【数学】2.1.2《平面直角坐标系中的基本公式》课件（新人教b版必修2）

(共29张PPT)
2.1.2平面直角坐标系中的
基本公式
一. 两点间的距离公式
当AB不平行于坐标轴，也不在坐标轴上时，从点A和点B分别向x轴，y轴作垂线AA1，AA2，BB1，BB2，
垂足分别为A1(x1，0)，A2(y1，
0)，B1(0，x2)，B2(0，y2)，
其中直线BB1和AA2相交于点C。
C
在直角△ACB中，|AC|=|A1B1|=|x2－x1|，|BC|=|A2B2|=|y2－y1|，
C
由勾股定理得
|AB|2=|AC|2+|BC|2=|x2－x1|2+|y2－y1|2，
由此得到计算两点间距离的公式：
d(A，B)=|AB|
当AB平行于x轴时，d(A，B)=|x2－x1|；
当AB平行于y轴时，d(A，B)=|y2－y1|；
当B为原点时，d(A，B)=
求两点距离的步骤
已知两点的坐标，为了运用两点距离公式正确地计算两点之间的距离，我们可分步骤计算：
（1）给两点的坐标赋值：(x1，y1)，(x2，y2).
（2）计算两个坐标的差，并赋值给另外两个变量，即△x=x2－x1，△y=y2－y1.
（3）计算 d=
（4）给出两点的距离 d.
通过以上步骤，对任意的两点，只要给出两点的坐标，就可一步步地求值，最后算出两点的距离.
例1. 已知A(2，－4)，B(－2，3)，求d(A，B)。
解：x1=2，x2=－2，y1=－4，y2=3，
△x=x2－x1=－4，△y=y2－y1=7，
∴ d(A，B)=
例2．已知点A(1，2)，B(3，4)，C(5，0),求证：△ABC是等腰三角形。
证明：因为 d(A，B)=
d(A，C)=
d(B，C)=
因为|AC|=|BC|，且A，B，C不共线，
所以△ABC是等腰三角形。
二. 坐标法
坐标法：就是通过建立坐标系（直线坐标系或者是直角坐标系），将几何问题转化为代数问题，再通过一步步地计算来解决问题的方法.
用坐标法证题的步骤
用坐标法证题的步骤
（1）根据题设条件，在适当位置建立坐标系（直线坐标系或者是直角坐标系）；
（2）设出未知坐标；
（3）根据题设条件推导出所需未知点的坐标，进而推导结论.
例3．已知□ABCD，求证：AC2+BD2=2(AB2+AD2).
证明：取A为坐标原点，AB所在的直线为x轴，建立平面直角坐标系xOy，
依据平行四边形的性质可设点A，B，C，D的坐标为A(0，0)，B(a，0)，C(b，c)，D(b－a，c)，
所以 AB2=a2，AD2=(b－a)2+c2，AC2=b2+c2，BD2=(b－2a)2+c2，
AC2+BD2=4a2+2b2+2c2－4ab
=2(2a2+b2+c2－2ab)，
AB2+AD2=2a2+b2+c2－2ab，
所以 ：AC2+BD2=2(AB2+AD2).
三. 中点坐标公式
已知A(x1，y1), B(x2，y2)两点，M(x，y)是线段AB的中点，则有
（1）两点间线段的中点坐标是常遇到的问题，中点法也是数形结合中常考察的知识点，这一思想常借助于图象的线段中点特征加以研究，确定解题策略。
（2）若已知点P(x，y)，则点P关于点M(x0，y0)对称的点坐标为P’(2x0－x，2y0－y).
（3）利用中点坐标可以求得△ABC（A(x1，y1)，B(x2，y2)，C(x3，y3)）的重心坐标为
例4．已知□ABCD的三个顶点A(－3，0)，B(2，－2)，C(5，2)，求顶点D的坐标。
解：因为平行四边形的两条对角线的中点相同，所以它们的坐标也相同。
设D点的坐标为(x，y)，
则
解得
所以点D的坐标是(0，4).
例5． 已知点A(－1，3)，B(3，1)，点C在坐标轴上，∠ACB=90°，则满足条件的点C的个数是（ ）
（A）1 （B）2 （C）3 （D）4
解：若点C在x轴上，设C(x，0)，由∠ACB=90°，得|AB|2=|AC|2+|BC|2，
∴ (－1－3)2+(3－1)2=(x+1)2+32+(x－3)2+12，
解得x=0或x=2,
若点C在y轴上，设C(0，y)，由∠ACB=90°得|AB|2=|AC|2+|BC|2，
可得y=0 或y=4，
而其中原点O(0，0)计算了两次，
故选C.
例6．△ABD和△BCE是在直线AC同侧的两个等边三角形，用坐标法证明：|AE|=|CE|.
证明：如图，以B点为坐标原点，取AC所在的直线为x轴建立直角坐标系.
设△ABD和△BCE的边长分别为a和c，
则A(－a，0)，C(c，0)
D ，E ，
于是|AE|=
|CD|=
所以|AE|=|CD|.
例7.求函数y= 的最小值.
解：函数的解析式可化为
令A(0，1)，B(2，2)，P(x，0)，
则问题转化为在x轴上求一点P(x，0)，使得|PA|+|PB|取最小值.
A(0，1)关于x轴的对称点为A’(0，－1)，
∵
即函数y=
的最小值为
练习题：
1． 如果一条线段的长是5个单位，它的一个端点是A(2，1)，另一个端点B的横坐标是－1，则端点B的纵坐标是（ ）
（A）－3 （B）5
（C）－3或5 （D）－1或3
C
2．设A(1，2)，在x轴上求一点B，使得|AB|=5，则B点的坐标是（ ）
（A）(2，0)或(0，0)
（B）( ，0)
（C）( ，0)
（D）( ，0)或( ，0)
D
3．若x轴上的点M到原点及点(5，－3)的距离相等，则M点的坐标是（ ）
（A）(－2，0) （B）(1，0)
（C）(1.5，0) （D）(3.4，0)
D
4．若点M在y轴上，且和点(－4，－1)， (2，3)等距离，则M点的坐标是 .
5．若点P(x，y)到两点M(2，3)和N(4，5)的距离相等，则x+y的值等于 .
7
6．已知点A(x，5)关于点C(1，y)的对称点是B(－2，－3)，则点P(x，y)到原点的距离是 。
7．已知△ABC的两个顶点A(3，7)，B(－2，5)，若AC，BC的中点都在坐标轴上，则C点的坐标是 。
(2，－7)或(－3，－5)
8． 已知A(1，2)，B(－3，b)两点间的距离等于4 ，则b= 。
6或－2