【数学】1.2.2《空间中的平行关系（3）》课件（人教b版必修2）

(共20张PPT)
1.2.2空间中的平行关系（3）
三. 平面与平面平行
1. 平行平面：如果两个平面没有公共点，那么这两个平面叫做平行平面. 记作α//β.
两个平面的位置关系
两平面平行
两平面相交
2. 平行平面的画法：在画两个平面平行时，通常把表示这两个平面的平行四边形的相邻两边分别画成平行线.
一般画法
错误画法
3． 平面与平面平行的判定定理
（1）判定定理：
①文字语言：如果一个平面内有两条相交直线都平行于另一个平面，那么这两个平面平行.
②图形语言：
A
③符号语言：a α，b α，a∩b=A且a//β，b//β α//β.
③符号语言：
已知：a, b α, a∩b=A, a, b∥β.
求证： α∥β.
证明：假设α∩β＝c.
∵a∥β, a α, ∴a∥c.同理b∥c.
于是在平面内过点A有两条直线与c平行，这与平行公理矛盾，
假设不成立. ∴ α∥β.
（2）推论：如果一个平面内有两条相交直线分别平行于另一个平面内的两条直线，则这两个平面平行.
a α，c α，a∩c=A，b β，
d β，a //b，c //d， α//β.
4 平面与平面平行的性质定理:
（1）如果两个平面平行，那么其中一个平面内的任意直线均平行于另一个平面.
若α//β，a α，则a//β.
（2）如果两个平行平面同时和第三个平面相交，那么它们的交线平行.
α//β，α∩γ=a，β∩γ=b，则a//b.
与 没有公共点
与 也没有公共点
证明:
（3）两条直线被三个平行平面所截，截得的对应线段成比例.
已知：平面α//平面β//平面γ，两条直线l，m分别与平面α、平面β、平面γ相交于点A、B、C和点D、E、F，
求证：
证明：连接DC，设DC与平面β相交于点G，则平面ACD与平面α，β分别相交于直线AD，BG，
平面DCF与平面β，γ分别相交于直线GE，CF，
于是得
因为 α//β，β//γ，所以BG//AD，GE//CF，
所以
例1. 已知三棱锥P－ABC中，D，E，F，分别是PA，PB，PC的中点，
求证：平面DEF//平面ABC。
证明：在△PAB中，因为D，E分别是PA，PB的中点，
所以DE//AB，
因此DE//平面ABC，
又知DE 平面ABC，
同理EF//平面ABC，
又因为DE∩EF=E，
所以 平面DEF//平面ABC。
例2. 判断下列命题是否正确，并说明理由．
（1）若平面α内的两条直线分别与平面β平行，则α与β平行；
（2）若平面α内有无数条直线分别与平面β平行，则α与β平行；
（3）平行于同一直线的两个平面平行；
×
×
×
（4）两个平面分别经过两条平行直线，这两个平面平行；
（5）过已知平面外一条直线，必能作出与已知平面平行的平面．
×
×
例3. 如图，在长方体 中，
求证：平面 平面 .
A
B
D
C
D'
C'
B'
A'
证明：
是平行四边形
平面
平面
又
平面
平面
同理：
平面
平面
例4.已知a∥β , AB和DC为夹在α、β间的平行线段。
求证： AB＝DC.
证明： 连接AD、BC
∵AB//DC
∴ AB和DC确定平面AC
又因直线AD、BC分别是平面AC与平面α、β的交线，
∴AD//BC，四边形ABCD是平行四边形.
∴AB＝DC
1.六棱柱的表面中,互相平行的面最多有_________对.
2.如图,设E,F,E1,F1分别是长方体ABCD－A1B1C1D1的棱AB, CD, A1B1, C1D1的中点.
求证:平面ED1∥平面BF1
A
B
C
D
A1
B1
C1
D1
E
E1
F
F1
分析:在其中一个平面内找两条相交直线平行另一个平面即可.
4
3. 已知a、b为异面直线，求证过a、b分别存在平面α和β，且α//β.
提示：在a上取一点A，过A作直线b’//b，同样在b上取一点B，作直线a’//a，
则a和b’确定平面α，b和a’确定平面β，且α//β.