24.1.4 圆周角
知识要点基础练
知识点1 圆周角定理
1.下列图形中的角是圆周角的是( B )
2.如图,已知点A,B,C在☉O上,∠A=72°,则∠OBC的度数是( C )
A.12°
B.15°
C.18°
D.20°
知识点2 圆周角定理的推论
3.(改编)如图,△ABC的三个顶点都在☉O上,AB经过圆心O,∠A=60°,AC=2,则☉O的直径是( B )
A.2
B.4
C.
D.2
4.如图,AB是☉O的直径,点C,D在☉O上,∠AOC=70°,AD∥OC,则∠ABD= 20° .?
知识点3 圆内接四边形的性质
5.如图,四边形ABCD为☉O的内接四边形,∠BOD=120°,则∠BCD的大小( A )
A.120°
B.100°
C.80°
D.60°
6.如图,A,B,C,D四点都在☉O上,若∠C=100°,则∠BAD= 80° ;∠BOD= 160° .?
综合能力提升练
7.如图,△ABC内接于☉O,∠BAC=120°,AB=AC=6,BD为☉O的直径,则BD等于( D )
A.4
B.6
C.8
D.12
8.(自贡中考)如图,☉O中,弦AB与CD交于点M,∠A=45°,∠AMD=75°,则∠B的度数是( C )
A.15°
B.25°
C.30°
D.75°
9.如图,在☉O中,弦AB⊥CD于点E.若已知AD=9,BC=12,则☉O的半径为( C )
A.5.5
B.6
C.7.5
D.8
10.已知半径为5的☉O中,弦AB=5,弦AC=5,则∠BOC的度数是( C )
A.15°
B.210°
C.30°或150°
D.60°或90°
11.如图,A,B,C,D,E都是☉O上的点,,∠B=118°,则∠D的度数为( B )
A.122°
B.124°
C.126°
D.128°
12.如图,△ABC内接于☉O,∠A所对弧的度数为120°,∠ABC,∠ACB的平分线分别交AC,AB于点D,E,CE,BD相交于点F.以下四个结论:①∠BFE=60°;②BC=BD;③EF=FD;
④BF=2DF.其中结论一定正确的是( C )
A.①④
B.①②③
C.①③
D.②③
13.如图,AD是☉O的直径,弦BC与弦CD长度相同,已知∠A=60°,则∠DOC= 60° .?
14.(株洲中考)如图,已知AM为☉O的直径,直线BC经过点M,且AB=AC,∠BAM=∠CAM,线段AB和AC分别交☉O于点D,E,∠BMD=40°,则∠EOM= 80 °.?
15.如图,在△ABC中,AB=AC=5,以AB为直径的☉O与BC交于点D,与AC交于点E,连接OD交BE于点M,且MD=1,则BE的长为 4 .?
16.如图,AD是☉O的直径,点O是圆心,C,F是AD上的两点,OC=OF,B,E是☉O上的两点,且.求证:BC∥EF.
证明:∵,AD是直径,
∴AB=DE,,∴∠A=∠D.
∵OC=OF,OA=OD,∴AC=DF,
∴△BAC≌△EDF(SAS),∴∠ACB=∠DFE,
∴∠BCF=∠EFC,∴BC∥EF.
17.如图,☉O的直径AB为10
cm,弦AC为6
cm,且AD=BD.
(1)求BC,AD,BD的长.
(2)图中还有一条线段CD的长是否能确定?若能,求出CD的长.
解:(1)∵AB是☉O的直径,∴∠ACB=∠ADB=90°.
∵AB=10
cm,AC=6
cm,∴BC=8
cm.
∵AD=BD,∴AD=BD=AB=5
cm.
(2)图中线段CD的长能确定.作AE⊥CD于点E.
∵AE⊥CD,∠ACE=∠ABD=45°,
∴AE=CE=AC=3
cm.
在Rt△AED中,DE==4
cm,
∴CD=CE+DE=3+4=7
cm.
拓展探究突破练
18.如图,在锐角△ABC中,AB>AC,AD⊥BC于点D,以AD为直径的☉O分别交AB,AC于点E,F,连接DE,DF.
(1)求证:∠EAF+∠EDF=180°.
(2)已知P是射线DC上的一个动点,当点P运动到PD=BD时,连接AP,交☉O于点G,连接DG.设∠EDG=∠α,∠APB=∠β,那么∠α与∠β有何数量关系?试证明你的结论.
解:(1)在圆内接四边形AEDF中,AD为直径,
∴∠AED=∠AFD=90°.
又∵∠AED+∠AFD+∠EAF+∠EDF=360°,
∴∠EAF+∠EDF=360°-(∠AED+∠AFD)=180°.
(2)∠α=2∠β.
理由:如图,
在△ABD与△APD中,AD⊥BP,且BD=DP,AD=AD,∴△ABD≌△APD(SAS),∴∠B=∠APD=∠β.
在△ABP中,∠EAG+∠B+∠APD=180°,
∴∠EAG+2∠β=180°.
由(1)知∠EAG+∠EDG=180°,∴∠EAG+∠α=180°,∴∠α=2∠β.24.1.4 圆周角
知识要点基础练
知识点1 圆周角定理
1.下列图形中的角是圆周角的是( )
2.如图,已知点A,B,C在☉O上,∠A=72°,则∠OBC的度数是( )
A.12°
B.15°
C.18°
D.20°
知识点2 圆周角定理的推论
3.(改编)如图,△ABC的三个顶点都在☉O上,AB经过圆心O,∠A=60°,AC=2,则☉O的直径是( )
A.2
B.4
C.
D.2
4.如图,AB是☉O的直径,点C,D在☉O上,∠AOC=70°,AD∥OC,则∠ABD=
.?
知识点3 圆内接四边形的性质
5.如图,四边形ABCD为☉O的内接四边形,∠BOD=120°,则∠BCD的大小( )
A.120°
B.100°
C.80°
D.60°
6.如图,A,B,C,D四点都在☉O上,若∠C=100°,则∠BAD= ;∠BOD=
.?
综合能力提升练
7.如图,△ABC内接于☉O,∠BAC=120°,AB=AC=6,BD为☉O的直径,则BD等于( )
A.4
B.6
C.8
D.12
8.(自贡中考)如图,☉O中,弦AB与CD交于点M,∠A=45°,∠AMD=75°,则∠B的度数是( )
A.15°
B.25°
C.30°
D.75°
9.如图,在☉O中,弦AB⊥CD于点E.若已知AD=9,BC=12,则☉O的半径为( )
A.5.5
B.6
C.7.5
D.8
10.已知半径为5的☉O中,弦AB=5,弦AC=5,则∠BOC的度数是( )
A.15°
B.210°
C.30°或150°
D.60°或90°
11.如图,A,B,C,D,E都是☉O上的点,,∠B=118°,则∠D的度数为( )
A.122°
B.124°
C.126°
D.128°
12.如图,△ABC内接于☉O,∠A所对弧的度数为120°,∠ABC,∠ACB的平分线分别交AC,AB于点D,E,CE,BD相交于点F.以下四个结论:①∠BFE=60°;②BC=BD;③EF=FD;
④BF=2DF.其中结论一定正确的是( )
A.①④
B.①②③
C.①③
D.②③
13.如图,AD是☉O的直径,弦BC与弦CD长度相同,已知∠A=60°,则∠DOC= .?
14.(株洲中考)如图,已知AM为☉O的直径,直线BC经过点M,且AB=AC,∠BAM=∠CAM,线段AB和AC分别交☉O于点D,E,∠BMD=40°,则∠EOM= °.?
15.如图,在△ABC中,AB=AC=5,以AB为直径的☉O与BC交于点D,与AC交于点E,连接OD交BE于点M,且MD=1,则BE的长为 .?
16.如图,AD是☉O的直径,点O是圆心,C,F是AD上的两点,OC=OF,B,E是☉O上的两点,且.求证:BC∥EF.
17.如图,☉O的直径AB为10
cm,弦AC为6
cm,且AD=BD.
(1)求BC,AD,BD的长.
(2)图中还有一条线段CD的长是否能确定?若能,求出CD的长.
拓展探究突破练
18.如图,在锐角△ABC中,AB>AC,AD⊥BC于点D,以AD为直径的☉O分别交AB,AC于点E,F,连接DE,DF.
(1)求证:∠EAF+∠EDF=180°.
(2)已知P是射线DC上的一个动点,当点P运动到PD=BD时,连接AP,交☉O于点G,连接DG.设∠EDG=∠α,∠APB=∠β,那么∠α与∠β有何数量关系?试证明你的结论.24.1.4 圆周角
1.如图,AB是☉O的直径,C,D是☉O上的两点.若∠AOC=130°,则∠D=
(C)
A.65°
B.35°
C.25°
D.15°
2.如图,四边形ABCD是☉O的内接四边形.若∠ADC=110°,则∠AOC的度数为
(D)
A.110°
B.120°
C.130°
D.140°
3.如图,AB是☉O的直径,点C在☉O上.若∠BOC=40°,则∠C= 20° .?
4.如图,四边形ABCD内接于☉O,AD,BC的延长线相交于点E,AB,DC的延长线相交于点F.设∠A=α,则∠E+∠F= 180°-2α .(用含α的式子表示)?
5.如图,AB是☉O的直径,弦CD⊥AB于点E,连接AC,BC.
(1)求证:∠A=∠BCD;
(2)若AB=10,CD=6,求BE的长.
解:(1)∵直径AB⊥弦CD,∴=.∴∠A=∠BCD.
(2)连接OC.∵直径AB⊥弦CD,CD=6,∴CE=ED=3.
∵直径AB=10,∴OC=OB=5.在Rt△COE中,OE==4,∴BE=OB-OE=5-4=1.
D
g18d(共22张PPT)
24.1.4 圆周角
第二十四章 圆
知识点1 圆周角定理
1.下列图形中的角是圆周角的是( )
B
2.如图,已知点A,B,C在☉O上,∠A=72°,则∠OBC的度数是
( )
?
A.12°
B.15°
C.18°
D.20°
C
知识点2 圆周角定理的推论
3.(改编)如图,△ABC的三个顶点都在☉O上,AB经过圆心O,
∠A=60°,AC=2,则☉O的直径是( )
B
4.如图,AB是☉O的直径,点C,D在☉O上,∠AOC=70°,
AD∥OC,则∠ABD=__________.?
20°
知识点3 圆内接四边形的性质
5.如图,四边形ABCD为☉O的内接四边形,∠BOD=120°,则∠BCD的大小是( )
?
A.120°
B.100°
C.80°
D.60°
A
6.如图,A,B,C,D四点都在☉O上,若∠C=100°,则∠BAD=__________;∠BOD=__________.?
80°
160°
7.如图,△ABC内接于☉O,∠BAC=120°,AB=AC=6,BD为☉O的直径,则BD等于( )
A.4
B.6
C.8
D.12
D
8.(自贡中考)如图,☉O中,弦AB与CD交于点M,∠A=45°,
∠AMD=75°,则∠B的度数是( )
A.15°
B.25°
C.30°
D.75°
C
9.如图,在☉O中,弦AB⊥CD于点E.若已知AD=9,BC=12,则☉O的半径为( )
A.5.5
B.6
C.7.5
D.8
C
10.已知半径为5的☉O中,弦AB=
,弦AC=5,则∠BOC的度数是( )
A.15°
B.210°
C.30°或150°
D.60°或90°
C
11.如图,A,B,C,D,E都是☉O上的点,
,∠B=118°,则∠D的度数为( )
A.122°
B.124°
C.126°
D.128°
B
12.如图,△ABC内接于☉O,∠A所对弧的度数为120°,∠ABC,
∠ACB的平分线分别交AC,AB于点D,E,CE,BD相交于点F.以下四个结论:①∠BFE=60°;②BC=BD;③EF=FD;④BF=2DF.其中结论一定正确的是( )
A.①④
B.①②③
C.①③
D.②③
C
13.如图,AD是☉O的直径,弦BC与弦CD长度相同,已知∠A=60°,则∠DOC=__________.?
60°
14.(株洲中考)如图,已知AM为☉O的直径,直线BC经过点M,且AB=AC,∠BAM=∠CAM,线段AB和AC分别交☉O于点D,E,
∠BMD=40°,则∠EOM=__________°.?
80
15.如图,在△ABC中,AB=AC=5,以AB为直径的☉O与BC交于点D,与AC交于点E,连接OD交BE于点M,且MD=1,则BE的长为__________.?
4
16.如图,AD是☉O的直径,点O是圆心,C,F是AD上的两点,
OC=OF,B,E是☉O上的两点,且
.求证:BC∥EF.
∵OC=OF,OA=OD,∴AC=DF,
∴△BAC≌△EDF(SAS),∴∠ACB=∠DFE,
∴∠BCF=∠EFC,∴BC∥EF.
17.如图,☉O的直径AB为10
cm,弦AC为6
cm,且AD=BD.
(1)求BC,AD,BD的长.
(2)图中还有一条线段CD的长是否能确定?若能,求出CD的长.
解:(1)∵AB是☉O的直径,∴∠ACB=∠ADB=90°.
∵AB=10
cm,AC=6
cm,∴BC=8
cm.
(2)图中线段CD的长能确定.作AE⊥CD于点E.
∵AE⊥CD,∠ACE=∠ABD=45°,
18.如图,在锐角△ABC中,AB>AC,AD⊥BC于点D,以AD为直径的☉O分别交AB,AC于点E,F,连接DE,DF.
(1)求证:∠EAF+∠EDF=180°.
(2)已知P是射线DC上的一个动点,当点P运动到PD=BD时,连接AP,交☉O于点G,连接DG.设∠EDG=∠α,∠APB=∠β,那么∠α与∠β有何数量关系?试证明你的结论.
解:(1)在圆内接四边形AEDF中,AD为直径,
∴∠AED=∠AFD=90°.
又∵∠AED+∠AFD+∠EAF+∠EDF=360°,
∴∠EAF+∠EDF=360°-(∠AED+∠AFD)=180°.
(2)∠α=2∠β.
理由:如图,
在△ABD与△APD中,AD⊥BP,且BD=DP,AD=AD,
∴△ABD≌△APD(SAS),
∴∠B=∠APD=∠β.
在△ABP中,∠EAG+∠B+∠APD=180°,
∴∠EAG+2∠β=180°.
由(1)知∠EAG+∠EDG=180°,
∴∠EAG+∠α=180°,∴∠α=2∠β.
