【数学】3.1.1《两角和与差的余弦》课件（1）（新人教b版必修4）

(共14张PPT)
两角和差的余弦公式
不查表，求cos（ –435°） 的值.
解：cos(–435 ° ) =cos435 °
=cos(360 ° +75 °)=cos75 °
1. 75 °能否写成两个特殊角的和或差的形式
2. cos75 ° =cos(45 ° +30 °)=cos45 ° +cos30 °
成立吗
3. 究竟cos75 ° =
4. cos (45 ° +30 °)能否用45 °和30 °的角的
三角函数来表示
5. 如果能,那么一般地cos(α±β)能否用α 、β的
角的三角函数来表示
用向量的方法探讨
x
y
O
B
A
1
如右图：则
由向量数量积的定义，有
由向量数量积的坐标表示，有
(1)
(2)
由（1）和（2）得
对于任意角 ， 都有
（ ）
两角和差的余弦公式
思考？
简记：
用余弦差角公式推导
公式的结构特征:
（1）左边是复角α±β的余弦,右边是单角α、β 的余弦积与正弦积构成.
（2）展开式余弦在前正弦在后，和差相反
（3）要计算和差角余弦需要4个量
两角和与差的余弦公式：
例1.不查表,求cos(–435°)的值.
解:cos(– 435 °)=cos75 ° =cos(45 ° +30 °)
=cos45 ° cos30 ° –sin45 ° sin30 °
应用举例
不查表,求cos105 °和cos15 °的值.
cos15 °=
答案：cos105°=
练习
例3.已知cos(α–30 °)=4/5, α为大于30 °的锐角,求cos α的值.
分析： α=(α– 30 °)+ 30 °
解：∵ 30 °＜ α ＜90 ° ,
∴ 0 ° ＜ α – 30 ° ＜60 °,
由cos(α – 30 ° )=4／5,得sin (α – 30 ° )=3／5,
∴cos α=cos[(α – 30 ° )+ 30 °]
= cos(α – 30 ° )cos 30 ° – sin (α – 30 ° )sin 30 °
= 4／5 × √3／2 – 3／5 × 1／2
=（4√3 –3）／10.
例4.在△ABC中,cosA=3／5,cosB=5／13,则cosC的值为__________
分析: ∵C=180 °–(A+B)
∴cosC= –cos(A+B)= –cosAcosB+sinAsinB
已知cosA=3／5 ,cosB=5／13,尚需求sinA,sinB的值.
∵sinA= 4／5 , sinB=12／13,
∴cosC=–3／5 × 5／13 + 4／5 ×12／13=33／65.
33／65
例5.cos25 °cos35 °– cos65 °cos55 °
的值等于( ).
(A) 0 (B) 1／2 (C) √3／2 (D)–1／2
解: 原式=cos25 °cos35 °–sin25 ° sin35 °
=cos(25 ° +35 °)
=cos60 °
=1／2.
B
1.已知cosθ= –5／13, θ∈(π,3π／2)求cos(θ+π／6)的值.
2.cos 15 °–sin 15 °= ------。
3.在△ABC中,若sinAsinB=cosAcosB,则△ABC是 ( ).
(A)直角三角形 (B)钝角三角形
(C)锐角三角形 (D)不确定.
(12–5√3) ／26
√3 ／2
A
课堂练习
思考题：已知 都是锐角,
变角:
分析：
三角函数中一定要注意观察角度之间的关系，例如
1.cos(α+β)=cosαcosβ–sinαsin β
cos(α–β)=cosαcosβ+sinαsin β
2. 公式作用：求值,化简,证明
3.使用公式时要灵活，并注意逆向使用.
4.注意问题中角的范围，合理取舍
小 结