【数学】 2.3.2《向量数量积的运算律》课件（1）（新人教b版必修4）

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向量数量积的运算律
复习回顾
1.两个向量的夹角
2.向量在轴上的正射影
正射影的数量
3.向量的数量积（内积）
a·b=
4.两个向量的数量积的性质：
(1). a b a b = 0
(2). a a = |a|2或
(3). cos =
范围0≤〈a ，b〉≤π；
平面向量数量积的运算律
已知向量 和实数 ,
则向量的数量积满足：
（1）
（交换律）
（2）
（数乘结合律）
（3）
（分配律）
注意：数量积运算不满足结合律消去律
（1）交换律：
证明：
设 夹角为 ，
则
所以
（2）
若
证明：
若
数乘结合律
（3）
分析：

1
2
A1
B1
A
O
B
C
分配律
平面向量数量积的常用公式
例1 已知
与 的夹角为60°，
求：（1） 在 方向上的投影；
（2） 在 方向上的投影；
（3）
=2
=3
解：（3）
的夹角为120°,
例2.
︱a︱=2, ︱b︱=3,求
已
知
与
a
b
垂直
与
a
b
a
-
∵
o
o
]
180
0
[
，

q
∵
例3.已知︱a︱=1, ︱b︱=2,a与a-b垂直.求a与b的夹角
（
）
）
（
b
a
b
a
k
2
+
^
-
∵
变
形
：
已
知:
a
与
b
o
的
夹
角
为
60
b=4,
a=5
，
问
当
k
为
何
值
时
向
量
ka-b
与
a+2b
垂
直
？
所以
=4－2×4×(－0.5)=8.
例4. 已知|a|=2，|b|=4，=120° ，求
a与a－b的夹角。
解：(a－b) ·a=|a|2－a·b
|a－b|=2
(a－b)2=|a|2－2a·b+|b|2=28,