【数学】1.2.4《诱导公式（2）》课件（新人教b版必修4）

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1.2.4 诱导公式（二）
公式(五):
sin(α+ )=cosα,
cos(α+ )=－sinα,
tan(α+ )=－cotα,
这是因为，若设α的终边与单位圆交于点P(x，y)，则角α+ 的终边与单位圆的交点必为P (－y，x). 由三角函数的定义可得公式（四）.
公式(六):
sin(－α+ )=cosα,
cos(－α+ )=sinα,
tan(－α+ )=cotα,
四组诱导公式的作用 :
任意一个角都可以表示为
的形式。
这样由前面的公式就可以把任意角的三角函数求值问题转化为0到 之间角的三角函数求值问题。
这样，诱导公式可以分为两大组：
(1) 由2kπ+α，－α，π+α，π－α等为一组，所得到的三角函数与原来的三角函数是相同三角函数；
(2)由 +α， －α为一组，所得到的三角函数与原来的三角函数是互余的三角函数；
记忆口诀：奇变偶不变.
所有的诱导公式的符号是由角度所在象限决定的，即把角α看做锐角，原来角度所在象限，原来函数所具有的符号为公式右边的符号。
记忆口诀：符号看象限.
例1 求证：
证：
左边 = 右边 .
∴ 原等式成立 .
例2.
解：
=1.
例3 .已知sinβ= ，sin(α+β)=1，求sin(2α+β).
解：
从而
=sin(π－β)
=sinβ
=
例4. 已知f(cosx)=cos17x，求f(sinx)
解：f(sinx)=f[cos(90 －x)]
=cos[17×(90 －x)]
=cos(4×360 +90 －17x)
=cos(90 －17x)
=sin17x.
课堂练习：
1．计算：sin315 sin( 480 )+cos( 330 ) .
解：原式 = sin(360 45 ) + sin(360 +120 ) + cos( 360 +30 )
= sin45 + sin60 + cos30
2．已知
解：
3．求证：
证：若k是偶数，即k = 2n (n Z) 则：
=－1
若k是奇数，即k = 2n + 1 (n Z) 则：
=－1
∴原式成立.
5．已知：
解：由题设：
由此：当a 0时，tan < 0, cos < 0, 为第二象限角，
当a = 0时，tan = 0, = k , ∴cos = ±1，
∵ cos ≤0， ∴cos = 1 ,
综上所述：
6．若关于x的方程2cos2( + x) sinx + a = 0 有实根，求实数a的取值范围。
解：原方程变形为：2cos2x sinx + a = 0 ，
即 2 2sin2x sinx + a = 0
∴
∵ 1≤sinx≤1
∴
∴ a的取值范围是[ ].
小结: 应用诱导公式化简三角函数的一般步骤：
1 用“ ”公式化为正角的三角函数；
2 用“2k + ”公式化为[0，2 ]角的三角函数；
3 用“ ± ”或“2 ”公式化为锐角的三角函数.