【数学】1.2.3《同角三角函数的基本关系式》课件（新人教b版必修4）

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1.2.3同角三角函数的基本关系式
在单位圆中，角α的终边OP与OM、MP组成直角三角形，|MP|的长度是正弦的绝对值，|OM|的长度是余弦的绝对值，|OP|=1，
根据勾股定理得sin2α+cos2α=1.
又根据三角函数的定义有sinα= ,cosα=
所以sin2α+cos2α=1.
又知tanα= ,所以
注意事项：
1. 公式中的角一定是同角，否则公式可能不成立. 如sin230 +cos260 ≠1.
2.同角不要拘泥于形式α， ，6α等等都可以.
如sin24α+cos24α=1.
3. 在运用商数关系时，要注意等式成立的限制条件. 即cosα≠0. α≠kπ+ ，k∈Z.
(1) 当我们知道一个角的某一个三角函数值时，可以利用这两个三角函数关系式和三角函数定义，求出这个角的其余三角函数值。
同角三角函数关系式的应用：
(2) 此外，还可用它们化简三角函数式和证明三角恒等式。
4.常用变形：
在公式应用中,不仅要注意公式的正用,还要注意公式的逆用、活用和变用.
例1 已知 ，并且α是第二象限角，求α的其他三角函数值．
分析：由平方关系可求cosα的值，
由已知条件和cosα的值可以求tanα的值，
进而用倒数关系求得cotα的值．
解：∵sin2α+cos2α=1，α是第二象限角.
例2．已知 ，求sinα、tanα的值.
分析：∵cosα＜0　　∴α是第二或第三象限角．因此要对α所在象限分类讨论.
解：当α是第二象限角时，
当α是第三象限角时，
例3. 已知sinα－cosα= ,180 <α<270 .
求tanα的值。
解：以题意和基本三角恒等式，得到方程组
消去sinα，得5cos2α－ cosα－2=0，
由方程解得cosα=
或cosα=
因为180 <α<270 ，所以cosα<0，即
cosα=
代入原方程组得sinα=
于是tanα= =2.
例4 化简：
解：原式=
=cosθ.
例5化简：
解：原式=
例6. 求证：(1)sin4α－cos4α=2sin2α－1；
(2) tan2α－sin2α=tan2α·sin2α；
(3)
证明：（1）
原式左边=(sin2α+cos2α)(sin2α－cos2α)
=sin2α－cos2α
=sin2α－(1－sin2α)
=2sin2α－1右边.
所以原等式成立.
(2)
证明：
原式右边=tan2α(1－cos2α)
=tan2α－tan2αcos2α
=tan2α－sin2α
=左边.
因此
(3)
证明：左边
=右边
∴原等式成立.
证明等式的常用方法：
1.从等式的一边证得它等于另一边；
2.先证明另外一个等式成立，从而推出需要
证明的等式成立；
3.利用作差(作商)的方法。