青岛版数学九年级上册2.4解直角三角形课件（共25张PPT）

(共25张PPT)
2.4解直角三角形
1.了解解直角三角形的含义.
2.经历解直角三角形的过程，掌握解直角三角形的方法.
学习目标
(2)两锐角之间的关系
∠A＋∠B＝90°
(3)边角之间的关系
(1)三边之间的关系
A
B
a
b
c
C
在直角三角形中，我们把两个锐角、三条边称为直角三角形的五个元素.
图中∠A，∠B，a，b，c即为直角三角形的五个元素.
锐角三角比
课时导入
A
B
a
b
c
C
什么是解直角三角形
解直角三角形：
由直角三角形中已知元素求出未知元素的过程，叫作解直角三角形．
一个直角三角形中，若已知五个元素中的两个元素(其中必须有一个元素是边)，则这样的直角三角形可解.
感悟新知
知道五个元素中的几个，就可以求其余元素？
探究
必须已知除直角外的两个元素（至少有一个是边）.
已知两边：a.两直角边；b.一直角边和斜边.
已知一边和一锐角：a.一直角边和一锐角；b.斜边和一锐角.
在Rt△ABC中，如果已知其中两边的长，你能求出
这个三角形的其他元
素吗？
类型1
已知两边解直角三角形
应用勾股定理求斜边，
应用角的正切值求出
一锐角，再利用直角
三角形的两锐角互余，求出另一锐角．一般不用正弦或余弦值求锐角，因为斜边是一个中间量，如果是近似值，会影响结果的精确度．
已知斜边和直角边：先利用勾股定理求出另一直角边，再求一锐角的正弦和余弦值，即可求出一锐角，再利用直角三角形的两锐角互余，求出另一锐角．
已知两直角边：
已知斜边和直角边：
例1
如图，在
Rt△ABC
中，∠C=90°，AC=
，BC=　
，解这个直角三角形．
提问
需求的未知元素：
斜边AB、锐角A、锐角B.
方法一：
方法二：
由勾股定理可得AB=
.
例2
已知在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠A，∠B，∠C
的对边分别为a，b，c，且c＝5，b＝4，求这个三角
形的其他元素．(角度精确到1′)
求这个直角三角形的其他元素，与“解这个直角三角
形”的含义相同．求角时，可以先求∠A，也可以先
求∠B，因为
＝sin
B＝cos
A.
导引：
由c＝5，b＝4，得sin
B＝
＝0.8，
∴∠B≈53°8′.
∴∠A＝90°－∠B≈36°52′.
由勾股定理得
解：
已知直角三角形的一边和一锐角，解直角三角
形时，若已知一直角边a和一锐角A：
①
∠B=90
°-
∠
A；②c=
若已知斜边c和一个锐角A：
①
∠
B=90°-
∠
A；
②a=c·sin
A
;
③b=c·cos
A.
类型2
已知一边及一锐角解直角三角形
例4
如图，在
Rt△ABC中，∠C=90°，∠B=
35°，b=20，解这个直角三角形（结果保留小数点后一位）．
提问
需求的未知元素：
直角边a、斜边c、锐角A.
还有别的
解法吗？
总
结
在直角三角形的6个元素中，直角是已知元素，如果
再知道一条边和第三
个元素，那么这个三角形的所有元
素就都可以确定下来.
例5
在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠A，∠B，∠C的对边分
别为a，b，c，且c＝100，∠A＝26°44′.求这个三角形
的其他元素．(长度精确到0.01)
已知∠A，可根据∠B＝90°－∠A得到∠B的大小．而
已知斜边，必然要用到正弦或余弦函数．
∵∠A＝26°44′，∠C＝90°，
∴∠B＝90°－26°44′＝63°16′.
由sin
A＝
得a＝c·sin
A＝100·sin
26°44′≈44.98.
由cos
A＝
得b＝c·cos
A＝100·cos
26°44′≈89.31.
解：
导引：
例6
如图，在△ABC中，AB＝1，AC＝
sin
B＝
求BC的长．
要求的BC边不在直角
三角形中，已知条件中
有∠B的正弦值，作BC边上的高，
将∠B置于直角三角形
中，利用解直角三角形就可
解决问题．
导引：
类型3
已知一边及一锐角的三角比值解直角三角形
如图，过点A作AD⊥BC于点D.
∵AB＝1，sin
B＝
∴AD＝AB·sin
B＝1×
＝
∴BD＝
CD＝
∴BC＝
解：
总
结
通过作垂线(高)，将斜三角形分割成两个直角三角
形，然后利用解直角三角形来解决边或角的问题，这种
“化斜为直”的思想很常见．在作垂线时，要结合已知
条件，充分利用已知条件，如本题若过B点作AC的垂线，
则∠B的正弦值就无法利用．
1.已知在Rt△ABC中，∠C=90°.
（1）若a=
,b=
,则c=
；
（2）若a=10，c=
，则∠B=
；
（3）若b=35，∠A=45°，则a=
；
（4）若c=20，∠A=60°，则a=
.
45°
35
随堂练习
2.如图，在Rt△ABC中，∠BAC=90°，点D在BC边上，且△ABD是等边三角形．若AB=2，求△ABC的周长.（结果保留根号）
解：∵△ABD是等边三角形，∴∠B=60°.
在Rt△ABC中，AB=2，∠B=60°,
△ABC的周长为2+
+4=6+
3.在Rt△ABC中，∠C=90°，tanA=
，△ABC
的周长为45cm，CD是斜边AB上的高，求CD的长.（精确到0.1
cm）
5x
12x
13x
解：
5x
12x
13x
解直角三角形
由直角三角形中已知的元素求出未知元素的过程，叫作解直角三角形.
两边：两直角边或斜边、一直角边
一边一角：直角边、一锐角或斜边、一锐角