北师大版广东省北亭实验学校九年级数学上册：1.2矩形的性质与判定 尖子生训练题（Word版 含解析）

北师大版九年级数学上册第一章菱形
矩形尖子生训练题
一、选择题（共10题；共30分）
1.菱形的两条对角线长分别是6和8，则此菱形的周长是（??
）
A.?5????B.?20????C.?24??????D.?32
2.如图，四边形
是菱形，对角线
，
相交于点O，
，
，点E是
上一点，连接
，若
，则
的长是（??
）
A.?2?????B.???????C.?3???????D.?4
3.如图所示的木制活动衣帽架是由三个全等的菱形构成，根据实际需要可以调节
间的距离，若
间的距离调节到60
，菱形的边长
，则
的度数是（??
）
A.????B.????C.?????D.?
4.如图，将矩形ABCD沿AC折叠，使点B落在点B′处，B′C交AD于点E，若∠l＝25°，则∠2等于（??
）
A.?25°?????B.?30°????C.?50°???????D.?60°
5.如图所示的?ABCD，再添加下列某一个条件，不能判定?ABCD是矩形的是（??
）
A.?AC＝BD???B.?AB⊥BC???C.?∠1＝∠2???????D.?∠ABC＝∠BCD
6.如图，在菱形ABCD中，点E，F、G，H分别是边，AB，BC，CD和DA的中点，连接EF.FG.GH和HE.若EH=3EF，则下列结论正确的是（??
）
A.?AB=
EF????B.?AB=2
EF???????C.?AB=3EF??????D.?AB=
EF
7.如图，在平行四边行ABCD中，M，N是BD上两点，BM=DN，连接AM，MC，CN，NA，添加一个条件，使四边形AMCN是菱形，这个条件是(
??)
A.?OM=
AC???B.?MB=MO???????C.?BD⊥AC?????D.?∠AMB=∠CND
8.如图，在矩形ABCD中，点A的坐标是（﹣1，0），点C的坐标是（2，4），则BD的长是（　　）
A.?6????????B.?5??????C.?3
????????D.?4
9.如图，矩形
中，
对角线
交于点
为
上任意点，F为
中点，则
的最小值为（?
）
A.??????B.????C.?5????????D.?
10.如图，矩形
中，
为
中点，过点
的直线分别与
，
交于点
，
，连结
，交
于点
，连结
，
．若
，
，则下列结论：①
；②
垂直平分线段
；③
；④四边形是
菱形．其中正确结论的个数是（???
）
A.?1个??B.?2个?????C.?3个???????D.?4个
二、填空题（共7题；共28分）
11.如图,菱形ABCD的对角线AC，BD的长分别为6和8,则这个菱形的周长是________
12.如图，矩形ABCD的长和宽分别为6和4，E、F、G、H依次是矩形ABCD各边的中点，则四边形EFGH的周长等于________。
13.如图，折叠长方形纸片ABCD，先折出折痕（对角线）BD，再折叠使AD边与BD重合，得折痕DG，若AB＝8，BC＝6，则AG的长为________
.
14.如图，将矩形
沿
折叠，点B落在E点处，连接
．若
，则
________．
15.蜜蜂采蜜时，如果蜜源很远它就会跳起“8字舞”，告诉同伴蜜源的方向。如图所示
两个全等菱形的边长为1厘米，一只蜜蜂由
点开始按
ABCDEFCGA
的顺序沿菱形的边循环运动，飞行2015厘米后停下，则这只蜜蜂停在________点。
16.如图，在□ABCD中，以点A为圆心，以任意长为半径画圆弧，分别交边AD、AB于点M、N
，
再分别以点M、N为圆心，以大于
长为半径画圆弧，两弧交于点P
，
作射线AP交边CD于点E
，
过点E作EF∥AD交AB于点F
．
若AB=5，CE=2，则四边形ADEF的周长为________．
17.如图，菱形ABCD的周长为16，∠ADC=120?，E是AB的中点，P是对角线AC上的一个动点，则PE+PB的最小值是________.
三、解答题一（共3题；共18分）
18.如图，已知平行四边形ABCD中，E是BC的中点，连接AE并延长，交DC的延长线于点F
，
且AF＝AD
，
连接BF
，
求证：四边形ABFC是矩形．
19.如图，在
中，点E，F分别是BC，AD上的点，且BE=DF，AE=AF.
求证：四边形AECF是菱形.
20.如图，在四边形
中，
，对角线
的垂直平分线与边
、
分别相交于M、N.
（1）求证：四边形
是菱形；
（2）若
，
，求菱形
的周长.
四．解答题二（共3题，共28分）
21.如图，平行四边形ABCD的对角线交于点O，以OD，CD为邻边作平行四边形DOEC，OE交BC于点F，连结BE.
（1）求证：F为BC中点；
（2）若OB⊥AC，OF＝2，求平行四边形ABCD的周长.
22.如图，
中，
为
中点，O为
中点，连结
并延长到点E，使
，连接
．
（1）求证：四边形
为菱形；
（2）若
，求四边形
的面积．
23.如图，在四边形
中，
，
，
是
上的点，
交
于点
，连接
．
（1）求证：
；
（2）若
，试证明：四边形
是菱形；
（3）在（2）的条件下，已知
，求证：
．
五．解答题三（共2题，共20分）
24.如图，在矩形ABCD中，AB=8cm，BC=6cm．动点P、Q分别从点A、C以2cm/s的速度同时出发．动点P沿AB向终点B运动，动点Q沿CD向终点D运动，连结PQ交对角线AC于点O
．
设点P的运动时间为t（s）．
（1）求OC的长．
（2）当四边形APQD是矩形时，直接写出t的值．
（3）当四边形APCQ是菱形时，求t的值．
（4）当△APO是等腰三角形时，直接写出t的值．
25.如图，在平面直角坐标系中，四边形
是矩形，点
，点
，点
；D为
边上的动点.
（1）如图1，将
对折，使得点B的对应点
落在对角线
上，折痕为
，求此刻点D的坐标；
（2）如图2，将
对折，使得点A的与点C重合，折痕交
于点D
，
交
于点E
，
求直线
的解析式；
（3）在坐标平面内，是否存在点P（除点B外），使得
与
全等？若存在，请直接写出所有符合条件的点P的坐标；若不存在，请说明理由.
答案
一、选择题
1.解：如图所示，
根据题意得AO＝
，BO＝
，
∵四边形ABCD是菱形，
∴AB＝BC＝CD＝DA，AC⊥BD，
∴△AOB是直角三角形，
∴AB＝
，
∴此菱形的周长为：5×4＝20.
故答案为：B.
2.解：∵四边形ABCD是菱形，AC=8，BD=6，
∴CO=AC=4，OD=BD=3，AC⊥BD，
∴DC==5，∠EOC+∠DOE=90°，∠DCO+∠ODC=90°，
∵OE=CE，∴∠EOC=∠ECO，
∴∠DOE=∠ODC，∴DE=OE，
∴OE=CD=.
故答案为：B.
3.如图，连接AC
四边形ABCD是菱形
如图所示的木制活动衣帽架是由三个全等的菱形构成，
是等边三角形
故答案为：C.
4.解：由折叠的性质可知：∠ACB′＝∠1＝25°.
∵四边形ABCD为矩形，
∴AD∥BC，
∴∠2＝∠1+∠ACB′＝25°+25°＝50°.
故答案为：C.
5.解：由对角线相等的平行四边形是矩形，可得当AC＝BD时，能判定?ABCD是矩形.
由有一个角是直角的平行四边形是矩形，可得当AB⊥BC时，能判定?ABCD是矩形.
由平行四边形四边形对边平行，可得AD∥BC，即可得∠1＝∠2，所以当∠1＝∠2时，不能判定?ABCD是矩形.
由有一个角是直角的平行四边形是矩形，可得当∠ABC＝∠BCD时，能判定?ABCD是矩形.
故答案为：C.
6.解：连接AC，BD交于点O，
∵菱形ABCD，
∴AC=2OC，BD=2OB，AC⊥BD，BC=AB
∵点E，F分别是边AB，BC中点，
∴EF是△ABC的中位线，
∴AC=2EF
同理可得：BD=2EH
∴OB=EH，EF=OC，
∵EH=3EF，
∴OB=3OC
在Rt△BOC中
,
∴.
故答案为：D.
7.解：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AO=CO，BO=DO，
又∵BM=DN，
∴MO=NO，
∵BD⊥AC，
∴四边形AMCN是菱形.
故答案为：C.
8.解：∵点A的坐标是（-1，0），点C的坐标是（2，4），
∴线段AC=
?=5，∵四边形ABCD是矩形，
∴BD=AC=5，
故答案为：B．
9.解：如图，设M、N分别为AB、AD的中点，则MN是△ABD的中位线，
∵E为BD上任意点，F为AE中点，
∴点F在MN上，
作点O关于MN的对称点O′，连接BO′，则BO′即为
的最小值，
∵四边形ABCD是矩形，
，
∴OA＝OB，∠AOB＝60°，
∴△ABO是等边三角形，
∴AB＝BO＝4，
过点A作AH⊥BO于H，则BH＝HO＝2，
∴AH＝
，
∵MN∥BD，点H关于MN的对称点为A，点O关于MN的对称点为O′
∴OO′＝AH＝
，且OO′⊥BD，
∴
，
即
的最小值为
，
故答案为：A．
10.∵四边形ABCD是矩形
∴AB∥DC,AO=OC
∴∠AEO=∠CFO,∠EAO=∠FCO
∴△AEO≌CFO（AAS）
∴AE=FC，①符合题意
∵四边形ABCD是矩形
∴OC=OB
∵∠BOC=60°
∴△OCB是正三角形，∴OB=OC
∵FO=FC
∴FB是线段OC的垂直平分线，②符合题意
∵BM⊥OC，∴△OMB是直角三角形，∴OB＞BM
∴
是错误的，即③不符合题意
∵四边形ABCD是矩形
∴EB∥DF，AB=DC
∵AE=FC
∴EB=DF
∴四边形EBFD是平行四边形
∵△AEO≌△CFO，OF=FC，∴AE=EO=OF=FC
∵△OBC是正三角形，∴∠BOC=60°=∠BCO，BC=BO
∴∠FCO=30°，∴∠FOC=30°
∴∠FOB=30°+60°=90°
∴∠EOB=90°=∠FCB
∴△EOB≌△FCB（SAS）
∴EB=FB
∴平行四边形EBFD是菱形，④符合题意
故答案为：C
二、填空题
11.解：∵四边形ABCD是菱形，
∴AC⊥BD，OB=BD=4，OA=AC=3，
∴AB=
，
∴
菱形ABCD的周长=4×5=20.
12.解：∵矩形ABCD的长和宽分别为6和4，E，F，G,H分别为矩形ABCD的各个边的中点
∴AE=BE=CG=DG=2
AH=DH=BF=FC=3
∴EH=EF=HG=GF==4
13.解：作GE⊥DB于点E，如图所示：
∵四边形ABCD是矩形，
∴AD＝BC＝6，∠A＝90°，
由勾股定理得，DB＝
＝
＝10，
由折叠的性质可知，DE＝DA＝6，AG＝EG，
∴BE＝DB﹣DE＝4，
设AG＝EG＝x，则BG＝8﹣x，
在Rt△EBG中，由勾股定理得：x2+42＝（8﹣x）2
，
解得：x＝3，
即AG的长为3.
故答案为：3.
14.解：∵四边形
是矩形，
∴
，
，
，
∵
，
∴
∵
翻折得到
∴
，
，
∵
，
∴
，
∴
，
∴
，
∴
∴
．
故答案为：
15.?∵两个全等菱形的边长为1厘米，
∴蜜蜂沿菱形的边飞行一周走过的路程为8×1=8cm，
∵2015÷8=251···7，
∴飞行2015厘米停下的点与飞行7厘米后停下的点相同，
由图知，飞行7厘米后停在点G，
∴
则这只蜜蜂停在G点.
16.∵□ABCD
∴AD∥BC，AB∥CD
∴DE∥AF，∠AED=∠BAE
∵EF∥AD
∴四边形ADEF是平行四边形
∵AE平分∠BAD
∴∠DAE=∠BAE
∴∠AED=∠DAE
∴AD=DE
∴四边形ADEF是菱形
∵AB=5，CE=2，
∴DE=CD-CE=AB-CE=5-2=3
∴四边形ADEF的周长为3×4=12
故答案为：12.
17.解：如图，连接BD，
∵四边形ABCD是菱形，
∴∠BDA=
∠ADC=
×120°=60°，
∵AB=AD（菱形的邻边相等），
∴△ABD是等边三角形，
连接DE，∵B、D关于对角线AC对称，
∴DE与AC的交点即为所求的点P，PE+PB的最小值=DE，
∵E是AB的中点，
∴DE⊥AB，
∵菱形ABCD周长为16，
∴AD=16÷4=4，
∴DE=
．
故答案为：2
．
三、解答题
18.
解：∵四边形ABCD是平行四边形
∴
∴
∵E为BC的中点
∴
∴
∴
∵
∴四边形ABFC是平行四边形
∴平行四边形ABFC是矩形．
19.
证明：∵在
中，
，
，
且
，
∴
即
，
∴四边形AECF是平行四边形.
又∵
，
∴
是菱形.
20.
（1）证明；∵
，∴
.
∵
是对角线
的垂直平分线，
∴
，
.
在
和
中，
，
∴
，
∴
，
∴四边形
为平行四边形.
又∵
，
∴四边形
为菱形.
（2）解：∵四边形
为菱形，
，
.
∴
，
，
.
在
中，
.
∴菱形
的周长
.
四．解答题二
21.
（1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴OB＝OD，
∵四边形DOEC为平行四边形，
∴OD∥EC，OD＝EC，
∴EC∥OB，EC＝OB，
∴四边形OBEC为平行四边形，
∴BF＝CF，
即F为BC中点；
（2）解：∵四边形ABCD是平行四边形，OB⊥AC，
∴四边形ABCD是菱形，
∵四边形OBEC为平行四边形，OB⊥AC，
∴四边形OBEC为矩形，
∴BC＝OE＝2OF，
∵OF＝2，
∴BC＝4，
∴平行四边形ABCD的周长＝4BC＝16.
22.
（1）证明：
是
边中点，
，
又
，
四边形
是平行四边形．
中，
为
中点，
，
∴四边形
为菱形．
（2）解：
，
．
中，
，
．
为
中点，
是
中点，
，
．
23.
（1）解：在△ABC和△ADC中
，
∴△ABC≌△ADC，
∴∠BAC＝∠DAC，
在△ABF和△ADF中
，
∴△ABF≌△ADF，
∴
（2）解：∵AB∥CD，
∴∠BAC＝∠ACD，
∵∠BAC＝∠DAC，
∴∠DAC＝∠ACD，
∴AD＝CD，
∵AB＝AD，CB＝CD，
∴AB＝CB＝CD＝AD，
∴四边形ABCD是菱形
（3）解：∵四边形ABCD是菱形，
∴BC＝CD，∠BCF＝∠DCF，
∵CF＝CF，
∴△BCF≌△DCF，
∴∠CBF＝∠CDF，
∵BE⊥CD，
∴∠BEC＝∠DEF＝90
，
∴∠BCD+∠CBF=∠EFD+∠CDF
=90
∴
．
五．解答题三
24.
（1）∵四边形ABCD是矩形，
∴
．
∴
，
．
在Rt△ABC中，∠B=90°，
由勾股定理，得
．
∵
，
∴
≌
．
∴
．
（2）当四边形APQD是矩形时，P、Q分别为AB、CD的中点
即
=4
t=2．
（3）如图，当四边形APCQ是菱形时，AP=CP=2t
．
∴PB=8-2t
．
在Rt△BCP中，∠B=90°，
由勾股定理，得
．
∴
．
解得
．
当
时，四边形APCQ是菱形．
（4）当AO=OP时，如图所示：
∵AO=5
∴P运动到点B
∴
；
当AO=AP时，
∵AO=AP=5
∴
；
当AP=OP时，
由（2），得OH=3，AH=4
∴PH=4-2t,OP=2t
∴
，即
∴
综上所述，
或
或
．
25.
（1）解：（Ⅰ）∵在矩形
中，点
，点
；
∴
，
；
在
中，
由翻折可知：
∴
，
，
设
，则
在
中，
，
由勾股定理得：
，即
解得：
.
∵点D在
边上，
∴D点坐标为
.
（2）设D点坐标为
则
，
由翻折可知：
，
，
在
中，由勾股定理得：
，即
解得：
∴
设直线
的解析式为
，
则
，解得
，
∴直线
的解析式为
.
（3）存在点P（除点B外），使得
与
全等，理由如下：
①当点P与点O重合时，△APC≌△CBA，此时P（0，0），
②当点P在第一象限时，如图作
交AB
于H，
在Rt△ADP中，
,
由
得
，有P的横轴坐标为：
，
将
代入
的解析式
，得到P的纵轴坐标为：
，此时点P的坐标为
；
③当点P在第一象限时，如图作
交OC
于G，
同理可得：
,
由勾股定理可得：
解得
，
即有
，所以此时点P的坐标为
；
综上符合条件的点P的坐标为
，
或
.