第3课时 切线长定理和三角形的内切圆
知识要点基础练
知识点1 切线长定理
1.如图,P为☉O外一点,PA,PB分别切☉O于A,B两点.若PA=3,则PB的长是( B )
A.2
B.3
C.4
D.5
2.如图,四边形ABCD外切于☉O,AB=16,CD=10,则四边形ABCD的周长是 52 .?
3.(改编)如图,PA,PB切☉O于A,B两点,CD切☉O于点E,交PA,PB于C,D两点.若△PCD的周长等于6,求切线PB的长.
解:∵PA,PB切☉O于点A,B,CD切☉O于点E,
∴PA=PB,CA=CE,DE=DB.
∵△PCD的周长=PC+CD+PD=6,即PC+CE+ED+PD=6,∴PC+CA+BD+PD=PA+PB=2PB=6,∴PB=3.
知识点2 三角形的内切圆
4.到三角形三条边的距离相等的点是三角形( A )
A.三条内角平分线的交点
B.三边垂直平分线的交点
C.三条中线的交点
D.三条高线的交点
5.如图,☉O是△ABC的内切圆,D,E是切点,若∠A=50°,∠C=60°,则∠DOE( B )
A.70°
B.110°
C.120°
D.130°
6.【教材母题变式】如图,在△ABC中,∠C=90°,☉O是△ABC的内切圆,D,E,F是切点.
(1)求证:四边形ODCE是正方形;
(2)如果AC=6,BC=8,求内切圆☉O的半径.
解:(1)略.
(2)☉O的半径为2.
综合能力提升练
7.一个钢管放在V型架内,其截面如图,点O为钢管界面圆的圆心.若PM=25
cm,∠MPN=60°,则☉O的半径( D )
A.50
cm
B.25
cm
C.20
cm
D.25
cm
8.如图,若AB,AC分别切☉O于点B,C,延长OB到点D,使BD=OB,连接AD.若∠DAC=78°,则∠ADO的度数为( C )
A.39°
B.56°
C.64°
D.78°
9.如图,△ABC的内切圆与三边分别相切于点D,E,F,则下列等式:①∠EDF=∠B;②2∠EDF=∠A+∠C;③2∠A=∠FED+∠EDF;④∠AED+∠BFE+∠CDF=180°.其中等式成立的个数是( B )
A.1
B.2
C.3
D.4
10.如图,在△ABC中,∠BOC=140°,I是内心,O是外心,则∠BIC等于( B )
A.130°
B.125°
C.120°
D.115°
11.(南京中考)如图,在矩形ABCD中,AB=4,AD=5,AD,AB,BC分别与☉O相切于E,F,G三点,过点D作☉O的切线交BC于点M,切点为N,则DM的长为( A )
A.
B.
C.
D.2
提示:由已知得DE=DN,MG=MN,∴DM=DE+MG.∵AB=4,∴☉O的半径为2,∴AF=AE=2,∴DE=DN=CG=3.设MG=MN=x,在Rt△CDM中,(3+x)2=(3-x)2+42,解得x=,∴DM=3+x=.
【变式拓展】如图,以正方形ABCD的边BC为直径作半圆O,过点D作直线切半圆于点F,交AB于点E,则△ADE和直角梯形EBCD的周长之比为 6∶7 .?
12.如图,AB,AC,BD是☉O的切线,P,C,D为切点.如果AB=5,AC=3,则BD的长为 2 .?
13.如图,已知以直角梯形ABCD的腰CD为直径的半圆O与梯形上底AD,下底BC以及腰AB均相切,切点分别是D,C,E.若半圆O的半径为2,梯形的腰AB为5,则该梯形的周长是 14 .?
14.如图,☉I是△ABC的内切圆,与AB,BC,CA分别相切于点D,E,F.若∠DEF=50°,则∠A= 80° .?
15.如图,PA,PB,DE分别切☉O于点A,B,C,点D在PA上,点E在PB上.
(1)若PA=10,求△PDE的周长;
(2)若∠P=50°,求∠O度数.
解:(1)∵PA,PB,DE分别切☉O于点A,B,C,
∴PA=PB,DA=DC,EC=EB,∴△PDE的周长为PD+DE+PE=PD+DA+EB+PE=PA+PB=10+10=20.
(2)连接OA,OC,OB.∵OA⊥PA,OB⊥PB,OC⊥DE,
∴∠DAO=∠EBO=90°,
∴∠P+∠AOB=180°,∴∠AOB=180°-50°=130°.
∵∠AOD=∠DOC,∠COE=∠BOE,
∴∠DOE=∠AOB=×130°=65°.
拓展探究突破练
16.(龙岩中考)如图1~4,在直角边分别为3和4的直角三角形中,每多作一条斜边上的高就增加一个三角形的内切圆,依此类推,图10中有10个直角三角形的内切圆,它们的面积分别记为S1,S2,S3,…,S10,则S1+S2+S3+…+S10= π .?第3课时 切线长定理和三角形的内切圆
知识要点基础练
知识点1 切线长定理
1.如图,P为☉O外一点,PA,PB分别切☉O于A,B两点.若PA=3,则PB的长是( )
A.2
B.3
C.4
D.5
2.如图,四边形ABCD外切于☉O,AB=16,CD=10,则四边形ABCD的周长是 .?
3.(改编)如图,PA,PB切☉O于A,B两点,CD切☉O于点E,交PA,PB于C,D两点.若△PCD的周长等于6,求切线PB的长.
知识点2 三角形的内切圆
4.到三角形三条边的距离相等的点是三角形( )
A.三条内角平分线的交点
B.三边垂直平分线的交点
C.三条中线的交点
D.三条高线的交点
5.如图,☉O是△ABC的内切圆,D,E是切点,若∠A=50°,∠C=60°,则∠DOE( )
A.70°
B.110°
C.120°
D.130°
6.【教材母题变式】如图,在△ABC中,∠C=90°,☉O是△ABC的内切圆,D,E,F是切点.
(1)求证:四边形ODCE是正方形;
(2)如果AC=6,BC=8,求内切圆☉O的半径.
综合能力提升练
7.一个钢管放在V型架内,其截面如图,点O为钢管界面圆的圆心.若PM=25
cm,∠MPN=60°,则☉O的半径( )
A.50
cm
B.25
cm
C.20
cm
D.25
cm
8.如图,若AB,AC分别切☉O于点B,C,延长OB到点D,使BD=OB,连接AD.若∠DAC=78°,则∠ADO的度数为( )
A.39°
B.56°
C.64°
D.78°
9.如图,△ABC的内切圆与三边分别相切于点D,E,F,则下列等式:①∠EDF=∠B;②2∠EDF=∠A+∠C;③2∠A=∠FED+∠EDF;④∠AED+∠BFE+∠CDF=180°.其中等式成立的个数是( )
A.1
B.2
C.3
D.4
10.如图,在△ABC中,∠BOC=140°,I是内心,O是外心,则∠BIC等于( )
A.130°
B.125°
C.120°
D.115°
11.(南京中考)如图,在矩形ABCD中,AB=4,AD=5,AD,AB,BC分别与☉O相切于E,F,G三点,过点D作☉O的切线交BC于点M,切点为N,则DM的长为( )
A.
B.
C.
D.2
【变式拓展】如图,以正方形ABCD的边BC为直径作半圆O,过点D作直线切半圆于点F,交AB于点E,则△ADE和直角梯形EBCD的周长之比为
.?
12.如图,AB,AC,BD是☉O的切线,P,C,D为切点.如果AB=5,AC=3,则BD的长为 .?
13.如图,已知以直角梯形ABCD的腰CD为直径的半圆O与梯形上底AD,下底BC以及腰AB均相切,切点分别是D,C,E.若半圆O的半径为2,梯形的腰AB为5,则该梯形的周长是
.?
14.如图,☉I是△ABC的内切圆,与AB,BC,CA分别相切于点D,E,F.若∠DEF=50°,则∠A=
.?
15.如图,PA,PB,DE分别切☉O于点A,B,C,点D在PA上,点E在PB上.
(1)若PA=10,求△PDE的周长;
(2)若∠P=50°,求∠O度数.
拓展探究突破练
16.(龙岩中考)如图1~4,在直角边分别为3和4的直角三角形中,每多作一条斜边上的高就增加一个三角形的内切圆,依此类推,图10中有10个直角三角形的内切圆,它们的面积分别记为S1,S2,S3,…,S10,则S1+S2+S3+…+S10= .?第3课时 切线长定理和三角形的内切圆
1.三角形的内心是
(D)
A.三条中线的交点
B.三条高的交点
C.三条边的垂直平分线的交点
D.三条内角平分线的交点
2.如图,PA,PB,CD分别切☉O于点A,B,E,CD分别交PA,PB于C,D两点.若∠P=40°,则∠PAE+∠PBE的度数为
(D)
A.50°
B.62°
C.66°
D.70°
3.如图,已知点O是△ABC的内切圆的圆心,若∠BOC=124°,则∠A= 68° .?
4.如图,PA,PB是☉O的切线,A,B为切点,AC是☉O的直径.若∠BAC=20°,则∠P= 40° .?
5.如图,直线AB,BC,CD分别与☉O相切于点E,F,G,且AB∥CD,OB=6
cm,OC=8
cm.
(1)求∠BOC的度数;
(2)求BE+CG的长;
(3)求☉O的半径.
解:(1)连接OF,根据切线长定理得BE=BF,CF=CG,∠OBF=∠OBE,∠OCF=∠OCG.∵AB∥CD,∴∠ABC+∠BCD=180°,∴∠OBF+∠OCF=90°,∴∠BOC=90°.
(2)由(1)知,∠BOC=90°.∵OB=6
cm,OC=8
cm,∴由勾股定理得BC==10
cm,∴BE+CG=BC=10
cm.
(3)∵OF⊥BC,∴OF==4.8
cm.(共20张PPT)
第3课时 切线长定理和三角形的内切圆
第二十四章 圆
知识点1 切线长定理
1.如图,P为☉O外一点,PA,PB分别切☉O于A,B两点.若PA=3,则PB的长是( )
?
A.2
B.3
C.4
D.5
B
2.如图,四边形ABCD外切于☉O,AB=16,CD=10,则四边形ABCD的周长是__________.?
52
3.(改编)如图,PA,PB切☉O于A,B两点,CD切☉O于点E,交PA,
PB于C,D两点.若△PCD的周长等于6,求切线PB的长.
解:∵PA,PB切☉O于点A,B,CD切☉O于点E,
∴PA=PB,CA=CE,DE=DB.
∵△PCD的周长=PC+CD+PD=6,
即PC+CE+ED+PD=6,
∴PC+CA+BD+PD=PA+PB=2PB=6,
∴PB=3.
知识点2 三角形的内切圆
4.到三角形三条边的距离相等的点是三角形( )
A.三条内角平分线的交点
B.三边垂直平分线的交点
C.三条中线的交点
D.三条高线的交点
A
5.如图,☉O是△ABC的内切圆,D,E是切点,若∠A=50°,
∠C=60°,则∠DOE=( )
?
A.70°
B.110°
C.120°
D.130°
B
6.【教材母题变式】如图,在△ABC中,∠C=90°,☉O是△ABC的内切圆,D,E,F是切点.
(1)求证:四边形ODCE是正方形;
(2)如果AC=6,BC=8,求内切圆☉O的半径.
解:(1)略.
(2)☉O的半径为2.
7.一个钢管放在V型架内,其截面如图,点O为钢管界面圆的圆心.若PM=
cm,∠MPN=60°,则☉O的半径为( )
A.50
cm
B.
cm
C.20
cm
D.25
cm
D
8.如图,若AB,AC分别切☉O于点B,C,延长OB到点D,使BD=OB,连接AD.若∠DAC=78°,则∠ADO的度数为( )
?
A.39°
B.56°
C.64°
D.78°
C
9.如图,△ABC的内切圆与三边分别相切于点D,E,F,则下列等式:①∠EDF=∠B;②2∠EDF=∠A+∠C;③2∠A=∠FED+
∠EDF;④∠AED+∠BFE+∠CDF=180°.其中等式成立的个数是( )
?
A.1
B.2
C.3
D.4
B
10.如图,在△ABC中,∠BOC=140°,I是内心,O是外心,则∠BIC等于( )
?
A.130°
B.125°
C.120°
D.115°
B
11.(南京中考)如图,在矩形ABCD中,AB=4,AD=5,AD,AB,BC分别与☉O相切于E,F,G三点,过点D作☉O的切线交BC于点M,切点为N,则DM的长为( )
A
提示:由已知得DE=DN,MG=MN,∴DM=DE+MG.
∵AB=4,∴☉O的半径为2,∴AF=AE=2,∴DE=DN=CG=3.
设MG=MN=x,在Rt△CDM中,(3+x)2=(3-x)2+42,
6∶7
【变式拓展】如图,以正方形ABCD的边BC为直径作半圆O,过点D作直线切半圆于点F,交AB于点E,则△ADE和直角梯形EBCD的周长之比为________.?
12.如图,AB,AC,BD是☉O的切线,P,C,D为切点.如果AB=5,
AC=3,则BD的长为__________.?
2
13.如图,已知以直角梯形ABCD的腰CD为直径的半圆O与梯形上底AD,下底BC以及腰AB均相切,切点分别是D,C,E.若半圆O的半径为2,梯形的腰AB为5,则该梯形的周长是__________.?
14
14.如图,☉I是△ABC的内切圆,与AB,BC,CA分别相切于点D,E,F.若∠DEF=50°,则∠A=__________.?
80°
15.如图,PA,PB,DE分别切☉O于点A,B,C,点D在PA上,点E在PB上.
(1)若PA=10,求△PDE的周长;
(2)若∠P=50°,求∠O度数.
解:(1)∵PA,PB,DE分别切☉O于点A,B,C,
∴PA=PB,DA=DC,EC=EB,∴△PDE的周长为PD+DE+PE=PD+DA+EB+PE=PA+PB=10+10=20.
(2)连接OA,OC,OB.∵OA⊥PA,OB⊥PB,OC⊥DE,
∴∠DAO=∠EBO=90°,
∴∠P+∠AOB=180°,
∴∠AOB=180°-50°=130°.
∵∠AOD=∠DOC,∠COE=∠BOE,
16.(龙岩中考)如图1~4,在直角边分别为3和4的直角三角形中,每多作一条斜边上的高就增加一个三角形的内切圆,依此类推,图10中有10个直角三角形的内切圆,它们的面积分别记为S1,S2,S3,…,S10,则S1+S2+S3+…+S10=__________.?
π
