【数学】2.2.2《用样本的数字特征估计总体的数字特征2》课件（新人教b版必修3）

(共26张PPT)
2.2.2 用样本的数字特征估计总体的数字特征（二）
二、用样本的标准差估计总体的标准差
数据的离散程度可以用极差、方差或标准差来描述。
为了表示样本数据的单位表示的波动幅度，通常要求出样本方差或者它的算术平方根.
（1）方差：设在一组数据，x1，x2，…，xn中，各数据与它们的平均数x的差的平方分别是
来衡量这组数据的波动大小，并把它叫做这组数据的方差，一组数据方差越大，则这组数据波动越大。
那么我们用它们的平均数，即
（2）标准差：我们把数据的方差的算术平方根叫做这组数据的标准差，它也是一个用来衡量一组数据的波动大小的重要的量。
计算标准差的算法：
S2 算出每个样本数据与样本平均数的差
（i=1，2，……，n）；
S1 算出样本数据的平均数x；
S3 算出 （i=1，2，…，n）；
S4 算出 （i=1，2，…，n）这n个数的平均数，即为样本方差s2；
S5 算出方差的算术平方根，即为样本标准差s。
例1. 计算数据5，7，7，8，10，11的标准差.
解：S1 x= ——————— =8
5+7+7+8+10+11
6
数据 xi S1 x S2 xi－x S3 (xi－x)2
5 8 －3 9
7 8 －1 1
7 8 －1 1
8 8 0 0
10 8 2 4
11 8 3 9
S4 s2= ——————— =4；
9+1+1+0+4+9
6
S5 .
所以这组数据的标准差是2.
例2. 从某灯泡厂生产的一批灯泡中随机地抽取10只进行寿命测试，得数据如下（单位：h）:
1458，1395，1562，1614，1351，1490，1478，1382，1536，1496
使用函数型计算器或计算机的Excel软件求样本的平均数x和样本的标准差。
解：按键
MODE
2 (进入统计计算状态)
将计算器存储器设置成初始状态
SHIFT
Scl
=
1458 1395 1562 1614 1351 1490 1478 1382 1536 1496
DT
DT
DT
DT
DT
DT
DT
DT
DT
DT
继续按下表按键
按键 显示结果
1476.2
78.7309342
SHIFT
SHIFT
xσn
=
=
x
解2：打开Excel工作表，在一列输入数据，如将10个数据输入A1到A10单元格中.
（1）利用求和∑计算它们的和；
（2）用函数AVERAGE(A1:A10)求它们的平均数；
（3）用函数VARPA(A1:A10)求它们的方差；
（4）用开方函数Sqrt(方差)计算它们的标准差.
例3.计算数据89，93，88，91，94，90，88，87的方差和标准差。（标准差结果精确到0.1）
解：
.
所以这组数据的方差为5.5，标准差为2.3 .
例4. 从甲、乙两名学生中选拔一人乘积射击比赛，对他们的射击水平进行测试，两人在相同的条件下各射击10次，命中环数如下﹕
甲﹕7，8，6，8，6，5，8，10，7，4；
乙﹕9，5，7，8，7，6，8，6，7，7.
（1）计算甲、乙两人射击命中环数的平均数和标准差；
（2）比较两人的成绩，然后决定选择哪一人参赛.
解：（1）计算得x甲=7，x乙=7；
s甲=1.73，s乙=1.10.
（2）由（1）知，甲、乙两人平均成绩相等，但s乙（3）标准差和频率直方图的关系
从标准差的定义可知，如果样本各数据都相等，则标准差得0，这表明数据没有波动幅度，数据没有离散性；若个体的值与平均数的差的绝对值较大，则标准差也较大，表明数据的波动幅度也很大，数据的离散程度很高，因此标准差描述了数据对平均数的离散程度。
A B
样本数据 3 3 3 3 3 1 1 3 5 5
平均数 3 3
标准差 0 1.79
频率分布直方图
数据没有离散度
数据离散程度很高
再看钢管内径尺寸的例子，它的样本平均数是25.401，样本标准差是0.056，再直方图中用虚线标出平均数所在的位置，并画出距平均数两侧各一倍标准差和两倍标准差的区间。可以看到大约有70%的钢管内径尺寸落在距平均数两侧各一倍标准差的区间内，即(x－s, x+s)
大约有95%的钢管内径尺寸落在距平均数两侧各两倍标准差的区间内，即(x－2s, x+2s)。
s
s
2s
2s
x
的平均数为 ，
（2）新数据
方差为 ．
，方差仍为 ．
（1）新数据
的平均数为
，方差为 ．
的平均数为
（3）新数据
如果数据
的平均数为 ，
方差为
，则
（4）方差的运算性质：
练习：
（3）若k1,k2,…, k8的方差为3，则2(k1－3),
2(k2－3), …, 2(k8－3)的方差为________
4
32
12
A
B
（7）在一次歌手大奖赛上，七位评委为歌手打出的分数如下：9.4，8.4，9.4，9.9，9.6，9.4，9.7，去掉一个最高分和一个最低分后，所剩数据的平均值和方差分别为________
9.5，0.016
五、回顾小结：
1．用样本的数字特征估计总体的数字特征分两类：
用样本平均数估计总体平均数。
用样本方差、标准差估计总体方差、标准差。样本容量越大，估计就越精确。
2．方差、标准差描述一组数据围绕平均数波动的大小，反映了一组数据变化的幅度．
1．甲、乙两种水稻试验品种连续5年的平均单位面积产量如下（单位：t/hm2），试根据这组数据估计哪一种水稻品种的产量比较稳定。
品种 第1年 第2年 第3年 第4年 第5年
甲 9.8 9.9 10.1 10 10.2
乙 9.4 10.3 10.8 9.7 9.8
解：甲品种的样本平均数为10，样本方差为 [(9.8－10)2 +(9.9－10)2+(10.1－10)2+ (10－10)2+(10.2－10)2]÷5=0.02.
乙品种的样本平均数也为10，样本方差为 [(9.4－10)2+(10.3－10)2+(10.8－10)2+ (9.7－10)2+(9.8－10)2]÷5=0.24.
因为0.24>0.02，
所以，由这组数据可以认为甲种水稻的产量比较稳定。
2．为了保护学生的视力，教室内的日光灯在使用一段时间后必须更换。已知某校使用的100只日光灯在必须换掉前的使用天数如下，试估计这种日光灯的平均使用寿命和标准差。
天数 151~180 181~210 211~240 241~270 271~300 301~330 331~360 361~390
灯泡数 1 11 18 20 25 16 7 2
解：各组中值分别为165，195，225，285，315，345，375，由此算得平均数约为
165×1%+195×11%+225×18%+255×20%+285×25%+315×16%+345×7%+375×2%=267.9≈268(天)
这些组中值的方差为
[1×(165－268)2+11×(195－268)2+18×(225－268)2+20×(255－268)2+25×(285－268)2+16× (315－268)2+7×(345－268)2+2×(375－268)2] ÷100=2128.60(天2).
故所求的标准差约 （天）
答：估计这种日光灯的平均使用寿命约为268天,标准差约为46天.