【数学】1.3.2(1)《余弦函数的图象及性质》课件（新人教b版必修4）

(共23张PPT)
1.3.2 余弦函数的图象与性质
利用五点描图法画出y=sinx的图象,
图象向两边延伸，得
1. 余弦函数的图象
把函数y=sinx的图象，向左平移 单位即得到y=cosx的图象 。
余弦函数的图象叫做余弦曲线。
通过观察图象，我们不难发现，起着关键作用的点是五个点：(0，1)，( ，0)、(π，－1)，( ，0)，(2π，1).
2. 余弦函数的性质：
(1) 定义域： y=cosx的定义域为R
(2) 值域：
① 由单位圆中的三角函数线，得结论： |cosx|≤1 （有界性）
再看正弦函数线（图象）验证上述结论：
所以y=cosx的值域为[－1，1]；
②对于y=cosx
当且仅当x=2k k Z时 ymax=1，
当且仅当x=2k + k Z时 ymin=－1，
③观察R上的y=cosx的图象可知
当2k － 0
当2k + (3).周期性：（观察图象）
①余弦函数的图象是有规律不断重复出现的；
②规律是：每隔2 重复出现一次（或者说每隔2k ,k Z重复出现）
③这个规律由诱导公式 cos(2k +x)=cosx也可以说明余弦函数的最小正周期是T=2π.
(4). 奇偶性
由诱导公式:cos(－x)=cosx 得余弦函数是偶函数。
(5).单调性
余弦函数在每一个闭区间[2kπ, 2kπ+π], k∈Z上是减函数；
在每一个闭区间[2kπ+π, 2kπ+2π],k∈Z上是增函数。
例1、求下列函数的最值:
（1）y=－3cosx+1；
（2）
解：(1) ∵ －1≤cosx≤1，
∴ －2≤－3cosx+1≤4.
即ymax=4，ymin= －2.
（3）
(2)
解：(2) ∵ －1≤cosx≤1，
当cosx=－1时，ymax=
∴ 当cosx= 时，ymin=－3，
（3）
解：因为cosx∈[－1, 1]，所以cos2x∈[0，1].
当cosx=0时，ymax=1;
当cosx=1或cosx=－1时，ymin=
例2、判断下列函数的奇偶性：
（1）y=cosx+2；
（2）y=cosxsinx.
解：（1）f(－x)=cos(－x)+2
=cosx+2=f(x),
∴ 函数y=cosx+2是偶函数.
(2) f(－x)=cos(－x)sin(－x)
=－cosxsinx=－f(x).
∴ 函数y=cosxsinx是奇函数.
例3、求函数 的最小正周期.
解：因为
∴ 原函数的最小正周期是6π.
例4、求函数 的单调区间。
解：当 时，
即 时，原函数为减函数；
当 时，
即 时，原函数为增函数；
例5. 下列各题中，两个函数的图象之间有什么关系？
（1）y=2cosx与y=cosx;
（2）y=cos2x与y=cosx;
（3） 与y=cosx;
（4） 与y=cosx.
练习
1.下列说法中不正确的是 ( )
(A) 正弦函数、余弦函数的定义域都是R，值域都是[－1，1]；
(B) 余弦函数当且仅当x=2kπ( k∈Z) 时，取得最大值1；
(C) 余弦函数在[2kπ+ ,2kπ+ ]( k∈Z)上都是减函数；
(D) 余弦函数在[2kπ－π, 2kπ]( k∈Z)上都是减函数
C
2.函数f(x)=cosx－|cosx|的值域为 ( )
（A）{0} (B) [－1,1] (C) [0,1] (D) [－2,0]
D
3.若a=sin46° , b=cos46°, c=cos36°，则a、b、c的大小关系是 ( )
(A) c> a > b (B) a > b> c (C) a >c> b (D) b> c> a
A
4. 对于函数y=sin( π－x），下面说法中正确的是 ( )
函数是周期为π的奇函数
(B) 函数是周期为π的偶函数
(C) 函数是周期为2π的奇函数
(D) 函数是周期为2π的偶函数
D
5.函数y=2cosx(0≤x≤2π)的图象和直线y=2围成一个封闭的平面图形，则这个封闭图形的面积是( )
4 (B) 8
(C) 2π (D) 4π
D
6. 函数值sin1,sin2,sin3,sin4的大小顺序是 .
sin2>sin1>sin3>sin4
7. 函数y=cos(sinx)的奇偶性是 .
偶函数
8. 函数f(x)=lg(2sinx+1)+ 的定义域是 ;
2kπ－ 9.关于x的方程cos2x+sinx－a=0有实数解，则实数a的最小值是 .
－1
10. 已知函数y= f(x)的定义域是[0, ]，求函数y=f(sin2x) 的定义域.
解：由0≤sin2x≤ ，即－ ≤sinx≤ 得：
kπ－ ≤x≤kπ+ , ( k∈Z)
11.已知y=a－bcos3x的最大值为 ，最小值为 ，求实数a与b的值.
解：当b>0时，有
解得
当b<0时, 有
解得