24.1.2 垂直于弦的直径
知识要点基础练
知识点1 圆的对称性
1.把一个圆形纸片至少对折几次,才可以确定圆心( B )
A.1次
B.2次
C.3次
D.无数次
2.将一张圆形纸片沿着它的一条直径翻折,直径两侧的部分相互重合,这说明( B )
A.圆是中心对称图形,圆心是它的对称中心
B.圆是轴对称图形,直径所在的直线是它的对称轴
C.圆的直径相互平分
D.垂直弦的直径平分弦所对的弧
知识点2 垂径定理
3.如图,已知OB为☉O的半径,且OB=10
cm,弦CD⊥OB于点M.若OM∶MB=4∶1,则弦CD的长( C )
A.3
cm
B.6
cm
C.12
cm
D.24
cm
4.如图,在5×5的正方形网格中,一条圆弧经过A,B,C三点,已知点A的坐标是(-2,3),点C的坐标是(1,2),那么这条圆弧所在圆的圆心坐标是 (-1,1) .?
知识点3 垂径定理的推论
5.下列说法正确的是( D )
A.垂直于弦的直线平分弦所对的两条弧
B.平分弦的直径垂直于弦
C.垂直于直径的弦平分这条直径
D.弦的垂直平分线经过圆心
6.【教材母题变式】如图,在半径为5
cm的☉O中,圆心O到弦AB的距离为3
cm,则弦AB的长是( C )
A.4
cm
B.6
cm
C.8
cm
D.10
cm
【变式拓展】如图,☉O的直径CD=20,AB是
☉O的弦,AB⊥CD,垂足为M.若OM∶OC=3∶5,则弦AB的长为 16 .?
知识点4 垂径定理的实际应用
7.把一个球放在长方体纸盒内,球的一部分露出盒外,其截面如图所示,已知CD=EF=24
cm,求这个球的直径.
解:过点O作OG⊥AD于点G,交☉O于点H,则GF=EF=12,设这个球的半径为r,则OG=24-r,
根据勾股定理,得(24-r)2+122=r2,解得r=15.
答:这个球的直径为30
cm.
综合能力提升练
8.如图,☉O的半径为5,弦AB=8,P是弦AB上的一个动点(不与点A,B重合),下列不符合条件的OP的值是( D )
A.4
B.3
C.3.5
D.2.5
9.学习了垂径定理后,数学老师让学生动手折一个半径为6、圆弧恰好经过圆心的图形,则可求出折痕的长为( A )
A.6
B.4
C.2
D.
10.《九章算术》是我国古代著名数学著作,书中记载:“今有圆材,埋在壁中,不知大小以锯锯之,深一寸,锯道长一尺,问径几何?”用数学语言可表述为:“如图,CD为☉O的直径,弦AB⊥CD于点E,ED=1寸,AB=10寸,求直径CD的长.”则CD=( C )
A.13寸
B.20寸
C.26寸
D.28寸
11.如图,AB是半圆O的直径,AC为弦,OD⊥AC于点D,过点O作OE∥AC交半圆O于点E,过点E作EF⊥AB于点F.若AC=12,则OF的长( C )
A.8
B.7
C.6
D.4
12.已知☉O的半径为15,弦AB∥CD,AB=24,CD=18,则AB,CD之间的距离为( C )
A.17
B.7
C.21或3
D.7或17
13.如图,AB为☉O的直径,AB=4,C为OA的中点,则过点C的最短弦长为 2 .?
14.如图,AB,AC分别是☉O的直径和弦,OD⊥AC于点D,连接BD,BC,AB=5,AC=4,则BD=? .?
15.一条排水管的截面如图所示,已知排水管的半径OA=100
cm,水面宽AB=120
cm,某天下雨后,水管水面上升了20
cm,则此时排水管水面宽CD等于 1.6 m.?
16.某隧道的截面是由如图所示的图形构成,图形下面是长方形ABCD,上面是半圆形,其中AB=10米,BC=2.5米,隧道设双向通车道,中间有宽度为2米的隔离墩.一辆满载家具的卡车,宽度为3米,高度为4.9米,请计算说明这辆卡车能否安全通过这个隧道?
解:如图,作OM⊥AB,交AB于点M,图中KN=3米,作KF⊥CD于点H,交☉O于点F,连接OF.
易知四边形OHKM是矩形,四边形ABCD是矩形,OH=KM=4米,AB=CD=10米,OF=OD=5米.在Rt△OHF中,FH==3米.∵HK=BC=2.5米,∴FK=2.5+3=5.5米.∵5.5>4.9,∴这辆卡车能安全通过这个隧道.
拓展探究突破练
17.如图,在半径为2的扇形AOB中,∠AOB=90°,C是上的一个动点(不与点A,B重合),OD⊥BC,OE⊥AC,垂足分别为D,E.
(1)当BC=1时,求线段OD的长.
(2)在△DOE中是否存在长度保持不变的边?如果存在,请指出并求其长度;如果不存在,请说明理由.
(3)设BD=x,△DOE的面积为y,求y关于x的函数解析式,并写出x的取值范围.
解:(1)∵OD⊥BC,∴BD=BC=,
∴OD=.
(2)存在,DE的长度是不变的.
连接AB,则AB==2.
∵D和E分别是线段BC和AC的中点,∴DE=AB=.
(3)连接OC,作DF⊥OE于点F.
∵BD=x,∴OD=.
∵OA=OB=OC,OD⊥BC,OE⊥AC,
∴∠BOD=∠DOC,∠COE=∠AOE,∴∠DOE=45°.
在Rt△DOF中,可得DF=OF=,
在Rt△DEF中,可得EF=x.
∴y=S△DOE=(OF+EF)×DF=(0知识要点基础练
知识点1 圆的对称性
1.把一个圆形纸片至少对折几次,才可以确定圆心( )
A.1次
B.2次
C.3次
D.无数次
2.将一张圆形纸片沿着它的一条直径翻折,直径两侧的部分相互重合,这说明( )
A.圆是中心对称图形,圆心是它的对称中心
B.圆是轴对称图形,直径所在的直线是它的对称轴
C.圆的直径相互平分
D.垂直弦的直径平分弦所对的弧
知识点2 垂径定理
3.如图,已知OB为☉O的半径,且OB=10
cm,弦CD⊥OB于点M.若OM∶MB=4∶1,则弦CD的长( )
A.3
cm
B.6
cm
C.12
cm
D.24
cm
4.如图,在5×5的正方形网格中,一条圆弧经过A,B,C三点,已知点A的坐标是(-2,3),点C的坐标是(1,2),那么这条圆弧所在圆的圆心坐标是
.?
知识点3 垂径定理的推论
5.下列说法正确的是( )
A.垂直于弦的直线平分弦所对的两条弧
B.平分弦的直径垂直于弦
C.垂直于直径的弦平分这条直径
D.弦的垂直平分线经过圆心
6.【教材母题变式】如图,在半径为5
cm的☉O中,圆心O到弦AB的距离为3
cm,则弦AB的长是( )
A.4
cm
B.6
cm
C.8
cm
D.10
cm
【变式拓展】如图,☉O的直径CD=20,AB是
☉O的弦,AB⊥CD,垂足为M.若OM∶OC=3∶5,则弦AB的长为 .?
知识点4 垂径定理的实际应用
7.把一个球放在长方体纸盒内,球的一部分露出盒外,其截面如图所示,已知CD=EF=24
cm,求这个球的直径.
综合能力提升练
8.如图,☉O的半径为5,弦AB=8,P是弦AB上的一个动点(不与点A,B重合),下列不符合条件的OP的值是( )
A.4
B.3
C.3.5
D.2.5
9.学习了垂径定理后,数学老师让学生动手折一个半径为6、圆弧恰好经过圆心的图形,则可求出折痕的长为( )
A.6
B.4
C.2
D.
10.《九章算术》是我国古代著名数学著作,书中记载:“今有圆材,埋在壁中,不知大小以锯锯之,深一寸,锯道长一尺,问径几何?”用数学语言可表述为:“如图,CD为☉O的直径,弦AB⊥CD于点E,ED=1寸,AB=10寸,求直径CD的长.”则CD=( )
A.13寸
B.20寸
C.26寸
D.28寸
11.如图,AB是半圆O的直径,AC为弦,OD⊥AC于点D,过点O作OE∥AC交半圆O于点E,过点E作EF⊥AB于点F.若AC=12,则OF的长( )
A.8
B.7
C.6
D.4
12.已知☉O的半径为15,弦AB∥CD,AB=24,CD=18,则AB,CD之间的距离为( )
A.17
B.7
C.21或3
D.7或17
13.如图,AB为☉O的直径,AB=4,C为OA的中点,则过点C的最短弦长为
.?
14.如图,AB,AC分别是☉O的直径和弦,OD⊥AC于点D,连接BD,BC,AB=5,AC=4,则BD=?
.?
15.一条排水管的截面如图所示,已知排水管的半径OA=100
cm,水面宽AB=120
cm,某天下雨后,水管水面上升了20
cm,则此时排水管水面宽CD等于
m.?
16.某隧道的截面是由如图所示的图形构成,图形下面是长方形ABCD,上面是半圆形,其中AB=10米,BC=2.5米,隧道设双向通车道,中间有宽度为2米的隔离墩.一辆满载家具的卡车,宽度为3米,高度为4.9米,请计算说明这辆卡车能否安全通过这个隧道?
拓展探究突破练
17.如图,在半径为2的扇形AOB中,∠AOB=90°,C是上的一个动点(不与点A,B重合),OD⊥BC,OE⊥AC,垂足分别为D,E.
(1)当BC=1时,求线段OD的长.
(2)在△DOE中是否存在长度保持不变的边?如果存在,请指出并求其长度;如果不存在,请说明理由.
(3)设BD=x,△DOE的面积为y,求y关于x的函数解析式,并写出x的取值范围.24.1.2 垂直于弦的直径
1.在☉O中,已知半径为5,弦AB的长为8,则圆心O到弦AB的距离为
(A)
A.3
B.4
C.5
D.6
2.☉O的半径是13,弦AB∥CD,AB=24,CD=10,则AB与CD的距离是
(C)
A.7
B.17
C.7或17
D.34
3.如图,AB是☉O的直径,弦CD⊥AB于点E.若AE=1,CD=4,则OC的长为? .?
4.如图,某种鱼缸的主视图可视为弓形,该鱼缸装满水时的最大深度CD为18
cm,半径OC为13
cm,则鱼缸口的直径AB= 24 cm.?
5.如图,D,E分别是,的中点,DE交AB,AC于点M,N.求证:AM=AN.
证明:连接OD,OE分别交AB,AC于点F,G.
∵D,E分别是,的中点,∴∠DFM=∠EGN=90°.
∵OD=OE,∴∠D=∠E,∴∠DMB=∠ENC.∵∠DMB=∠AMN,∠ENC=∠ANM,∴∠AMN=∠ANM.∴AM=AN.(共21张PPT)
24.1.2 垂直于弦的直径
第二十四章 圆
知识点1 圆的对称性
1.把一个圆形纸片至少对折几次,才可以确定圆心( )
A.1次
B.2次
C.3次
D.无数次
2.将一张圆形纸片沿着它的一条直径翻折,直径两侧的部分相互重合,这说明( )
A.圆是中心对称图形,圆心是它的对称中心
B.圆是轴对称图形,直径所在的直线是它的对称轴
C.圆的直径相互平分
D.垂直弦的直径平分弦所对的弧
B
B
知识点2 垂径定理
3.如图,已知OB为☉O的半径,且OB=10
cm,弦CD⊥OB于点M.若OM∶MB=4∶1,则弦CD的长为( )
?
A.3
cm
B.6
cm
C.12
cm
D.24
cm
C
4.如图,在5×5的正方形网格中,一条圆弧经过A,B,C三点,已知点A的坐标是(-2,3),点C的坐标是(1,2),那么这条圆弧所在圆的圆心坐标是__________.?
(-1,1)
知识点3 垂径定理的推论
5.下列说法正确的是( )
A.垂直于弦的直线平分弦所对的两条弧
B.平分弦的直径垂直于弦
C.垂直于直径的弦平分这条直径
D.弦的垂直平分线经过圆心
D
6.【教材母题变式】如图,在半径为5
cm的☉O中,圆心O到弦AB的距离为3
cm,则弦AB的长是( )
A.4
cm
B.6
cm
C.8
cm
D.10
cm
C
【变式拓展】如图,☉O的直径CD=20,AB是☉O的弦,
AB⊥CD,垂足为M.若OM∶OC=3∶5,则弦AB的长为_______.?
16
知识点4 垂径定理的实际应用
7.把一个球放在长方体纸盒内,球的一部分露出盒外,其截面如图所示,已知CD=EF=24
cm,求这个球的直径.
解:过点O作OG⊥AD于点G,交☉O于点H,则GF=
=12,
设这个球的半径为r,则OG=24-r,
?
根据勾股定理,得(24-r)2+122=r2,解得r=15.
答:这个球的直径为30
cm.
8.如图,☉O的半径为5,弦AB=8,P是弦AB上的一个动点(不与点A,B重合),下列不符合条件的OP的值是( )
?
A.4
B.3
C.3.5
D.2.5
D
9.学习了垂径定理后,数学老师让学生动手折一个半径为6、圆弧恰好经过圆心的图形,则可求出折痕的长为( )
A
10.《九章算术》是我国古代著名数学著作,书中记载:“今有圆材,埋在壁中,不知大小以锯锯之,深一寸,锯道长一尺,问径几何?”用数学语言可表述为:“如图,CD为☉O的直径,弦AB⊥CD于点E,ED=1寸,AB=10寸,求直径CD的长.”则CD=
( )
?
A.13寸
B.20寸
C.26寸
D.28寸
C
11.如图,AB是半圆O的直径,AC为弦,OD⊥AC于点D,过点O作OE∥AC交半圆O于点E,过点E作EF⊥AB于点F.若AC=12,则OF的长为( )
?
A.8
B.7
C.6
D.4
12.已知☉O的半径为15,弦AB∥CD,AB=24,CD=18,则AB,CD之间的距离为( )
A.17
B.7
C.21或3
D.7或17
C
C
13.如图,AB为☉O的直径,AB=4,C为OA的中点,则过点C的最短弦长为__________.?
14.如图,AB,AC分别是☉O的直径和弦,OD⊥AC于点D,连接BD,BC,AB=5,AC=4,则BD=__________.?
15.一条排水管的截面如图所示,已知排水管的半径OA=100
cm,水面宽AB=120
cm,某天下雨后,水管水面上升了20
cm,则此时排水管水面宽CD等于__________m.?
1.6
16.某隧道的截面是由如图所示的图形构成,图形下面是长方形ABCD,上面是半圆形,其中AB=10米,BC=2.5米,隧道设双向通车道,中间有宽度为2米的隔离墩.一辆满载家具的卡车,宽度为3米,高度为4.9米,请计算说明这辆卡车能否安全通过这个隧道?
解:如图,作OM⊥AB,交AB于点M,图中KN=3米,作KF⊥CD于点H,交☉O于点F,连接OF.
易知四边形OHKM是矩形,四边形ABCD是矩形,OH=KM=4米,
AB=CD=10米,OF=OD=5米.
∵HK=BC=2.5米,∴FK=2.5+3=5.5米.
∵5.5>4.9,∴这辆卡车能安全通过这个隧道.
17.如图,在半径为2的扇形AOB中,∠AOB=90°,C是
上的一个动点(不与点A,B重合),OD⊥BC,OE⊥AC,垂足分别为D,E.
(1)当BC=1时,求线段OD的长.
(2)在△DOE中是否存在长度保持不变的边?如果存在,请指出并求其长度;如果不存在,请说明理由.
(3)设BD=x,△DOE的面积为y,求y关于x的函数解析式,并写出x的取值范围.
