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1.2.2 单位圆与三角函数线
前面我们研究了三角函数在各象限内的符号,学习了将任意角的三角函数化成0 到360 角的三角函数的一组公式,
由三角函数的定义我们知道,对于角α的各种三角函数我们都是用比值来表示的,或者说是用数来表示的,今天我们再来学习正弦、余弦、正切函数的另一种表示方法——几何表示法
我们首先建立下面的坐标系:在观览车转轮圆面所在的平面内,以观览车转轮中心为原点,以水平线为x轴,以转轮半径为单位长建立直角坐标系。
设P 点为转轮边缘上的一点,它表示座椅的位置,记
,则由正弦函数的定义可知,
1.单位圆的概念
一般地,我们把半径为1的圆叫做单位圆,设单位圆的圆心与坐标原点重合,则单位圆与x轴的交点分别为
A(1,0),A’(-1,0).
而与y轴的交点分别为
B(0,1),B’(0,-1).
2. 有向线段的概念:
带有方向的线段叫有向线段 ;
有向线段的数值由其长度大小和方向来决定。
如在数轴上,|OA|=3,|OB|=3
设任意角α的顶点在原点,始边与x轴的正半轴重合,终边与单位圆相交于点P(x,y),过P作x轴的垂线,垂足为M; 做PN垂直y轴于点N,
则点M、N分别是点P在x轴、y轴上的正射影.
3. 三角函数线
根据三角函数的定义有点P的坐标为(cosα,sinα)
其中cosα=OM,sinα=ON.
这就是说,角α的余弦和正弦分别等于角α的终边与单位圆交点的横坐标与纵坐标.
以A为原点建立y’轴与y轴同向,y’轴与α角的终边(或其反向延长线)相交于点T(或T ’),则tanα=AT(或AT ’)
我们把轴上的向量
分别叫做α的余弦线、正弦线和正切线.
例1.分别作出 、 、 的正弦线、余弦线、正切线。
例2.比较大小:
(1) sin1和sin1.5; (2) cos1和cos1.5;
(3) tan2和tan3.
解:由三角函数线得
sin1cos1>cos1.5
tan2例3. 已知sinx=0.5,求角x的大小.(0 解:由在y轴上找到y=0.5的点,做x轴的平行线,交单位圆于点P和P’两点,由三角函数线知
x1=30 , x2=150 .
例4. 利用三角函数线证明|sinα|+|cosα|≥1.
证明:在△OMP中,OP=1,OM=|cosα|, MP=ON=|sinα|,
因为三角形两边之和大于第三边,所以
|sinα|+|cosα|≥1。
例5. 已知α∈(0, ),试证明sinα<α证明:sinα=|ON|=|MP|,
α =
tanα=|AT|.
又
所以
即sinα<α小结:
1. 给定任意一个角α,都能在单位圆中作出它的正弦线、余弦线、正切线。
2. 三角函数线的位置 :
正弦线为从原点到α的终边与单位圆的交点在y轴上的射影的有向线段;
余弦线为从原点到α的终边与单位圆的交点在x轴上的射影的有向线段;
正切线在过单位圆与x轴正方向的交点的切线上,为有向线段
3. 特殊情况:
① 当角的终边在x轴上时,点P与点M重合,点T与点A重合,这时正弦线与正切线都变成了一点,数量为零,而余弦线OM=1或-1。
② 当角的终边在y轴上时,正弦线MP=1或-1余弦线变成了一点,它表示的数量为零,正切线不存在。