(共25张PPT)
§6.3特殊的平行四边形
----矩形
(1)
第6章：平行四边形
四个学生正在做投圈游戏,他们分别站在一个长方形的四个顶点处，目标物放在对角线的交点处,这样的队形对每个人公平吗?为什么？
O
A
B
C
D
你来当评委
复习提问
1.什么叫平行四边形？
2.平行四边形的性质：
①边:
②角:
③对角线:
④对称性：
两组对边分别平行的四边形
叫做平行四边形。
对边平行且相等.
对角相等，邻角互补.
对角线互相平分.
平行四边形是中心对称图形
A
B
C
D
O
有一个角是直角的平行四边形叫做矩形。
矩形是特殊的平行四边形
一、矩形的概念：
┓
其实我还是平行四边形啊!只是我比较特殊而已,大家发现了我的特殊之处吗?请同学们举手回答!
生活中的实例
具备平行四边形所有的性质
A
B
C
D
O
角
边
对角线
对边平行且相等
对角相等
对角线互相平分
矩形的一般性质：
自主探索
矩形是一个特殊的平行四边形，除了具有平行四边形的所有性质外，还有哪些特殊性质呢？
B
A
D
C
猜想1：矩形的四个角有什么关系？
矩形的四个角都是直角．
求证：矩形的四个角都是直角．
已知：如图，四边形ABCD是矩形。
求证：∠A=∠B=∠C=∠D=90°
证明：
∵四边形ABCD是矩形
∴
∠B=90°
∵矩形ABCD是平行四边形
∴
AD//BC
∠A=∠C
∠B=∠D
∴
∠A
+∠B
=180°
∴
∠A=∠B=∠C=∠D=90°
即矩形的四个角都是直角
B
A
D
C
几何语言：
∵四边形ABCD是矩形
∴
∠A=∠B=∠C=∠D=90°
B
A
D
C
猜想2：矩形的对角线有什么关系？
自主探索
性质：矩形的对角线相等．
矩形的特殊性质
B
A
D
C
O
已知：如图,四边形ABCD是矩形
求证：AC
=
BD
证明：在矩形ABCD中
∵∠ABC
=
∠DCB
=
90°
又∵AB
=
DC
，
BC
=
CB
∴△ABC≌△DCB
∴AC
=
BD
即矩形的对角线相等
求证:矩形的对角线相等。
B
A
D
C
O
B
A
D
C
O
几何语言：
∵四边形ABCD是矩形
∴
AC=BD
思考：
(1)OA,OB,OC,OD有什么数量关系？
(2)OB与AC有什么数量关系？
猜想3：直角三角形的一个性质：
直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半.
探索新知
在Rt△ABC中，∠ABC=90°O是AC中点，思考OB与AC的数量关系？
B
A
D
C
O
A
B
C
O
直角三角形的性质定理2
直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半.
几何语言:
在Rt△ABC中
∵
∠ABC=90°O是斜边AC上的中点
∴
BO=
AC
A
B
C
O
探索与验证
（4）矩形的对称性：
①
矩形是轴对称图形，它有两条对称
轴（分别是过对边中点的直线）；
②
矩形是中心对称图形，它的对称中
心是两条对角线的交点。
二.
矩形的性质：
1.边的关系：两组对边平行且相等。
2.角的关系：四个角都是直角。
3.对角线的关系：
矩形的对角线互相平分且相等。
推论：
直角三角形斜边上的中线等于斜边长的一半.
A
C
B
D
O
矩形即是轴对称图形，它有两条对称轴；矩形也是中心对称图形。
4.对称性：
(2).矩形的两条对角线将矩形分成四个
面积相等的等腰三角形(
)
(1).矩形是平行四边形.(
)
练一练
2.矩形的短边长为3cm,两对角线所成的
钝角是120
°,则它的对角线长是____.
6cm
1.判断题
√
√
A
C
B
D
O
3、如图，在矩形ABCD中，AC与BD交于点O，∠BOC=120?，AB=6cm。
求：AC的长。
例题讲解
解：∵四边形ABCD是矩形∴AC=2AO，BD=2BO
AC=BD
∴OA=OB
∵∠BOC=120?
∴∠AOB=60?
∴△AOB是等边三角形
∴OA=AB=6cm
∴AC=2AO=12cm
例4、在矩形ABCD中，AC和BD交于
点O，∠AOB=2∠BOC。AC=18cm。
求：AD的长。
A
B
C
D
O
例题精讲
AD=9
例题精讲
例5、四边形ABCD中，∠DAB=∠BCD
=90°,M是BD的中点，N是AC的中点，
连接MN.
求证：MN⊥AC。
A
B
D
C
N
M
提示：
连接AM、CM，利用直角三角形斜
边的中线等于斜边的一半得AM=CM,
再利用等腰三角形的三线合一得MN⊥AC。
挑战自我
6、已知：如图，木杆AB斜靠在墙壁上，
当木杆的上端A沿墙壁ON竖直下滑时，
木杆AB的中点P也随之下落。
问：（1）在下落过程中，OP的长度是否
发生变化，为什么？
（2）你能否画出点P下落的路线？
A
B
O
N
M
.P
四个学生正在做投圈游戏,他们分别站在一个长方形的四个顶点处，目标物放在对角线的交点处,这样的队形对每个人公平吗?为什么？
O
A
B
C
D
你来当评委
生活链接---投圈游戏
公平,因为OA=OC=OB=OD
本课小结
一、矩形的概念：
二.
矩形的性质：
1.边的关系：
2.角的关系：
3.对角线的关系：
推论：
4.对称性：
1、矩形具有而一般平行四边形不具
有的性质是
(
)
B.对边相等
A.对角相等
C.对角线相等
D.对角线互相平分
C
当堂检测
2、已知Rt△
ABC中，∠ABC=900，
BD是斜边AC上的中线
(1)若BD=3㎝
则AC＝____㎝
(2)
若∠C=30°,AB＝5㎝,则AC＝___㎝，
BD＝___㎝.
D
C
B
A
┓
6
5
10
当堂检测
3.在矩形ABCD中，若已知
∠DOC=120°，AC＝8㎝，求AD的长。
C
B
A
D
o
4.已知：一直角三角形的斜边的中线和高分别为4和3，求这个直角三角形的面积。
5.如图：在矩形ABCD中，AE//BD，且交CB
的延长线于点E，
求证：
∠EAB=
∠CAB
O
D
A
B
C
E(共22张PPT)
§6.3特殊的平行四边形(3)
----菱形
第6章：平行四边形
复习导入
1、什么叫平行四边形？
2、什么叫矩形？
有一个角是直角
矩形是在平行四边形的基础上由角变化得到的。
┓
想一想
在平行四边形中，如果内角大小保持不变仅改变边的长度，能否得到一个特殊的平行四边形？
平行四边形
有一组邻边相等的平行四边形是什么特殊图形呢？
菱形
邻边相等
活动一：
生活
感受
菱形就在我们身边
有一组邻边相等的平行四边形叫做菱形。
一、菱形的定义：
注意：菱形是特殊的平行四边形,菱形
具有平行四边形的
一切性质。
新知总结
A
B
C
D
O
二、菱形的性质：
1、边的关系：
①对边平行且相等;
2、角的关系：
对角相等，邻角互补。
A
B
C
D
O
首先具有平行四边形
的一切性质
②四条边都相等。
几何语言
∵四边形ABCD是菱形
∴AB=BC=CD=AD
菱形的对角线还互相垂直，并且
每一条对角线平分一组对角。
猜想：
A
B
C
D
O
怎样验证呢？
3、对角线的关系：
菱形的对角线互相平分。
菱形的对角线还有其它关系吗？
首先具有平行四边形
的一切性质
A
B
C
D
O
求证：菱形的对角线互相垂直平分，
并且每一条对角线平分一组对角。
已知：菱形ABCD的对角线AC和BD
相交于点O。
求证：AC⊥BD
；
AC平分∠BAD和∠BCD
；
BD平分∠ABC和∠ADC
性质验证：
性质验证：
A
B
C
D
O
证明：∵四边形ABCD是菱形
∴AB=AD,OB=OD.
∴AC⊥BD,
AC平分∠BAD（
）
同理：AC平分∠BCD
BD平分∠ABC和∠ADC
∴AC与BD互相平分，且AC⊥BD,
AC平分∠BAD和∠BCD
BD平分∠ABC和∠ADC
A
B
C
D
O
几何语言
∵四边形ABCD是菱形
∴AC与BD互相平分，
AC⊥BD,
AC平分∠BAD和∠BCD
BD平分∠ABC和∠ADC
菱形是轴对称图形,每一条对角线所在
的直线都是对称轴；
菱形是中心对称图形，两条对角线的
交点是对称中心。
4、对称性：
怎样验证呢？
二、菱形的性质：
1、边的关系：
①对边平行且相等;
2、角的关系：
对角相等，邻角互补。
3、对角线的关系：
②四条边都相等。
菱形的对角线互相垂直平分，并且
每一条对角线平分一组对角。
4、对称性：
菱形即是轴对称图形，又是中心对称图形。
S菱形ABCD＝S△ABD＋
S△BCD
＝
BD·AO＋
BD·CO
2
1
2
1
＝
BD·(AO＋CO)
2
1
＝
BD·AC
2
1
5、菱形的面积公式：
A
B
C
D
O
E
小结：
菱形的面积=两条对角线乘积的一半。
1.如图在菱形ABCD中，对角线AC、
BD相交于点O.
（1）若AB=5cm,则菱形的周长是____
（3）如果AB=6cm,
∠DAB=60°
则对角线BD的长为____.。
20cm
例题精讲
6cm
例题精讲
2.已知:如图,在菱形ABCD中,CE⊥AD,
垂足为E，如果AE=DE.
求：菱形各内角的度数。
A
B
C
D
E
┏
3：已知：在菱形ABCD中，∠BAD
=130°，OE⊥BC.
求：∠BOE的度数。
例题精讲
┏
E
┏
4.菱形的两条对角线分别为4和7，则菱形的面积为
.
5.已知菱形的一条对角线的长为12cm，面积是30cm2，则这个菱形的另一条对角线的长为
cm.
例题精讲
14
5
6.如图，四边形ABCD是菱形，DE⊥AB交BA的延长线于E，DF⊥BC，交BC的延长线于F。请你猜想DE与DF的大小有什么关系？并证明你的猜想.
例题精讲
结论：对角线互相垂直的四边形的面积都等于两条对角线乘积的一半.
能力提高
7、已知：四边形ABCD中对角线AC⊥BD,且AC=10,BD=8.
求：四边形ABCD的面积。
C
B
平行四边形
菱形
定义:有一组邻边相等的平行四边形叫做菱形
性质1：菱形的四条边相等
性质2：菱形的对角线互相垂直,并且每一条对角线平分一组对角
作业
课后练习题1、2题(共20张PPT)
6.3特殊的平行四边形(4)
----正方形
正方形
菱形
正方形
有一个角是
直角
创设情景一
★正方形是特殊的菱形
问题:
情景二
图中CD在平移时，这个图形始终是怎样的图形？
当CD移动到C?D?位置，此时AD?＝AB，四边形ABCD还是矩形吗？
A
B
C
D
A
B
C?
D?
★
正方形是特殊的矩形
两组互相垂直的平行线围成矩形ABCD
邻边相等的矩形
想一想：正方形是怎样的矩形？
矩形
正方形
新知探究
菱形
正方形
一个角是直角的菱形
想一想：正方形是怎样的菱形？
新知探究
两组对边
分别平行
有一个角是直角
有一组邻边相等
四边形
平行四边形
矩形
菱形
总结
如何在平行四边形的基础上来定义正方形
平行四边形
正方形
矩形
菱形
一组邻边相等
一组邻边相等
一内角是直角
一内角是直角
平行四边形
正方形
一组邻边相等
一内角是直角
给正方形下个定义
定义3、有一个角是直角的菱形叫正
方形。
定义1、有一组邻边相等并且有一个
角是直角的平行四边形叫正方形。
定义2、
有一组邻边相等的矩形叫做
正方形。
一、正方形定义:
特殊平行四边形—正方形
菱形
矩形
平行四边形
正
形
方
平行四边形，矩形，菱形，正方形的关系
正方形是特殊的平行四边形，也是特殊的矩形，也是特殊的菱形。
1.边的关系：
3.对角线的关系：
①对边平行；
②四条边都相等。
对角线相等、互相垂直平分，并且
每条对角线平分一组对角
四个角都是直角。
2.角的关系：
二、正方形的性质
4、对称性：
正方形即是轴对称图形，又是
中心对称图形。
对称轴的情况
A
B
C
D
O
几何语言
∵四边形ABCD是正方形
∴…………
…………
…………
1、判断。
（1）正方形一定是矩形。（
）
（2）正方形一定是菱形。（
）
（3）菱形一定是正方形。（
）
（4）矩形一定是正方形。（
）
（5）正方形、矩形、菱形都是平行
四边形。（
）
√
√
×
×
√
练习
2、正方形两条对角线的和为8cm，
它的面积为 。
8cm2
3.正方形具有而矩形不一定具有的性质是(
)
A、四个角相等.
B、对角线互相垂直平分.
C、对角互补.
D、对角线相等.
选一选
4.正方形具有而菱形不一定具有的性质（
）
A、四条边相等.
B、对角线互相垂直平分.
C、对角线平分一组对角.
D、对角线相等.
B
D
5.如图，正方形ABCD中，点E是CD边上一点，连接AE交对角线BD于点F，则图中全等三角形共有（
）
A
B
C
D
E
F
C
A.1对
B.2对
C.3对
D.4对
6、已知:如图,在正方形ABCD中,点
E在AC上.
求证:BE=DE
证明：∵四边形ABCD
是正方形，
∴AB=AD,
∠BAC=∠DAC.
在△ABC和△ADC中
AB=AD
∠BAC=∠DAC.
AE=AE
∴△ABC≌△ADC
(SAS)
∴BE=DE
(全等三角形的对应边相等）
例题精讲
例7、已知：如图,点P是正方形ABCD
的对角线BD上的一点，PM⊥BC,
PN⊥CD,垂足为M、N。
求证：AP=MN.
A
B
C
D
P
M
N
例8、如图，点E、F在正方形ABCD的边BC、CD上，BE=CF.
试判断AE与BF的关系？
例题精讲
位置关系和数量关系
学习小结
一、正方形定义:
二、正方形的性质
作业
课后练习题1、2题
再
见(共13张PPT)
6.3特殊的平行四边形(4)
----正方形
复习回顾
一、正方形的定义：
二、正方形的性质：
1、在平行四边形的基础上定义；
2、在矩形的基础上定义；
3、在菱形的基础上定义。
1、边的关系；
2、角的关系；
3、对角线的关系；
4、对称性。
1、如图，四边形ABCD是正方形，延长BC到E，使CE=AC，连接AE，交CD于F，求∠AFC的度数.
A
B
D
C
E
课堂练习
课堂练习
2.已知正方形ABCD中,AC=10,P是AB上一点,PE⊥AC于E，PF⊥BD于F,则PE+PF=__.
5
30°
3.以正方形ABCD的边DC向外作等边△DCE,则∠AEB=_____.
P
A
B
C
D
E
F
O
E
A
B
C
D
正方形有哪些判定方法呢？
4、已知：如图,点P是正方形ABCD
内的一点，△PBC为等边三角形,
并连接PA、PD。
（1）判断△PAD的形状，
（2）求∠APD的度数。
A
B
C
D
P
三、正方形的判定方法：
3、有一个角是直角的菱形是正方形。
1、有一组邻边相等并且有一个角
是直角的平行四边形是正方形。
2、
有一组邻边相等的矩形是正方形。
(可从平行四边形、矩形、菱形为基础）
A
B
C
D
┓
几何语言
（1）∵四边形ABCD是平行四边形
又
AB=BC,∠B=90°
∴四边形ABCD是正方形
（2）∵四边形ABCD是矩形
又
AB=BC
∴四边形ABCD是正方形
（3）∵四边形ABCD是菱形
又
∠B=90°
∴四边形ABCD是正方形
1、下列命题正确的是（
）
A、四个角都相等的四边形是正方形
B、四条边都相等的四边形是正方形
C、对角线相等的平行四边形是正方形
D、对角线互相垂直的矩形是正方形
D
例题精讲
2．四个内角都相等的四边形一定是（
）
A、正方形
B、菱形
C、矩形
D、平行四边形
3.在四边形ABCD中，O是对角线的交点，能判定这个四边形是正
方形的是：（
）
A．AO＝BO＝CO＝DO，AC⊥BD
B．AD∥BC
∠A＝∠C
C．AO＝CO BO＝DO AB＝BC
D．AC＝BD
C
A
例题精讲
例题精讲
例4、已知：△ABC是等腰直角三角形，
AB=AC,∠BAC=90°,且AE⊥BC,
ED⊥AB,EF⊥AC.垂足分别为E,
D,F。
求证：四边形ADEF是正方形。
A
B
C
D
E
F
┓
┓
┓
例5、已知，如图在△ABC中，AB=AC，AD⊥BC，垂足为点D，AN是△ABC外角∠CAM的平分线，CE⊥AN垂足为点E，
①求证：四边形ADCE是矩形。
②当△ABC满足什么条件时，
四边形ADCE是正方形，
说明理由。
A
B
C
E
M
N
D
能力拔高
学习小结
三、正方形的判定方法：
谢谢！
