相等的实数根知△＞0，列出关于k的不等式求解可得；
（2）由韦达定理知x1+x2=2k﹣1，x1x2=k2﹣2k+2=（k﹣1）2+1＞0，可以判断出x1＞0，x2＞0．将原式两边平方后把x1+x2、x1x2代入得到关于k的方程，求解可得．
【详解】
解：（1）由题意知△＞0，∴[﹣（2k﹣1）]2﹣4×1×（k2﹣2k+2）＞0，整理得：4k﹣7＞0，解得：k；
（2）由题意知x1+x2=2k﹣1，x1x2=k2﹣2k+2=（k+1）2+1＞0，∴x1，x2同号．
∵x1+x2=2k﹣1＞=，∴x1＞0，x2＞0．
∵|x1|﹣|x2|，∴x1﹣x2，∴x12﹣2x1x2+x22=5，即（x1+x2）2﹣4x1x2=5，代入得：（2k﹣1）2﹣4（k2﹣2k+2）=5，整理，得：4k﹣12=0，解得：k=3．
【点评】本题考查了根与系数的关系及根的判别式，熟练掌握判别式的值与方程的根之间的关系及韦达定理是解题的关键．
9．已知关于x的一元二次方程x2－6x＋m＋4＝0有两个实数根x1，x2.
(1)求m的取值范围；
(2)若x1，x2满足3x1＝|x2|＋2，求m的值．
【答案】（1）m≤5．（2）4.
【解析】
【分析】（1）根据方程的系数结合根的判别式，即可得出△=20-4m≥0，解之即可得出结论；
（2）由根与系数的关系可得x1+x2=6①、x1?x2=m+4②，分x2≥0和x2＜0可找出3x1=x2+2③或3x1=-x2+2④，联立①③或①④求出x1、x2的值，进而可求出m的值．
【详解】
解：（1）∵关于x的一元二次方程x2-6x+m+4=0有两个实数根x1，x2，
∴△=（-6）2-4（m+4）=20-4m≥0，
解得：m≤5，
∴m的取值范围为m≤5．
（2）∵关于x的一元二次方程x2-6x+m+4=0有两个实数根x1，x2，
∴x1+x2=6①，x1?x2=m+4②．
∵3x1=|x2|+2，
当x2≥0时，有3x1=x2+2③，
联立①③解得：x1=2，x2=4，
∴8=m+4，m=4；
当x2＜0时，有3x1=-x2+2④，
联立①④解得：x1=-2，x2=8（不合题意，舍去）．
∴符合条件的m的值为4．
【点评】本题考查一元二次方程根的判别式，一元二次方程根与系数关系．（1）根据方程的系数结合根的判别式，找出△=20-4m≥0；（2）分x2≥0和x2＜0两种情况求出x1、x2的值．
10．已知关于x的方程x2+（2k﹣1）x+k2﹣1=0有两个实数根x1，x2．
（1）求实数k的取值范围；
（2）若x1，x2满足x12+x22=16+x1x2，求实数k的值．
【答案】(1)
k≤;(2)-2.
【解析】
试题分析：（1）根据方程的系数结合根的判别式，即可得出△=﹣4k+5≥0，解之即可得出实数k的取值范围；（2）由根与系数的关系可得x1+x2=1﹣2k、x1x2=k2﹣1，将其代入x12+x22=（x1+x2）2﹣2x1x2=16+x1x2中，解之即可得出k的值．
试题解析：（1）∵关于x的方程x2+（2k﹣1）x+k2﹣1=0有两个实数根x1，x2，
∴△=（2k﹣1）2﹣4（k2﹣1）=﹣4k+5≥0，解得：k≤，
∴实数k的取值范围为k≤．
（2）∵关于x的方程x2+（2k﹣1）x+k2﹣1=0有两个实数根x1，x2，
∴x1+x2=1﹣2k，x1x2=k2﹣1．∵x12+x22=（x1+x2）2﹣2x1x2=16+x1x2，
∴（1﹣2k）2﹣2×（k2﹣1）=16+（k2﹣1），即k2﹣4k﹣12=0，
解得：k=﹣2或k=6（不符合题意，舍去）．∴实数k的值为﹣2．
考点：一元二次方程根与系数的关系,根的判别式.
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