【数学】2-4《向量在平面几何解题中的应用》课件（新人教b版必修4）

(共13张PPT)
一、向量有关知识复习
（1）向量共线的充要条件:
与 共线
（2）向量垂直的充要条件：
（3）两向量相等充要条件：
且方向相同。
（4）平面向量基本定理
二、应用向量知识证明平面几何有关定理
例1、证明直径所对的圆周角是直角
A
B
C
O
如图所示，已知⊙O，AB为直径，C
为⊙O上任意一点。求证∠ACB=90°
分析：要证∠ACB=90°，只须证向
量 ，即 。
即 ，∠ACB=90°
思考：能否用向量坐标形式证明？
二、应用向量知识证明平面几何有关定理
例2、证明平行四边形四边平方和等于两对角线平方和
A
B
D
C
已知：平行四边形ABCD。
求证：
解：设 ，则
分析：因为平行四边形对边平行且相
等，故设 其它线段对应向
量用它们表示。
∴
三、应用向量知识证明三线共点、三点共线
例3、已知：如图AD、BE、CF是△ABC三条高
求证：AD、BE、CF交于一点
F
A
B
C
D
E
A
B
C
D
E
H
分析：
思路一：设AD与BE交于H，只要证
CH⊥AB，即高CF与CH重合，即CF
过点H
由此可设
利用AD⊥BC，BE⊥CA，对应向量垂直。
三、应用向量知识证明三线共点、三点共线
例3、已知：如图AD、BE、CF是△ABC三条高
求证：AD、BE、CF交于一点
A
B
C
D
E
H
解：设AD与BE交于H，
即高CF与CH重合，CF过点H，AD、BE、CF交于一点。
三、应用向量知识证明三线共点、三点共线
例4、如图已知△ABC两边AB、AC的中点分别为M、N，
在BN延长线上取点P，使NP=BN，在CM延长线上取点Q，
使MQ=CM。求证：P、A、Q三点共线
A
B
C
N
M
Q
P
解：设
则
由此可得
即 故有 ，且它们有
公共点A，所以P、A、Q三点共线
四、应用向量知识证明等式、求值
例5、如图ABCD是正方形M是BC的中点，将正方形折起，
使点A与M重合，设折痕为EF，若正方形面积为64，
求△AEM的面积
A
B
C
D
M
N
E
F
分析：如图建立坐标系，设E(e,0)，M(8,4),
N是AM的中点，故N(4,2)
=(4,2)-(e,0)=(4-e,2)
解得：e=5
故△AEM的面积为10
四、应用向量知识证明等式、求值
例5、如图ABCD是正方形M是BC的中点，将正方形折起，
使点A与M重合，设折痕为EF，若正方形面积为64，
求△AEM的面积
A
B
C
D
M
N
E
F
解：如图建立坐标系，设E(e,0)，由
正方形面积为64，可得边长为8
由题意可得M(8,4)，N是AM的
中点，故N(4,2)
=(4,2)-(e,0)=(4-e,2)
解得：e=5 即AE=5
四、应用向量知识证明等式、求值
练习：PQ过△OAB的重心G，且OP=mOA,OQ=nOB
求证：
分析:由题意OP=mOA,OQ=nOB,
联想线段的定比分点，利
用向量坐标知识进行求解。
O
A
B
G
·
P
Q
由PO=mOA, QO=nOB可知：
O分 的比为 ，O分 的比为
由此可设 由向量定比分点公式，可求
P、Q的坐标，而G为重心，其坐标也可求出，进而
由向量 ，得到 m n 的关系。
-m -n

四、应用向量知识证明等式、求值
练习：PQ过△OAB的重心G，且OP=mOA,OQ=nOB
求证：
O
A
B
G
·
P
Q
证：如图建立坐标系，
设
所以重心G的坐标为
由PO=mOA, QO=nOB可知：
即O分 的比为-m，O分 的比为-n
求得
由向量 可得：
化简得：
五、小结、巩固练习：
练习1：证明对角线互相垂直平分的四边形是菱形
练习2：如图O为△ABC所在平面内一点，且满足
求证：AB⊥OC
A
B
C
O