【数学】2.3.2《向量数量积的运算律》课件（新人教b版必修4）

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2.3.2 向量数量积的
运算律　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
复习回顾
1.两个向量的夹角
2.向量在轴上的正射影
正射影的数量
3.向量的数量积（内积）
a·b=
4.两个向量的数量积的性质：
(1). a b a b = 0
(2). a a = |a|2或
(3). cos =
范围0≤〈a ，b〉≤π；
向量数量积的运算律
证明分配律就成为证明：两个向量和在一个方向上的正投影等于各个向量在这个方向上的投影的数量和。
我们知道，一个向量与一个轴上的单位向量的数量积等于这个向量在轴上的正投影的数量，如果分配律中的向量c换成它的单位向量c0，则分配律变成 (a+b)·c0=a·c0+b·c0.
平面向量数量积的常用公式
类似于多项式的乘法法则
证明：（1）
（2）
（1） 在 方向上的投影；
（2） 在 方向上的投影；
（3）
=2
=3
解：（3）
例1.已知
与 的夹角为60°
求：
的夹角为120°,
例2.
︱a︱=2, ︱b︱=3,求
已
知
与
a
b
垂直
与
a
b
a
-
∵
o
o
]
180
0
[
，

q
∵
例3.已知︱a︱=1, ︱b︱=2,a与a-b垂直.求a与b的夹角
（
）
）
（
b
a
b
a
k
2
+
^
-
∵
变
形
：
已
知:
a
与
b
o
的
夹
角
为
60
b=4,
a=5
，
问
当
k
为
何
值
时
向
量
ka-b
与
a+2b
垂
直
？
练习题:求证菱形的对角线互相垂直
B
A
C
D
所以
=4－2×4×(－0.5)=8.
例4. 已知|a|=2，|b|=4，=120° ，求
a与a－b的夹角。
解：(a－b) ·a=|a|2－a·b
|a－b|=2
(a－b)2=|a|2－2a·b+|b|2=28,
小结
1.向量数量积的运算律
2.类似于多项式的乘法运算
(3). a b a b = 0
(1). a a = |a|2或
(2). cos =
3.主要解决的问题
垂直问题
夹角的计算问题
长度的计算问题