【数学】1.2.1《平面的基本性质与推论》课件（人教b版必修2）
文档属性
| 名称 | 【数学】1.2.1《平面的基本性质与推论》课件（人教b版必修2） |  | |
| 格式 | rar | ||
| 文件大小 | 88.0KB | ||
| 资源类型 | 教案 | ||
| 版本资源 | 人教新课标B版 | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2011-07-19 17:18:32 | ||
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文档简介
(共26张PPT)
1.2.1平面的基本性质与推论
一．平面的基本性质：
1．公理1：
①文字语言：如果一条直线上的两点在一个平面内，那么这条直线上的所有点都在这个平面内 ；
②图形语言：
③符号语言：A∈l；B∈l，A∈α，B∈α
AB α.
练习：
（1）
。
（2）
。
公理1的作用有两个：（1）作为判断和证明直线是否在平面内的依据，即只需要看直线上是否有两个点在平面内就可以了；
（2）公理1可以用来检验某一个面是否为平面，检验的方法为：把一条直线在面内旋转，固定两个点在面内后，如果其他点也在面内，则该面为平面。
2．公理2：
①文字语言：经过不在同一条直线上的三点，有且只有一个平面，也可以说成不共线的三点确定一个平面。
②图形语言：
③符号语言：A、B、C三点不共线，有且只有一个平面α，使得A∈α，B∈α， C∈α.
如何理解公理2？
公理2是确定平面的条件.
深刻理解“有且只有”的含义，这里的“有”是说平面存在，“只有”是说平面惟一，“有且只有”强调平面存在并且惟一这两方面.
3. 公理3：
①文字语言：如果不重合的两个平面有一个公共点，那么它们有且只有一条过这个点的公共直线.
②图形语言：
③符号语言：
P∈l.
P∈(α∩β)
α∩β=l
如何理解公理3？
(1) 公理3反映了平面与平面的位置关系，只要“两面共一点”，就有“两面共一线，且过这一点，线惟一”.
(2) 从集合的角度看，对于不重合的两个平面，只要他们有公共点，它们就是相交的位置关系，交集是一条直线.
(3) 公理3的作用:
其一判定两个平面是否相交;
其二可以判定点在直线上. 点是某两个平面的公共点，线是这两个平面的公共交线，则这点在线上.
因此它还是证明点共线或线共点，并且作为画截面的依据.
二. 平面基本性质的推论
文字语言 ：经过一条直线和直线外的一点，有且只有一个平面.
图形语言：
符号语言：
a与A共属于平面α且平面α惟一 .
（1）推论1：
a是任意一条直线
点A a
（2）推论2：
文字语言 :经过两条相交直线，有且只有一个平面.
图形语言：
符号语言：
a，b共面于平面α，且α是惟一的 .
b是任意一条直线
a是任意一条直线
a∩b=A
（2）推论3：
文字语言 :经过两条平行直线，有且只有一个平面.
图形语言：
符号语言：
a，b共面于平面α，且α是惟一的 .
a，b是两条直线
a//b
m
图2
l
三、空间中两直线的位置关系
l
m
P
图1
从图中可见，直线 l 与 m 既不相交，也不平行。空间中直线之间的这种关系称为异面直线。
不同在任何一个平面内的两条直线叫做异面直线。（既不相交也不平行的两条直线）
1、异面直线
判断：
(1)图中直线m和l是异面直线吗
α
β
l
m
m
l
(2) ,则a与b是异面直线吗？
(3) a,b不同在平面α内,则a与b是异面吗？
异面直线的画法:
通常用一个或两个平面来衬托, 异面直线不同在任何一个平面的特点.
(1)相交
(2)平行
只有一个公共点
没有公共点
在同一平面
m
l
2、空间中两直线的三种位置关系
(3)异面直线
m
P
l
没有公共点
不同在任一平面
m
l
P
探究:
H
G
C
A
D
B
E
F
G
H
E
F(B)
(C)
D
A
一个正方体的展开图如上，则AB,CD, EF,GH这四条线段所在的直线是异面直线的有几对 相交直线有几对 平行直线有几对
直线和平面位置关系的符号表示.
（1）点A在平面α内，记作A∈α，点B不在平面α内，记作B α；
（2）直线l在平面α内，记作l α，直线m不在平面α内，记作m α；
（3）平面α与平面β相交于直线l，记作α∩β=l；
（4）直线l和m相交于点A，记作l∩m={A},简记为l∩m=A.
例1．如图，平面ABEF记作α，平面ABCD记作β，根据图形填写：
（1）A∈α，B α，E α，
C α，D α；
（2）A∈β，B β，C β，
D β，E β，F β；
（3）α∩β= ；
∈
∈
∈
∈
∈
AB
例2．如图中△ABC，若AB、BC 在平面α内，判断AC 是否在平面α内？
解：∵ AB在平面α内，∴ A点一定在平面α内，又BC在平面α内，∴ C点一定在平面α内， ( 点A、点C都在平面α内，) 直线AC 在平面α内（公理1）.
例3．（1）不共面的四点可以确定几个平面？
（2）三条直线两两平行，但不共面，它们可以确定几个平面？
（3）共点的三条直线可以确定几个平面？
4个
3个
1个或3个
例4．如图，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，E、F分别为CC1和AA1上的中点，画出平面BED1F与平面ABCD的交线.
解：在平面AA1D1D 内，延长D1F，∵ D1F与DA不平行，因此D1F与DA 必相交于一点，设为P，
P
P
又∵D1F 平面BED1F，P在平面BED1F内.
则P∈D1F，P∈DA ，
AD 平面ABCD，P∈平面ABCD，
又B为平面ABCD与平面BED1F的公共点，
∴连结PB，PB 即为平面BED1F 与平面ABCD的交线.
例5. 如图所示，已知△ABC的三个顶点都不在平面α内，它的三边AB、BC、AC延长线后分别交平面α于点P、Q、R，
求证：点P、Q、R在同一条直线上.
证明：由已知AB的延长线交平面α于点P，根据公理3，平面ABC与平面α必相交于一条直线，设为l，
∵ P∈直线AB，P∈面ABC，又直线AB∩面α=P，∴ P∈面α.
∴ P是面ABC与面α的公共点，
∵ 面ABC∩面α=l，∴P∈l，
同理，Q∈l，R∈l，
∴ 点P、Q、R在同一条直线l上.
1.2.1平面的基本性质与推论
一．平面的基本性质：
1．公理1：
①文字语言：如果一条直线上的两点在一个平面内，那么这条直线上的所有点都在这个平面内 ；
②图形语言：
③符号语言：A∈l；B∈l，A∈α，B∈α
AB α.
练习：
（1）
。
（2）
。
公理1的作用有两个：（1）作为判断和证明直线是否在平面内的依据，即只需要看直线上是否有两个点在平面内就可以了；
（2）公理1可以用来检验某一个面是否为平面，检验的方法为：把一条直线在面内旋转，固定两个点在面内后，如果其他点也在面内，则该面为平面。
2．公理2：
①文字语言：经过不在同一条直线上的三点，有且只有一个平面，也可以说成不共线的三点确定一个平面。
②图形语言：
③符号语言：A、B、C三点不共线，有且只有一个平面α，使得A∈α，B∈α， C∈α.
如何理解公理2？
公理2是确定平面的条件.
深刻理解“有且只有”的含义，这里的“有”是说平面存在，“只有”是说平面惟一，“有且只有”强调平面存在并且惟一这两方面.
3. 公理3：
①文字语言：如果不重合的两个平面有一个公共点，那么它们有且只有一条过这个点的公共直线.
②图形语言：
③符号语言：
P∈l.
P∈(α∩β)
α∩β=l
如何理解公理3？
(1) 公理3反映了平面与平面的位置关系，只要“两面共一点”，就有“两面共一线，且过这一点，线惟一”.
(2) 从集合的角度看，对于不重合的两个平面，只要他们有公共点，它们就是相交的位置关系，交集是一条直线.
(3) 公理3的作用:
其一判定两个平面是否相交;
其二可以判定点在直线上. 点是某两个平面的公共点，线是这两个平面的公共交线，则这点在线上.
因此它还是证明点共线或线共点，并且作为画截面的依据.
二. 平面基本性质的推论
文字语言 ：经过一条直线和直线外的一点，有且只有一个平面.
图形语言：
符号语言：
a与A共属于平面α且平面α惟一 .
（1）推论1：
a是任意一条直线
点A a
（2）推论2：
文字语言 :经过两条相交直线，有且只有一个平面.
图形语言：
符号语言：
a，b共面于平面α，且α是惟一的 .
b是任意一条直线
a是任意一条直线
a∩b=A
（2）推论3：
文字语言 :经过两条平行直线，有且只有一个平面.
图形语言：
符号语言：
a，b共面于平面α，且α是惟一的 .
a，b是两条直线
a//b
m
图2
l
三、空间中两直线的位置关系
l
m
P
图1
从图中可见，直线 l 与 m 既不相交，也不平行。空间中直线之间的这种关系称为异面直线。
不同在任何一个平面内的两条直线叫做异面直线。（既不相交也不平行的两条直线）
1、异面直线
判断：
(1)图中直线m和l是异面直线吗
α
β
l
m
m
l
(2) ,则a与b是异面直线吗？
(3) a,b不同在平面α内,则a与b是异面吗？
异面直线的画法:
通常用一个或两个平面来衬托, 异面直线不同在任何一个平面的特点.
(1)相交
(2)平行
只有一个公共点
没有公共点
在同一平面
m
l
2、空间中两直线的三种位置关系
(3)异面直线
m
P
l
没有公共点
不同在任一平面
m
l
P
探究:
H
G
C
A
D
B
E
F
G
H
E
F(B)
(C)
D
A
一个正方体的展开图如上，则AB,CD, EF,GH这四条线段所在的直线是异面直线的有几对 相交直线有几对 平行直线有几对
直线和平面位置关系的符号表示.
（1）点A在平面α内，记作A∈α，点B不在平面α内，记作B α；
（2）直线l在平面α内，记作l α，直线m不在平面α内，记作m α；
（3）平面α与平面β相交于直线l，记作α∩β=l；
（4）直线l和m相交于点A，记作l∩m={A},简记为l∩m=A.
例1．如图，平面ABEF记作α，平面ABCD记作β，根据图形填写：
（1）A∈α，B α，E α，
C α，D α；
（2）A∈β，B β，C β，
D β，E β，F β；
（3）α∩β= ；
∈
∈
∈
∈
∈
AB
例2．如图中△ABC，若AB、BC 在平面α内，判断AC 是否在平面α内？
解：∵ AB在平面α内，∴ A点一定在平面α内，又BC在平面α内，∴ C点一定在平面α内， ( 点A、点C都在平面α内，) 直线AC 在平面α内（公理1）.
例3．（1）不共面的四点可以确定几个平面？
（2）三条直线两两平行，但不共面，它们可以确定几个平面？
（3）共点的三条直线可以确定几个平面？
4个
3个
1个或3个
例4．如图，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，E、F分别为CC1和AA1上的中点，画出平面BED1F与平面ABCD的交线.
解：在平面AA1D1D 内，延长D1F，∵ D1F与DA不平行，因此D1F与DA 必相交于一点，设为P，
P
P
又∵D1F 平面BED1F，P在平面BED1F内.
则P∈D1F，P∈DA ，
AD 平面ABCD，P∈平面ABCD，
又B为平面ABCD与平面BED1F的公共点，
∴连结PB，PB 即为平面BED1F 与平面ABCD的交线.
例5. 如图所示，已知△ABC的三个顶点都不在平面α内，它的三边AB、BC、AC延长线后分别交平面α于点P、Q、R，
求证：点P、Q、R在同一条直线上.
证明：由已知AB的延长线交平面α于点P，根据公理3，平面ABC与平面α必相交于一条直线，设为l，
∵ P∈直线AB，P∈面ABC，又直线AB∩面α=P，∴ P∈面α.
∴ P是面ABC与面α的公共点，
∵ 面ABC∩面α=l，∴P∈l，
同理，Q∈l，R∈l，
∴ 点P、Q、R在同一条直线l上.