【数学】1.1.1《角的概念的推广》课件（1）（新人教b版必修4）

(共24张PPT)
角的概念扩展
1、角的概念
初中是如何定义角的？
从一个点出发引出的两条射线构成的几何图形.
这种概念的优点是形象、直观、容易理解，但它是从图形形状来定义角，因此角的范围是[0 , 360 )，
这种定义称为静态定义，其弊端在于“狭隘”.
生活中很多实例会不在该范围。
体操运动员转体720 ，跳水运动员向内、向外转体1080 ；
经过1小时，时针、分针、秒针各转了多少度？
这些例子不仅不在范围[0 , 360 ) ，而且方向不同，有必要将角的概念推广到任意角，
想想用什么办法才能推广到任意角？
关键是用运动的观点来看待角的变化。
2．角的概念的推广
⑴“旋转”形成角
一条射线由原来的位置OA，绕着它的端点O按逆时针方向旋转到另一位置OB，就形成角α．
旋转开始时的射线OA叫做角α的始边，旋转终止的射线OB叫做角α的终边，射线的端点O叫做角α的顶点．
⑵．“正角”与“负角”、“0 角”
我们把按逆时针方向旋转所形成的角叫做正角，把按顺时针方向旋转所形成的角叫做负角，如图，以OA为始边的角α=210°，β=－150°，γ=660°，
特别地，当一条射线没有作任何旋转时，我们也认为这时形成了一个角，并把这个角叫做零度角（0 ）．
角的记法：角α或可以简记成∠α.
⑶角的概念扩展的意义：
用“旋转”定义角之后，角的范围大大地扩大了
① 角有正负之分; 如： =210 , = 150 , =660 .
② 角可以任意大;
实例：体操动作：旋转2周（360 ×2=720 ） 3周（360 ×3=1080 ）
③ 还有零角, 一条射线，没有旋转.
角的概念推广以后，它包括任意大小的正角、负角和零角．
要注意，正角和负角是表示具有相反意义的旋转量，它的正负规定纯属于习惯，就好象与正数、负数的规定一样，零角无正负，就好象数零无正负一样．
用旋转来描述角，需要注意三个要素（旋转中心、旋转方向和旋转量）
（2）旋转方向：旋转变换的方向分为逆时针和顺时针两种，这是一对意义相反的量，根据以往的经验，我们可以把一对意义相反的量用正负数来表示，那么许多问题就可以解决了；
（1）旋转中心：作为角的顶点.
（3）旋转量：
当旋转超过一周时，旋转量即超过360 ，角度的绝对值可大于360 .于是就会出现720 ， － 540 等角度.
3．“象限角”
为了研究方便，我们往往在平面直角坐标系中来讨论角。
角的顶点重合于坐标原点，角的始边重合于x轴的正半轴，这样一来，角的终边落在第几象限，我们就说这个角是第几象限的角（角的终边落在坐标轴上，则此角不属于任何一个象限）
例如：30 、390 、 330 是第Ⅰ象限角，
300 、 60 是第Ⅳ象限角，
585 、1300 是第Ⅲ象限角，
135 、 2000 是第Ⅱ象限角等
4．终边相同的角
⑴ 观察：390 ， 330 角，它们的终边都与30 角的终边相同.
⑵探究：终边相同的角都可以表示成一个0 到360 的角与k(k∈Z)个周角的和：
390 =30 +360 (k=1), 330 =30 360 (k=－1)
30 =30 +0×360 (k=0), 1470 =30 +4×360 (k=4)
1770 =30 5×360 (k=－5)
⑶ 结论：
所有与 终边相同的角连同 在内可以构成一个集合：{β| β=α+k·360 }(k∈Z)
即：任何一个与角 终边相同的角，都可以表示成角 与整数个周角的和
⑷注意以下四点：
① k∈Z；
② 是任意角；
③ k·360 与 之间是“+”号，如k·360 －30 ,应看成k·360 +(－30 )；
④ 终边相同的角不一定相等，但相等的角，终边一定相同，终边相同的角有无数多个，它们相差360 的整数倍.
例1. 在0 到360 范围内，找出与下列各角终边相同的角，并判断它是哪个象限的角.
(1) －120 ；(2) 640 ；(3) －950 12′.
解：⑴∵－120 =－360 +240 ，
∴240 的角与－120 的角终边相同，
它是第三象限角．
⑵ ∵640 =360 +280 ，
∴280 的角与640 的角终边相同，
它是第四象限角．
⑶ ∵－950 12’=－3×360 +129 48’，
∴129 48’的角与－950 12’的角终边相同，
它是第二象限角．
例2. 写出与下列各角终边相同的角的集合S，并把S中在－360 ~720 间的角写出来：
(1) 60 ；(2) －21 ；(3) 363 14′.
解：(1) S={β| β=k·360 +60 (k∈Z) },
S中在－360 ～720 间的角是
－1×360 +60 =－280 ；
0×360 +60 =60 ；
1×360 +60 =420 ．
(2) S={β| β=k·360 －21 (k∈Z) }
S中在－360 ～720 间的角是
0×360 －21 =－21 ；
1×360 －21 =339 ；
2×360 －21 =699 ．
(3) β| β=k·360 + 363 14’ (k∈Z) }
S中在－360 ～720 间的角是
－2×360 +363 14’=－356 46’；
－1×360 +363 14’=3 14’；
0×360 +363 14’=363 14’．
课堂练习
1．锐角是第几象限的角？第一象限的角是否都是锐角？小于90 的角是锐角吗？区间(0 ,90 )内的角是锐角吗？
答：锐角是第一象限角；第一象限角不一定是锐角；小于90 的角可能是零角或负角，故它不一定是锐角；区间(0 ,90 )内的角是锐角．
2．已知角的顶点与坐标系原点重合，始边落在x轴的正半轴上，作出下列各角，并指出它们是哪个象限的角？
(1)420 ，(2) －75 ，(3)855 ，(4) －510 ．
答：(1)第一象限角；
(2)第四象限角，
(3)第二象限角，
(4)第三象限角.
3、已知α,β角的终边相同，那么α－β的终边在（ ）
A x轴的非负半轴上 B y轴的非负半轴上
C x轴的非正半轴上 D y轴的非正半轴上
A
4、终边与坐标轴重合的角的集合是（ ）
A {β|β=k·360 (k∈Z) }
B {β|β=k·180 (k∈Z) }
C {β|β=k·90 (k∈Z) }
D {β|β=k·180 +90 (k∈Z) }
C
5 、已知角2α的终边在x轴的上方，那么α是( )
A 第一象限角 B 第一、二象限角
C 第一、三象限角 D 第一、四象限角
C
6、若α是第四象限角，则180 －α是（ ）
A 第一象限角 B 第二象限角
C 第三象限角 D 第四象限角
C
7、在直角坐标系中，若α与β终边互相垂直，那么α与β之间的关系是（ ）
A. β=α+90o
B β=α±90o
C β=k·360o+90o+α,k∈Z
D β=k·360o±90o+α, k∈Z
D
8、若90 <β<α<135 ，则α－β的范围是__________，α+β的范围是___________;
(0 ,45 )
(180 ,270 )
9、若β的终边与60 角的终边相同，那么在[0 ,360 ]范围内，终边与角 的终边相同的角为______________;
解：β=k·360 +60 ，k∈Z.
所以 =k·120 +20 ， k∈Z.
当k=0时，得角为20 ，
当k=1时，得角为140 ，
当k=2时，得角为260 .