【数学】2.3《直线与圆的位置关系 》课件（新人教b版必修2）

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2.3 直线与圆的位置关系
一．直线与圆的位置关系
直线与圆的位置关系有三种：如图所示.
（1）直线与圆相交：有两个公共点；
（2）直线与圆相切：有一个公共点；
（3）直线与圆相离：没有公共点.
二．直线与圆的位置关系的判定
如果直线l和圆C的方程分别为：Ax+By+C=0，x2+y2+Dx+Ey+F=0. 则直线与圆的位置关系的判定有两种方法：
（1）代数法判断直线与圆的位置关系：
如果直线l和圆C有公共点，由于公共点同时在直线l和圆C上，所以公共点的坐标一定是这两个方程的公共解；
反之如果这两个方程有公共解，那么，以公共解为坐标的点必是直线 l 和圆C的公共点. 由l 和C的方程联立方程组
可以用消元法将方程组转化为一个关于x（或y）的一元二次方程，若方程有两个不相等的实数根（△>0），则直线与圆相交；
若方程有两个相等的实数根（△=0），则直线与圆相切；
若方程无实数根（△<0），则直线与圆相离.
（2）几何法判断直线与圆的位置关系：
如果直线l和圆C的方程分别为：Ax+By+C=0，(x－a)2+(y－b)2=r2.
可以用圆心C(a，b)到直线的距离
d=
与圆C的半径r的
大小关系来判断直线与圆的位置关系。
若d若d=r 时，直线l和圆C相切；
若d>r时，直线l和圆C相离.
例1．已知圆的方程是x2+y2=2，直线方程是y=x+b，当b为何值时，圆与直线有两个公共点？只有一个公共点？没有公共点？
解法1：所求曲线公共点问题可以转化为b为何值时，方程组
有两组不同的实数解？有两组相同的实数解？无实数解的问题。
②代入①，整理得2x2+2bx+b2－2=0， ③
方程③的判别式
△=(2b)2－4×2(b－2)=－4(b+2)(b－2)，
当－20，方程组有两组不同的实数解，因此直线与圆有两个公共点；
当b=2或b=－2时，△=0，方程组有两组相同的实数解，因此直线与圆只有一个公共点；
当b<－2或b>2时，△<0，方程组没有实数解，因此直线与圆没有公共点；
解法2：圆与直线有两个公共点、只有一个公共点、没有公共点的问题，可以转化为b为何值时，圆心到直线的距离小于半径、等于半径、大于半径的问题。
圆的半径r= ，圆心(0，0)到直线y=x+b的距离为 ，
当d圆与直线相交，有两个公共点；
当d=r时，即b=2或b=－2时，
圆与直线相切，直线与圆有一个公共点；
当d>r时，即b<－2或b>2时，
圆与直线相离，直线与圆没有公共点。
例2．已知圆的方程是x2+y2=r2，求过圆上一点M(x0，y0)的切线方程。
解：如果x0≠0且y0≠0，则直线OM的方程为y= ，从而过M点的圆的切线的斜率为 ，
因此所求的圆的切线方程为
化简得x0x+y0y=x02+y02.
因为点(x0，y0)在圆上，所以x02+y02=r2.
所以过圆x2+y2=r2上一点(x0，y0)的圆的切线方程为x0x+y0y=r2.
如果x0=0，或y0=0，我们容易验证，过点M(x0，y0)的切线方程也可以表示为x0x+y0y=r2的形式。
因此，所求的切线方程为x0x+y0y=r2.
三. 圆的切线的求法：
直线与圆相切，切线的求法：
（1）当点(x0，y0)在圆x2+y2=r2上时，切线方程为x0x+y0y=r2；
（2）若点(x0，y0)在圆(x－a)2+(y－b)2=r2上时，切线方程为
(x0－a)(x－a)+(y0－b)(y－b)=r2；
（3）斜率为k且与圆x2+y2=r2相切的切线方程为 ；
斜率为k且与圆(x－a)2+(y－b)2=r2相切的切线方程的求法：
先设切线方程为y=kx+m，然后变成一般式kx－y+m=0，利用圆心到切线的距离等于半径来列出方程求m；
（4）点(x0，y0)在圆外面，则切线方程为y－y0=k(x－x0)，再变成一般式，因为与圆相切，利用圆心到直线距离等于半径，解出k.
注意若此方程只有一个实根，则还有一条斜率不存在的直线，务必要补上
四．直线与圆相交的弦长公式
平面几何法求弦长公式：
如图所示，直线l与圆相交于两点A、B，线段AB的长即为直线l与圆相交的弦长.
设弦心距为d，圆的半径为r，
弦长为AB，则有
即AB=
例3．直线l经过点P(5，5)，且和圆C：x2+ y2=25相交，截得弦长为4 ，求l的方程.
解：设|OH|是圆心到直线l的距离，|OA|是圆的半径，|AH|是弦长|AB|的一半，
在Rt△AHO中，|OA|=5，
|AH|= |AB|=2 ，
所以 |OH|=
即
解得k= ，或k=2，
所以直线l的方程为x－2y+5=0，
或2x－y－5=0.
|OH|=
练习题：
1．直线x+y=m与圆x2+y2=m (m>0)相切，则m=（ ）
（A） （B）
（C） （D）2
D
2．曲线 与直线y=k(x－2)+4有两个交点，则实数k的取值范围是（ ）
（A） （B）
（C） （D）
D
3．圆心为(1，－2)、半径为2 的圆在x轴上截得的弦长为（ ）
（A）8 （B）6
（C）6 （D）4
A
4．直线x+y=1被圆x2+y2－2x－2y－7=0所截得线段的中点是（ ）
（A） （B）(0，0)
（C） （D）
A
5．以点P(－4，3)为圆心的圆与直线2x+y－5=0相离，则圆P的半径r的取值范围是（ ）
（A）(0，2) （B）(0， )
（C）(0，2 ) （D）(0，10)
C
6．已知曲线5x2－y2+5=0与直线2x－y+m =0无交点，则m的取值范围是 .
－17．由点P(1，－2)向圆x2+y2+2x－2y－2=0引的切线方程是 .
5x+12y+19=0和x=1
8．已知圆C：(x－1)2+(y－2)2=25，直线l：(2m+1)x+(m+1)y－7m－4=0，证明不论m为何值，C与 l 恒有两个交点.