【数学】1.3.3《已知三角函数值求角》课件（新人教b版必修4）

(共17张PPT)
1.3.3 已知三角函数值求角
我们知道，任意给定一个角，只要这个角的三角函数值存在，就可以求出这个三角函数值；反过来，已知一个三角函数值，也可以求出与它对应的角。
1.已知正弦值，求角
例1、已知 sinx= ，
（1）若 ，求x；
（2）若 ，求x；
（3）若 x∈R，求x的取值集合。
(1) 若 ，求x；
解：因为 ，所以x是第一或第二象限的角，由正弦函数的图象知道sin =
或sin = . 得在 时，x=
(2) 若 ，求x；
解得x1= ，x2= .
（3）若 x∈R，求x的取值集合。
比较（1），（2）得x的取值集合是
由例1可知，在函数y=sinx的非单调区间上，对于一个已知的正弦值，有多个角和它对应，如在[0，2π]上，有两个角的正弦值都是 ，而在R上，有无穷多个角的正弦值都是 .
但在一个y=sinx的单调区间上，只有一个角和已知的正弦值对应，比如在区间 上，只有 的正弦值等于
一般地，对于正弦函数y=sinx，如果已知函数值y (y∈[－1, 1])，那么在 上有唯一的x值和它对应，记为x=arcsiny (其中－1≤y≤1， )
即arcsiny (|y|≤1)表示 上正弦等于y的那个角
在区间 上，
如果sinx= ,则x=arcsin =
如果sinx= 0 ,则x=arcsin 0 =0
如果sinx=0.3485, 则 x=arcsin0.3485.
如果sinx= ,则x=arcsin( )=－
一般地，对于sinx=m (0x=2kπ+arcsinm，或x=2kπ+π－arcsinm.
如sinx=0.3，
则x=2kπ+arcsin0.3，或x=2kπ+π－arcsin0.3.
一般地，对于sinx=m (－1x=2kπ－arcsin(－m)，或x=2kπ+π+arcsin(－m).
如sinx=－0.3，
则x=2kπ－arcsin0.3，或x=2kπ+π+arcsin0.3.
例2.（1）已知cosx=0.5，x∈[0, 2π)，求x；
（2）已知cosx=－ ，求x的取值集合；
解：（1）由于cosx=0.5，所以x是第一或第四象限的角.
因为cos =0.5，所以符合条件在第一象限的角x= .
由诱导公式知cos(2π－x)=cosx，
所以cos( )=cos =0.5，
即在第四象限，符合条件的角x= .
（2）已知cosx=－ ，x不是特殊角，于是可以用反余弦来表示。
考察余弦函数知，函数y=cosx在区间[0，2π)上，对于y∈(－1，1)的任何一个值，有两个角与之对应.
如果我们限定x在区间[0，π]上取值，那么对于区间[－1，1]的任意一个y的值，x只有唯一值与之对应.
在区间[0，π]上符合条件cosx=y (－1≤y ≤1)的角x，记为x=arccosy，
于是cosx=－ ，
x=arccos(－ )=π－arccos
x在第二象限
若x在第三象限，则x=π+arccos
综上得满足cosx=－ 的角的集合是
反余弦举例：
若cosx=0.2，x在第一象限，
则x=arccos(0.2).
若cosx=0.2，x在第四象限，
则x=－arccos(0.2)或x=2π－arccos(0.2)
解集为{x| x=2kπ+arccos0.2, k∈Z} ∪
{x|x=2kπ－arccos0.2, k∈Z}
若cosx=－0.7，x在第二象限，
则x=arccos(－0.7)=π－arccos0.7.
若cosx=－0.7，x在第三象限，
则x=π+arccos(0.7)
解集为{x| x=2kπ+π－arccos0.7, k∈Z} ∪
{x|x=2kπ+π+arccos0.7, k∈Z}
例3. 已知tanx= ，且x∈ ,求x的值.
解：因为正切函数在 上是增函数，所以正切值等于 的角x有且只有1个.
由tan( )=－tan =－ ,
所以x=－
一般地，对于tanx=a (a>0)，则
x=kπ+arctana，k∈Z.
如tanx=2，则x=kπ+arctan2. k∈Z.
对于tanx=－a (a<0)，则
x=kπ－arctan(－a)，k∈Z.
如tanx=－2，则x=kπ－arctan2. k∈Z.