【数学】1.3.3《 已知三角函数值求角》课件（1）（新人教b版必修4）

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已知三角函数值求角
我们知道，任意给定一个角，只要这个角的三角函数值存在，就可以求出这个三角函数值；反过来，已知一个三角函数值，也可以求出与它对应的角。
1.已知正弦值，求角
例1、已知 sinx= ，
（1）若 ，求x；
（2）若 ，求x；
（3）若 x∈R，求x的取值集合。
在y=sinx的非单调区间上，对于一个已知的正弦值，可能有多个角和它对应
但在y=sinx的单调区间上，只有一个角和已知的正弦值对应
通过该问题，你发现了什么结论呢？
一般地，对于正弦函数y=sinx，如果已知函数值y (y∈[－1, 1])，那么在 上有唯一的x值和它对应，记为x=arcsiny (其中－1≤y≤1， )
即arcsiny (|y|≤1)表示 上正弦等于y的那个角
在区间 上，
如 sinx= ,则x=arcsin =
sinx=1/3, 则 x=arcsin1/3.
sinx= ,则x=arcsin( )=－
若x不在 ，可先用诱导公式转化到
上，再求角
例2.（1）已知cosx=0.5，x∈[0, 2π)，求x；
类似地，这时可以用反余弦来表示x
（2）已知cosx=－ ，求x的取值集合；
如果我们限定x在区间[0，π]上取值，那么对于区间[－1，1]的任意一个y的值，x只有唯一值与之对应.
在区间[0，π]上符合条件cosx=y (－1≤y ≤1)的角x，记为x=arccosy，
若x在第三象限，则x=π+arccos
综上得满足cosx=－ 的角的集合是
(2) cosx=－ ，若x在第二象限
x=arccos(－ )=π－arccos
反余弦举例：
若cosx=0.2，x在第一象限，
则x=arccos(0.2).
若cosx=0.2，x在第四象限，
则x=－arccos(0.2)或x=2π－arccos(0.2)
解集为{x| x=2kπ+arccos0.2, k∈Z} ∪
{x|x=2kπ－arccos0.2, k∈Z}
若cosx=－0.7，x在第二象限，
则x=arccos(－0.7)=π－arccos0.7.
若cosx=－0.7，x在第三象限，
则x=π+arccos(0.7)
解集为{x| x=2kπ+π－arccos0.7, k∈Z} ∪
{x|x=2kπ+π+arccos0.7, k∈Z}
例3. 已知tanx= ，且x∈ ,求x的值.
由tan( )=－tan =－ ,
所以x=－
一般地，对于tanx=a (a>0)，则
x=kπ+arctana，k∈Z.
如tanx=2，则x=kπ+arctan2. k∈Z.
对于tanx=－a (a<0)，则
x=kπ－arctan(－a)，k∈Z.
如tanx=－2，则x=kπ－arctan2. k∈Z.
练习.用反三角式表示下列各式中的 x:
(1)sinx= , x [0, ];
(2)tanx= , x [ , 2 ];
(3)cosx= - , x [ , ].
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2
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