【数学】2.3.1《向量数量积的物理背景与定义》课件（新人教b版必修4）

(共22张PPT)
2.3.1 向量数量积的物 理背景与定义　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
复习回顾
x1 + x2
y1 + y2
x1 - x2
y1 - y2
λ x1
λ y1
1、若向量a=(x1,y1) ，b=(x2,y2)
则向量a+b=（ ， ）
向量a-b=（ ， ）
向量λa=（ ， ）
2、若已知点A(x1,y1) ， B(x2,y2)
则向量AB=（ ， ）
x2 – x1
y2- y1
3、向量a、b（b≠0）共线的充要
条件是什么？
a =λb
若a= (x1,y1) b= (x2,y2) ，则共线的充要条件是什么？
x1 y2 - x2 y1=0
如果一个物体在力F作用下产生位移S，那么F所做的功为:
θ表示力F的方向与位移S的方向的夹角。
位移S
O
A
θ
F
F
θ
S
W=│F││S│COSθ
一.力做功的计算
二.两个向量的夹角
b
a
OA
OB
已知两个非零向量a、b， =a， = b.
则∠AOB称作向量a和向量b的夹角,
记作.
并规定0≤ ≤π
B
O
A
（1）求两向量的夹角，应保证两个向量有公共起点，若没有，须平移使它们有公共起点；
b
a
B
O
A
O
A
a
B
b
B
b
a
O
A
A
a
O
B
b
（2）〈a ，b〉=〈b ，a〉；
（3）范围0≤〈a ，b〉≤π；
（4）〈a ，b〉=0时, a、b同向；
〈a ，b〉=π时，a、b反向；
〈a ，b〉= 90°时， a ⊥b.
（5）规定：在讨论垂直问题时，零向量与任意向量垂直.
几点说明
如图，等边三角形中，求
（1）AB与AC的夹角；
（2）AB与BC的夹角。
A
B
C
通过平移
变成共起点！
练习1
三.向量在轴上的正射影
（1）概念：
已知向量a和轴l，作 =a，过点O，A分别作轴l的垂线，垂足分别为O1，A1，则向量 叫做向量a在轴l上的正射影.
OA
1 1
O A
（2）正射影的数量：
向量a的正射影在轴l上的坐标，称作a在轴l上的数量或在轴l方向上的数量.
记作： al
向量a的方向与轴l的正方向所成的角为θ，
则有
1. a在轴l上的数量或在轴l方向上的数量是一个数量，不是向量.
2. 当 为锐角时，数量为正值；
3. 当 为钝角时，数量为负值；
4. 当 为直角时，数量为0；
5. 当 = 0 时，数量为 |a|；
6. 当 = 180 时，数量为 |a|.
几点说明
a
l
x
l
O
A
2
O
1
A
1
a
l
a
a
例1.已知轴l
（1）.向量︱OA︱=5, ＜OA, l＞=60°,
求OA在上的正射影的数量OA1
（2）.向量︱OB︱=5, ＜OB,l ＞=120°,
求OB在l上的正射影的数量OB1
(3)已知向量a, b ,向量|a|=4,=600,则向量a在向量b上的正射影的数量
解：4cos600=2
解：OA1=5COS600=5×( )=5/2
-5/2
四.向量的数量积（内积）
定义： 叫做向量a和b的数量积（或内积）
记作：a·b .
即 a·b =
1．数量积a b等于a的长度与b在a方向上正射影的数量|b|cos 的乘积.
几点说明
2．两个向量的数量积是一个实数，符号由cos〈a，b〉的符号所决定；而数乘向量是一个向量。
O
A
B
a
b
O
A
B
a
b
θ为锐角时，
| b | cosθ＞0
θ为钝角时，
| b | cosθ＜0
θ为直角时，
| b | cosθ=0
B
O
A
a
b
量的数量积为0
3.规定零向量与任意向
4. a · b不能写成a×b ，a×b 表示向量的另一种运算．
两个向量的数量积的性质：
设a、b为两个非零向量，e是与b的单位向量.
1. e a = a e =|a|cos ;
2. a b a b = 0
3. a a = |a|2或
4. cos = ；
5.|a b| ≤ |a|.|b| .
内积为零是判定两向量垂直的条件
用于计算向量的模
用于计算向量的夹角,
以及判断三角形的形状
例2.已知|a|=5，|b|=4，=120°，求a·b.
解： a b =|a|·|b|cos
=5×4×cos120°
= －10.
练习2
已知|a|＝３，|b|＝６，当①a∥b，②a⊥b，③a与b的夹角是60°时，分别求a·b
①a∥b时， a·b =±18；
②a⊥b时，a·b=0；
③ a与b的夹角是60°时，a·b=9.
进行向量数量积
计算时,既要考
虑向量的模,又
要根据两个向量
方向确定其夹角。
例3、
)
(
且方向相反
平行
与
,
2
CD
AB
∵
,
°
)
(
.
60
3
的夹角是
与
AD
AB
∵
练习3
已知|a|=3, |b|=5，且a b=－12，求a在b方向上的正射影的数量及b在a方向上的正射影的数量。
解：因为
所以a在b方向上的正射影的数量是
b在a方向上的正射影的数量是
(1)
A 锐角三角形
C 钝角三角形
D 不能确定
B 直角三角形
D
C
A 锐角三角形
B 直角三角形
C 钝角三角形
D 不能确定
判断下列命题是否正确
1.若a=0,则对任意向量b，有a ·b=0.
2.若a≠0,则对任意非零向量b，有a ·b≠0.
3.若a≠0,且a · b=0,则b=0.
4.若a·b=0，则a=0或b=0.
5.对任意的向量a，有a2=│a│2.
6.若a≠0,且a · b=a · c,则b=c.
( )
(×)
( )
(×)
(×)
(×)
练习4
课堂小结
1.两个向量的夹角
2.向量在轴上的正射影
正射影的数量
3.向量的数量积（内积）
a·b=
4.两个向量的数量积的性质：
(1). a b a b = 0
(2). a a = |a|2或
(3). cos =
范围0≤〈a ，b〉≤π；