24.3 正多边形和圆
知识要点基础练
知识点1 正多边形的有关概念
1.对于一个正多边形,下列四个命题中,错误的是( B )
A.正多边形是轴对称图形,每条边的垂直平分线是它的对称轴
B.正多边形是中心对称图形,正多边形的中心是它的对称中心
C.正多边形每一个外角都等于正多边形的中心角
D.正多边形每一个内角都与正多边形的中心角互补
2.(改编)如图,将边长为2的正六边形放入平面直角坐标系中.已知点A的坐标为(1,0),则点B的坐标为( C )
A.(1,2)
B.(-1,2)
C.(-1,2)
D.(2,-1)
知识点2 正多边形和圆的有关计算
3.边长为2的正六边形的边心距为( C )
A.1
B.2
C.
D.2
4.【教材母题变式】如图,一个正多边形外接圆的半径为,边心距为1,求该正多边形的中心角、边长、内角、周长和面积.
解:中心角为90°,边长为2,内角为90°,周长为8,面积为4.
知识点3 正多边形的画法
5.图1是我们常见的地砖上的图案,其中包含了一种特殊的平面图形——正八边形.如图2,AE是☉O的直径,用直尺和圆规作☉O的内接正八边形ABCDEFGH.(不写作法,保留作图痕迹)
略
综合能力提升练
6.一个正五边形和一个正六边形按如图方式摆放,它们都有一条边在直线l上,且有一个公共顶点O,则∠AOB的度数是( B )
A.83°
B.84°
C.85°
D.94°
7.若正三角形、正方形、正六边形的周长相等,它们的面积分别为S1,S2,S3,则下列关系成立的是( C )
A.S1=S2=S3
B.S1>S2>S3
C.S1D.S2>S3>S1
【变式拓展】同一个圆的内接正三角形、正方形、正六边形的面积之比为( C )
A.1∶2∶3
B.1∶
C.3∶8∶6
D.无法确定
8.如图,AB,AC分别为☉O的内接正方形、内接正三角形的边,BC是圆内接正n边形的一边,则n等于( C )
A.8
B.10
C.12
D.16
9.如图,△ABC和△DEF分别是☉O的外切正三角形和内接正三角形,则它们的面积比为( A )
A.4
B.2
C.
D.
10.如图,雯雯开了一家品牌手机体验店,现在体验区(图1阴影部分)摆放图2所示的正六边形桌子若干张,体验店平面图是长9
m、宽7
m的矩形,通道宽2
m,桌子的边长为1
m,摆放时要求桌子至少离墙1
m,且有边与墙平行,桌子之间的距离至少为1
m,则体验区最多可以摆放桌子( A )
A.4张
B.5张
C.6张
D.7张
11.如图,P,Q分别是☉O的内接正五边形的边AB,BC上的点,BP=CQ,则∠POQ= 72° .?
12.若圆内接正六边形的两条对角线长分别为m,n(m13.如图,☉O与正五边形ABCDE的两边AE,CD分别相切于A,C两点,则∠OBC的度数为 54 度.?
14.(改编)如图,☉C经过正六边形ABCDEF的顶点A,E,求所对的圆周角∠APE的度数.
解:连接AC,EC.
∵六边形ABCDEF是正六边形,
∴∠BCD=∠B=∠D=120°,AB=BC=CD=DE,
∴∠BAC=∠BCA=(180°-∠B)=30°,
同理∠DCE=30°.
∴∠ACE=∠BCD-∠BCA-∠DCE=60°,
∴∠APE=∠ACE=30°.
15.如图,☉O外接于正方形ABCD,P为劣弧上一点,且AP=1,PC=3,求正方形ABCD的边长和PB的长.
解:连接AC,作AE⊥PB于点E.
∵四边形ABCD是正方形,∴AB=BC=CD=AD,∠ABC=∠D=∠BCD=90°,∠ACB=45°,∴AC是☉O的直径,△ABC是等腰直角三角形,∴∠APC=90°,AC=AB,∴AC=,∴AB=.
∵∠APB=∠ACB=45°,AE⊥PB,∴△APE是等腰直角三角形,∴PE=AE=AP=,∴BE=,∴PB=PE+BE==2.
拓展探究突破练
16.将正六边形纸片按下列要求分割.(每次分割纸片不得剩余)
第一次:将正六边形纸片分割成三个全等的菱形,然后选取其中一个菱形再分割成一个正六边形和两个全等的正三角形.(后面就依次用剩下的正六边形按上述方法分割……)
(1)请画出第一次分割示意图.
(2)若原正六边形的面积为a,请你将第一次、第二次、第三次分割后所得的正六边形的面积填入下表:
分割次数n
1
2
3
…
正六边形的面积S
a
a
a
…
(3)猜想:分割后所得的正六边形的面积S与分割次数n有何关系?(S用含a和n的代数式表示)
解:(1)如图.
(3)Sn=a.24.3 正多边形和圆
知识要点基础练
知识点1 正多边形的有关概念
1.对于一个正多边形,下列四个命题中,错误的是( )
A.正多边形是轴对称图形,每条边的垂直平分线是它的对称轴
B.正多边形是中心对称图形,正多边形的中心是它的对称中心
C.正多边形每一个外角都等于正多边形的中心角
D.正多边形每一个内角都与正多边形的中心角互补
2.(改编)如图,将边长为2的正六边形放入平面直角坐标系中.已知点A的坐标为(1,0),则点B的坐标为( )
A.(1,2)
B.(-1,2)
C.(-1,2)
D.(2,-1)
知识点2 正多边形和圆的有关计算
3.边长为2的正六边形的边心距为( )
A.1
B.2
C.
D.2
4.【教材母题变式】如图,一个正多边形外接圆的半径为,边心距为1,求该正多边形的中心角、边长、内角、周长和面积.
知识点3 正多边形的画法
5.图1是我们常见的地砖上的图案,其中包含了一种特殊的平面图形——正八边形.如图2,AE是☉O的直径,用直尺和圆规作☉O的内接正八边形ABCDEFGH.(不写作法,保留作图痕迹)
综合能力提升练
6.一个正五边形和一个正六边形按如图方式摆放,它们都有一条边在直线l上,且有一个公共顶点O,则∠AOB的度数是( )
A.83°
B.84°
C.85°
D.94°
7.若正三角形、正方形、正六边形的周长相等,它们的面积分别为S1,S2,S3,则下列关系成立的是( )
A.S1=S2=S3
B.S1>S2>S3
C.S1D.S2>S3>S1
【变式拓展】同一个圆的内接正三角形、正方形、正六边形的面积之比为( )
A.1∶2∶3
B.1∶
C.3∶8∶6
D.无法确定
8.如图,AB,AC分别为☉O的内接正方形、内接正三角形的边,BC是圆内接正n边形的一边,则n等于( )
A.8
B.10
C.12
D.16
9.如图,△ABC和△DEF分别是☉O的外切正三角形和内接正三角形,则它们的面积比为( )
A.4
B.2
C.
D.
10.如图,雯雯开了一家品牌手机体验店,现在体验区(图1阴影部分)摆放图2所示的正六边形桌子若干张,体验店平面图是长9
m、宽7
m的矩形,通道宽2
m,桌子的边长为1
m,摆放时要求桌子至少离墙1
m,且有边与墙平行,桌子之间的距离至少为1
m,则体验区最多可以摆放桌子( )
A.4张
B.5张
C.6张
D.7张
11.如图,P,Q分别是☉O的内接正五边形的边AB,BC上的点,BP=CQ,则∠POQ=
.?
12.若圆内接正六边形的两条对角线长分别为m,n(m .?
13.如图,☉O与正五边形ABCDE的两边AE,CD分别相切于A,C两点,则∠OBC的度数为
度.?
14.(改编)如图,☉C经过正六边形ABCDEF的顶点A,E,求所对的圆周角∠APE的度数.
15.如图,☉O外接于正方形ABCD,P为劣弧上一点,且AP=1,PC=3,求正方形ABCD的边长和PB的长.
拓展探究突破练
16.将正六边形纸片按下列要求分割.(每次分割纸片不得剩余)
第一次:将正六边形纸片分割成三个全等的菱形,然后选取其中一个菱形再分割成一个正六边形和两个全等的正三角形.(后面就依次用剩下的正六边形按上述方法分割……)
(1)请画出第一次分割示意图.
(2)若原正六边形的面积为a,请你将第一次、第二次、第三次分割后所得的正六边形的面积填入下表:
分割次数n
1
2
3
…
正六边形的面积S
…
(3)猜想:分割后所得的正六边形的面积S与分割次数n有何关系?(S用含a和n的代数式表示)24.3 正多边形和圆
1.如图,正五边形ABCDE内接于☉O,P为上的一点(点P不与点D重合),则∠CPD的度数为
(B)
A.30°
B.36°
C.60°
D.72°
2.如图,正六边形ABCDEF内接于☉O,若☉O的半径为6,则△ADE的周长是
(D)
A.9+3
B.12+6
C.18+3
D.18+6
3.一个正n边形的中心角等于18°,那么n= 20 .?
4.如图,正三角形ABC内接于☉O,若AB=2,则☉O的半径为 2 .?
5.如图,在☉O的内接四边形ABCD中,AB=AD,∠C=120°,点E在上,连接AE,DE.
(1)求∠AED的度数;
(2)连接OD,OE,若∠DOE=90°时,AE恰好为☉O的内接正n边形的一边,求n的值.
解:(1)连接BD.∵四边形ABCD是☉O的内接四边形,
∴∠BAD+∠C=180°,∴∠BAD=60°.
∵AB=AD,∴△ABD是等边三角形,∴∠ABD=60°.
∵四边形ABDE是☉O的内接四边形,∴∠AED+∠ABD=180°,∴∠AED=120°.
(2)连接OA.∵∠ABD=60°,∴∠AOD=2∠ABD=120°.
∵∠DOE=90°,∴∠AOE=∠AOD-∠DOE=30°,
∴n==12.(共20张PPT)
24.3 正多边形和圆
第二十四章 圆
知识点1 正多边形的有关概念
1.对于一个正多边形,下列四个命题中,错误的是( )
A.正多边形是轴对称图形,每条边的垂直平分线是它的对称轴
B.正多边形是中心对称图形,正多边形的中心是它的对称中心
C.正多边形每一个外角都等于正多边形的中心角
D.正多边形每一个内角都与正多边形的中心角互补
B
2.(改编)如图,将边长为2的正六边形放入平面直角坐标系中.已知点A的坐标为(1,0),则点B的坐标为( )
C
知识点2 正多边形和圆的有关计算
3.边长为2的正六边形的边心距为( )
C
4.【教材母题变式】如图,一个正多边形外接圆的半径为
,边心距为1,求该正多边形的中心角、边长、内角、周长和面积.
解:中心角为90°,边长为2,内角为90°,周长为8,面积为4.
知识点3 正多边形的画法
5.图1是我们常见的地砖上的图案,其中包含了一种特殊的平面图形——正八边形.如图2,AE是☉O的直径,用直尺和圆规作☉O的内接正八边形ABCDEFGH.(不写作法,保留作图痕迹)
略
6.一个正五边形和一个正六边形按如图方式摆放,它们都有一条边在直线l上,且有一个公共顶点O,则∠AOB的度数是( )
?
A.83°
B.84°
C.85°
D.94°
B
7.若正三角形、正方形、正六边形的周长相等,它们的面积分别为S1,S2,S3,则下列关系成立的是( )
A.S1=S2=S3
B.S1>S2>S3
C.S1D.S2>S3>S1
【变式拓展】同一个圆的内接正三角形、正方形、正六边形的面积之比为( )
C
C
8.如图,AB,AC分别为☉O的内接正方形、内接正三角形的边,
BC是圆内接正n边形的一边,则n等于( )
?
A.8
B.10
C.12
D.16
C
9.如图,△ABC和△DEF分别是☉O的外切正三角形和内接正三角形,则它们的面积比为( )
A
10.如图,雯雯开了一家品牌手机体验店,现在体验区(图1阴影部分)摆放图2所示的正六边形桌子若干张,体验店平面图是长9
m、宽7
m的矩形,通道宽2
m,桌子的边长为1
m,摆放时要求桌子至少离墙1
m,且有边与墙平行,桌子之间的距离至少为1
m,则体验区最多可以摆放桌子( )
?
A.4张
B.5张
C.6张
D.7张
A
11.如图,P,Q分别是☉O的内接正五边形的边AB,BC上的点,
BP=CQ,则∠POQ=__________.?
12.若圆内接正六边形的两条对角线长分别为m,n(m72°
13.如图,☉O与正五边形ABCDE的两边AE,CD分别相切于A,C两点,则∠OBC的度数为__________度.?
54
14.(改编)如图,☉C经过正六边形ABCDEF的顶点A,E,求
所对的圆周角∠APE的度数.
解:连接AC,EC.
∵六边形ABCDEF是正六边形,
∴∠BCD=∠B=∠D=120°,AB=BC=CD=DE,
∴∠BAC=∠BCA=
(180°-∠B)=30°,
同理∠DCE=30°.
∴∠ACE=∠BCD-∠BCA-∠DCE=60°,
∴∠APE=
∠ACE=30°.
15.如图,☉O外接于正方形ABCD,P为劣弧
上一点,且AP=1,PC=3,求正方形ABCD的边长和PB的长.
解:连接AC,作AE⊥PB于点E.
∵四边形ABCD是正方形,
∴AB=BC=CD=AD,∠ABC=∠D=∠BCD=90°,∠ACB=45°,
∴AC是☉O的直径,△ABC是等腰直角三角形,
∵∠APB=∠ACB=45°,AE⊥PB,∴△APE是等腰直角三角形,
16.将正六边形纸片按下列要求分割.(每次分割纸片不得剩余)
第一次:将正六边形纸片分割成三个全等的菱形,然后选取其中一个菱形再分割成一个正六边形和两个全等的正三角形.
(后面就依次用剩下的正六边形按上述方法分割……)
(1)请画出第一次分割示意图.
(2)若原正六边形的面积为a,请你将第一次、第二次、第三次分割后所得的正六边形的面积填入下表:
(3)猜想:分割后所得的正六边形的面积S与分割次数n有何关系?(S用含a和n的代数式表示)
解:(1)如图.
