【数学】1.1.2《弧度制及弧度制与角度制的换算》课件（新人教b版必修4）

(共22张PPT)
1.1.2 弧度制和
弧度制与角度制的换算
在初中几何里，我们学习过角的度量，1度的角是怎样定义的呢？
周角的 为1度的角。
这种用1 角作单位来度量角的制度叫做角度制 ，今天我们来学习另一种在数学和其他学科中常用的度量角的制度——弧度制。
1. 圆心角、弧长和半径之间的关系：
角是由射线绕它的端点旋转而成的，在旋转的过程中射线上的点必然形成一条圆弧，
不同的点所形成的圆
弧的长度是不同的，
但都对应同一个圆心角。
=定值，
设α=n ， 弧长为l，半径OA为r，
则 ，
可以看出，等式右端不含
半径，表示弧长与半径的
比值跟半径无关，只与α的
大小有关。
结论：可以用圆的半径作单位去度量角。
2.定义：
长度等于半径长的圆弧所对的圆心角叫做1弧度的角，弧度记作rad。这种以弧度为单位来度量角的制度叫做弧度制。
注：今后在用弧度制表示角的时候，弧度二字或rad可以略去不写。
3. 弧度制与角度制相比：
(1) 弧度制是以“弧度”为单位的度量角的单位制，角度制是以“度”为单位来度量角的单位制；1弧度≠1 ；
（2）1弧度是弧长等于半径长的圆弧所对的圆心角的大小，而1度是圆周 的所对的圆心角的大小；
（3）弧度制是十进制，它的表示是用一个实数表示，而角度制是六十进制；
（4）以弧度和度为单位的角，都是一个与半径无关的定值。
4.公式： ，
表示的是在半径为r的圆中，弧长为l的弧所对的圆心角是αrad。
5. 弧度制与角度制的换算
① 用角度制和弧度制度量角，零角既是0 角，又是0 rad角，同一个非零角的度数和弧度数是不同的.
② 平角、周角的弧度数：
平角= rad、周角=2 rad.
③ 正角的弧度数是正数，负角的弧度数是负数，零角的弧度数是0.
④角 的弧度数的绝对值:
（l为弧长，r为半径）
⑤ ∵ 360 =2 rad ，∴180 = rad
∴ 1 =
1 rad
6. 用弧度制表示弧长及扇形面积公式：
弧长等于弧所对的圆心角（的弧度数）的绝对值与半径的积.
① 弧长公式：
由公式：
比公式 简单.
② 扇形面积公式
其中l是扇形弧长，R是圆的半径。
证明：设扇形所对的圆心角为n (αrad)，则
又 αR=l，所以
证明2：因为圆心角为1 rad的扇形面积是
而弧长为l的扇形的圆心角的大小是 rad.
所以它的面积是
例1. （1) 把112 30′化成弧度(精确到0.001)；
（2）把112 30′化成弧度（用π表示）。
解： （1）112 30′=112.5 ，
所以112 30′≈112.5×0.0175≈1.969rad.
(2) 112 30′=112.5× = .
例2. 把 化成度。
解：1rad=
例3. 填写下表：
角度 0° 30° 45° 60° 90° 120°
弧度
角度 135° 150° 180° 210° 225° 240°
弧度
角度 270° 300° 315° 330° 360°
弧度
0
π
2π
例4. 扇形AOB中， 所对的圆心角是60 ，半径是50米，求 的长l（精确到0.1米）。
解：因为60 = ,所以
l=α·r= ×50≈52.5 .
答： 的长约为52.5米.
例5. 在半径为R的圆中，240 的中心角所对的弧长为 ，面积为2R2的扇形的中心角等于 弧度。
解：（1）240 = ，根据l=αR，得
（2）根据S= lR= αR2，且S=2R2.
所以 α=4.
例6.与角－1825 的终边相同，且绝对值最小的角的度数是＿＿＿，合＿＿＿弧度。
解：－1825 =－5×360 －25 ，
所以与角－1825 的终边相同，且绝对值最小的角是－25 .
合
例7. 已知一半径为R的扇形，它的周长等于所在圆的周长，那么扇形的中心角是多少弧度？合多少度？扇形的面积是多少？
解：周长=2πR=2R+l，所以l=2(π－1)R.
所以扇形的中心角是2(π－1) rad.
合( )
扇形面积是