第2课时 切线的判定与性质
知识要点基础练
知识点1 切线的判定
1.下列直线是圆的切线的是( B )
A.与圆有公共点的直线
B.到圆心的距离等于半径的直线
C.到圆心的距离大于半径的直线
D.到圆心的距离小于半径的直线
2.【教材母题变式】如图,在△ABC中,AB=AC,∠B=30°,以点A为圆心,以3
cm为半径作☉A,当AB= 6 cm时,BC与☉A相切.?
3.(原创)如图,在△APO中,∠P=40°,以点O为圆心、OA为半径作☉O,交PO于点C.延长AO交☉O于点B,连接BC.若∠B=25°,则PA是☉O的切线吗?
解:PA是☉O的切线.
理由:∵∠AOC和∠B是同弧所对的圆心角和圆周角,
∴∠AOC=2∠B=2×25°=50°,
又∵∠P=40°,∴∠PAO=180°-50°-40°=90°,
∴PA是☉O的切线.
知识点2 切线的性质
4.已知☉O的半径是5,直线l是☉O的切线,则圆心O到直线l的距离是( A )
A.5
B.2.5
C.3
D.10
5.如图,直线AB与☉O相切于点A,☉O的半径为2.若∠OBA=30°,则AB的长为 2 .?
6.如图,PA,PB分别与☉O相切于A,B两点,点C在☉O上,∠P=60°.
(1)求∠C的度数;
(2)若☉O的半径为2,求PA的长.
解:(1)连接OA,OB.
∵PA,PB分别与☉O相切于A,B两点,
∴OA⊥PA,OB⊥PB,
∴∠OAP=∠OBP=90°,∴∠AOB=180°-∠P=180°-60°=120°,
∴∠C=∠AOB=×120°=60°.
(2)连接OP,易证△OAP≌△OBP,
则∠APO=∠BPO=30°,∴OP=2OA=4,
∴PA==2.
综合能力提升练
7.如图,以点O为圆心画半径分别为3和5的两个圆,AB是大圆的弦,且AB与小圆相切于点P,则AB的长为( B )
A.6
B.8
C.10
D.12
8.如图,过☉O上一点C作☉O的切线,交直径AB的延长线于点D.若∠A=25°,则∠D的度数为( C )
A.25°
B.30°
C.40°
D.50°
9.已知☉O的半径为R,点O到直线m的距离为d,R,d是方程x2-4x+a=0的两个根,当直线m与☉O相切时,a的值是( B )
A.3
B.4
C.5
D.无法确定
10.如图,AB是☉O的直径,BC是☉O的切线,点D,E在☉O上.若∠CBD=120°,则∠E的度数是( D )
A.50°
B.70°
C.80°
D.60°
11.学习了直线与圆的位置关系后,我们把平面直角坐标系中圆心坐标和半径均为整数的圆称为“整圆”.如图,直线l:y=kx+4与x轴、y轴分别交于点A,B,∠OBA=60°,点P在x轴上,☉P与l相切.当点P在线段OA上运动时,使得☉P成为整圆的点P的个数是( A )
A.6
B.8
C.10
D.12
【变式拓展】如图,在平面直角坐标系中,P是直线y=2上的一个动点,☉P的半径为1,直线OQ切☉P于点Q,则线段OQ的最小值为? .?
12.如图,在矩形ABCD中,AB=6,BC=9,M是AB的中点,P是BC边上的动点,连接PM,以点P为圆心、PM长为半径作☉P.当☉P与矩形ABCD的边CD相切时,则BP的长为 4 .?
13.如图,已知☉P的半径为1,圆心P在抛物线y=x2-1上运动.当☉P与x轴相切时,圆心P的坐标为 (2,1)或(-2,1)或(0,-1) .?
14.如图,AB是☉O的直径,AD,BD是弦,点P在BA的延长线上,且∠PDA=∠PBD,延长PD交圆的切线BE于点E.
(1)求证:PD是☉O的切线;
(2)若∠BED=60°,PD=,求PA的长.
解:(1)连接OD,∵AB是☉O的直径,∴∠ADB=90°,
∴∠ADO+∠BDO=90°.
∵DO=BO,∴∠BDO=∠PBD.
∵∠PDA=∠PBD,∴∠BDO=∠PDA,∴∠ADO+∠PDA=90°,即PD⊥OD,∴直线PD为☉O的切线.
(2)∵BE是☉O的切线,∴∠EBA=90°.
∵∠BED=60°,∴∠P=30°.
∵PD为☉O的切线,∴∠PDO=90°.
设☉O的半径为R,在Rt△PDO中,∠P=30°,则PO=2OD=2R,∴(2R)2-R2=,解得R=1,∴PO=2,AO=1,
∴PA=PO-AO=1.
拓展探究突破练
15.如图,AB,AC分别是☉O的直径和弦,动点D为劣弧AC上一点,弦ED交AB于点H,交AC于点F,P为ED延长线上的点.
(1)连接PC,当且PC=PF时,求证:PC是☉O的切线;
(2)连接CD,OC,AD,则点C,D在上满足什么条件时,四边形ADCO为菱形?
解:(1)连接OC,∵OA=OC,∴∠ACO=∠OAC.
∵PC=PF,∴∠PCF=∠PFC.
∵,AB是☉O的直径,∴DE⊥AB,
∴∠OAC+∠AFH=90°.
∵∠PFC=∠AFH,
∴∠PFC+∠OAC=90°,∴∠PCF+∠ACO=90°,
即OC⊥PC,∴PC是☉O的切线.
(2)连接OD.当C,D在的三等分点时,四边形ADCO为菱形.
∵,∴∠COD=∠DOA=60°.
∵OC=OD=OA,∴△OAD与△OCD是等边三角形,
∴OC=OD=OA=AD=CD,
∴四边形ADCO为菱形.第2课时 切线的判定与性质
知识要点基础练
知识点1 切线的判定
1.下列直线是圆的切线的是( )
A.与圆有公共点的直线
B.到圆心的距离等于半径的直线
C.到圆心的距离大于半径的直线
D.到圆心的距离小于半径的直线
2.【教材母题变式】如图,在△ABC中,AB=AC,∠B=30°,以点A为圆心,以3
cm为半径作☉A,当AB= cm时,BC与☉A相切.?
3.(原创)如图,在△APO中,∠P=40°,以点O为圆心、OA为半径作☉O,交PO于点C.延长AO交☉O于点B,连接BC.若∠B=25°,则PA是☉O的切线吗?
知识点2 切线的性质
4.已知☉O的半径是5,直线l是☉O的切线,则圆心O到直线l的距离是( )
A.5
B.2.5
C.3
D.10
5.如图,直线AB与☉O相切于点A,☉O的半径为2.若∠OBA=30°,则AB的长为
.?
6.如图,PA,PB分别与☉O相切于A,B两点,点C在☉O上,∠P=60°.
(1)求∠C的度数;
(2)若☉O的半径为2,求PA的长.
综合能力提升练
7.如图,以点O为圆心画半径分别为3和5的两个圆,AB是大圆的弦,且AB与小圆相切于点P,则AB的长为( )
A.6
B.8
C.10
D.12
8.如图,过☉O上一点C作☉O的切线,交直径AB的延长线于点D.若∠A=25°,则∠D的度数为( )
A.25°
B.30°
C.40°
D.50°
9.已知☉O的半径为R,点O到直线m的距离为d,R,d是方程x2-4x+a=0的两个根,当直线m与☉O相切时,a的值是( )
A.3
B.4
C.5
D.无法确定
10.如图,AB是☉O的直径,BC是☉O的切线,点D,E在☉O上.若∠CBD=120°,则∠E的度数是( )
A.50°
B.70°
C.80°
D.60°
11.学习了直线与圆的位置关系后,我们把平面直角坐标系中圆心坐标和半径均为整数的圆称为“整圆”.如图,直线l:y=kx+4与x轴、y轴分别交于点A,B,∠OBA=60°,点P在x轴上,☉P与l相切.当点P在线段OA上运动时,使得☉P成为整圆的点P的个数是( )
A.6
B.8
C.10
D.12
【变式拓展】如图,在平面直角坐标系中,P是直线y=2上的一个动点,☉P的半径为1,直线OQ切☉P于点Q,则线段OQ的最小值为?
.?
12.如图,在矩形ABCD中,AB=6,BC=9,M是AB的中点,P是BC边上的动点,连接PM,以点P为圆心、PM长为半径作☉P.当☉P与矩形ABCD的边CD相切时,则BP的长为 4 .?
13.如图,已知☉P的半径为1,圆心P在抛物线y=x2-1上运动.当☉P与x轴相切时,圆心P的坐标为
.?
14.如图,AB是☉O的直径,AD,BD是弦,点P在BA的延长线上,且∠PDA=∠PBD,延长PD交圆的切线BE于点E.
(1)求证:PD是☉O的切线;
(2)若∠BED=60°,PD=,求PA的长.
拓展探究突破练
15.如图,AB,AC分别是☉O的直径和弦,动点D为劣弧AC上一点,弦ED交AB于点H,交AC于点F,P为ED延长线上的点.
(1)连接PC,当且PC=PF时,求证:PC是☉O的切线;
(2)连接CD,OC,AD,则点C,D在上满足什么条件时,四边形ADCO为菱形?第2课时 切线的判定与性质
1.如图,D为直径AB的延长线上一点,DC切☉O于点C.若∠A=35°,则∠D=
(A)
A.20°
B.30°
C.40°
D.50°
2.如图,Rt△ABC中,AB=10
cm,BC=8
cm.若点C在☉A上,则☉A的半径是
(B)
A.4
cm
B.6
cm
C.8
cm
D.10
cm
3.如图,AB与☉O相切于点B,AO的延长线交☉O于点C.若AC=8,OB=3,则AB= 4 .?
4.如图,已知PA是☉O的切线,P为切点,PA=5,连接AO交☉O于点B,AB=5,则☉O的半径为 5 .?
5.如图,O为菱形ABCD对角线上一点,以点O为圆心,OA长为半径的☉O与BC相切于点M.
(1)求证:CD与☉O相切;
(2)若菱形ABCD的边长为2,∠ABC=60°,求☉O的半径.
解:(1)连接OM,过点O作ON⊥CD于点N.
∵☉O与BC相切于点M,∴OM⊥BC,OM是☉O的半径.
∵AC是菱形ABCD的对角线,∴AC平分∠BCD.
∵ON⊥CD,OM⊥BC,∴ON=OM=r,∴CD与☉O相切.
(2)∵四边形ABCD是菱形,∠ABC=60°,∴△ABC是等边三角形,∴AC=AB=2.设☉O的半径为r,则OC=2-r,OM=r.∵∠ACB=60°,∠OMC=90°,∴∠COM=30°,∴MC=.
在Rt△OMC中,由勾股定理,得r2+=(2-r)2,解得r=-6+4或-6-4(舍去),∴☉O的半径为-6+4.(共19张PPT)
第2课时 切线的判定与性质
第二十四章 圆
知识点1 切线的判定
1.下列直线是圆的切线的是( )
A.与圆有公共点的直线
B.到圆心的距离等于半径的直线
C.到圆心的距离大于半径的直线
D.到圆心的距离小于半径的直线
B
2.【教材母题变式】如图,在△ABC中,AB=AC,∠B=30°,以点A为圆心,以3
cm为半径作☉A,当AB=__________cm时,BC与☉A相切.?
6
3.(原创)如图,在△APO中,∠P=40°,以点O为圆心、OA为半径作☉O,交PO于点C.延长AO交☉O于点B,连接BC.若∠B=25°,则PA是☉O的切线吗?
解:PA是☉O的切线.
理由:
∵∠AOC和∠B是同弧所对的圆心角和圆周角,
∴∠AOC=2∠B=2×25°=50°,
又∵∠P=40°,∴∠PAO=180°-50°-40°=90°,
∴PA是☉O的切线.
知识点2 切线的性质
4.已知☉O的半径是5,直线l是☉O的切线,则圆心O到直线l的距离是( )
A.5
B.2.5
C.3
D.10
5.如图,直线AB与☉O相切于点A,☉O的半径为2.若∠OBA=30°,则AB的长为__________.?
A
6.如图,PA,PB分别与☉O相切于A,B两点,点C在☉O上,
∠P=60°.
(1)求∠C的度数;
(2)若☉O的半径为2,求PA的长.
解:(1)连接OA,OB.
∵PA,PB分别与☉O相切于A,B两点,
∴OA⊥PA,OB⊥PB,
∴∠OAP=∠OBP=90°,
∴∠AOB=180°-∠P=180°-60°=120°,
(2)连接OP,易证△OAP≌△OBP,
则∠APO=∠BPO=30°,∴OP=2OA=4,
7.如图,以点O为圆心画半径分别为3和5的两个圆,AB是大圆的弦,且AB与小圆相切于点P,则AB的长为( )
?
A.6
B.8
C.10
D.12
B
8.如图,过☉O上一点C作☉O的切线,交直径AB的延长线于点D.若∠A=25°,则∠D的度数为( )
?
A.25°
B.30°
C.40°
D.50°
9.已知☉O的半径为R,点O到直线m的距离为d,R,d是方程x2-4x+a=0的两个根,当直线m与☉O相切时,a的值是( )
A.3
B.4
C.5
D.无法确定
C
B
10.如图,AB是☉O的直径,BC是☉O的切线,点D,E在☉O上.若∠CBD=120°,则∠E的度数是( )
?
A.50°
B.70°
C.80°
D.60°
D
11.学习了直线与圆的位置关系后,我们把平面直角坐标系中圆心坐标和半径均为整数的圆称为“整圆”.如图,直线l:
与x轴、y轴分别交于点A,B,∠OBA=60°,点P在x轴上,☉P与l相切.当点P在线段OA上运动时,使得☉P成为整圆的点P的个数是( )
?
A.6
B.8
C.10
D.12
A
【变式拓展】如图,在平面直角坐标系中,P是直线y=2上的一个动点,☉P的半径为1,直线OQ切☉P于点Q,则线段OQ的最小值为________.?
12.如图,在矩形ABCD中,AB=6,BC=9,M是AB的中点,P是BC边上的动点,连接PM,以点P为圆心、PM长为半径作☉P.当☉P与矩形ABCD的边CD相切时,则BP的长为__________.?
4
13.如图,已知☉P的半径为1,圆心P在抛物线
上运动.当☉P与x轴相切时,圆心P的坐标为__________________.?
(2,1)或(-2,1)或(0,-1)
14.如图,AB是☉O的直径,AD,BD是弦,点P在BA的延长线上,且∠PDA=∠PBD,延长PD交圆的切线BE于点E.
(1)求证:PD是☉O的切线;
(2)若∠BED=60°,PD=
,求PA的长.
解:(1)连接OD,∵AB是☉O的直径,∴∠ADB=90°,
∴∠ADO+∠BDO=90°.∵DO=BO,∴∠BDO=∠PBD.
∵∠PDA=∠PBD,∴∠BDO=∠PDA,∴∠ADO+∠PDA=90°,
即PD⊥OD,∴直线PD为☉O的切线.
(2)∵BE是☉O的切线,∴∠EBA=90°.
∵∠BED=60°,∴∠P=30°.
∵PD为☉O的切线,∴∠PDO=90°.
设☉O的半径为R,在Rt△PDO中,∠P=30°,则PO=2OD=2R,
∴PO=2,AO=1,∴PA=PO-AO=1.
15.如图,AB,AC分别是☉O的直径和弦,动点D为劣弧AC上一点,弦ED交AB于点H,交AC于点F,P为ED延长线上的点.
(1)连接PC,当
且PC=PF时,求证:PC是☉O的切线;
(2)连接CD,OC,AD,则点C,D在
上满足什么条件时,四边形ADCO为菱形?
解:(1)连接OC,
∵OA=OC,∴∠ACO=∠OAC.
∵PC=PF,∴∠PCF=∠PFC.
∵
,AB是☉O的直径,∴DE⊥AB,
∴∠OAC+∠AFH=90°.
∵∠PFC=∠AFH,
∴∠PFC+∠OAC=90°,
∴∠PCF+∠ACO=90°,
即OC⊥PC,∴PC是☉O的切线.
(2)连接OD.当C,D在
的三等分点时,四边形ADCO为菱形.
∵
,
∴∠COD=∠DOA=60°.
∵OC=OD=OA,
∴△OAD与△OCD是等边三角形,
∴OC=OD=OA=AD=CD,
∴四边形ADCO为菱形.
