人教B版（2019）高中数学选择性必修第二册 4.2.1　随机变量及其与事件的联系　4.2.2　离散型随机变量的分布列word含答案

4.2　随机变量
4.2.1　随机变量及其与事件的联系　4.2.2　离散型随机变量的分布列
课后篇巩固提升
基础达标练
1.(多选)①某电话亭内的一部电话1小时内使用的次数记为X;
②某人射击2次,击中目标的环数之和记为X;
③测量一批电阻,阻值在950 Ω~1 200 Ω之间;
④一个在数轴上随机运动的质点,它在数轴上的位置记为X.
其中是离散型随机变量的是(　　)
　　 　　　　　　　　　　　　　　
A.① B.②
C.③ D.④
解析①②中变量X所有可能取值是可以一一列举出来的,是离散型随机变量,而③④中的结果不能一一列出,故不是离散型随机变量.故选AB.
答案AB
2.(2019天津高二期中)同时抛掷3个硬币,正面向上的个数是随机变量,这个随机变量的所有可能取值为(　　)
A.3 B.4
C.1,2,3 D.0,1,2,3
解析同时抛掷3个硬币,正面向上的个数可能取值为0,1,2,3.故选D.
答案D
3.设随机变量ξ等可能取值1,2,3,…,n,如果P(ξ<4)=0.3,那么(　　)
A.n=3 B.n=4
C.n=10 D.n=9
解析由ξ<4知ξ=1,2,3,所以P(ξ=1)+P(ξ=2)+P(ξ=3)=0.3=3n,解得n=10.故选C.
答案C
4.(2020山东潍坊检测)随机变量X的概率分布规律为P(X=n)=an(n+1)(n=1,2,3,4),其中a为常数,则P12 A.23 B.34 C.45 D.56
解析根据题意,由于P(X=n)=an(n+1),那么可知,n=1,2,3,4时,则可得概率和为1,即a2+a6+a12+a20=1,解得a=54.∴P12 答案D
5.一用户在打电话时忘了号码的最后四位数字,只记得最后四位数字两两不同,且都大于5,于是他随机拨最后四位数字(两两不同),设他拨到所要号码时总共拨的次数为ξ,则随机变量ξ的所有可能取值的种数为　　　　　.?
解析由于后四位数字两两不同,且都大于5,因此只能是6,7,8,9四位数字的不同排列,故有A44=24种.
答案24
6.一批产品分为四级,其中一级产品是二级产品的两倍,三级产品是二级产品的一半,四级产品与三级产品相等,从这批产品中随机抽取一个检验质量,设其级别为随机变量ξ,则P(ξ>1)=　　　　　.?
解析依题意,P(ξ=1)=2P(ξ=2),P(ξ=3)=12P(ξ=2),P(ξ=3)=P(ξ=4),
由分布列性质得P(ξ=1)+P(ξ=2)+P(ξ=3)+P(ξ=4)=1,
则4P(ξ=2)=1,即P(ξ=2)=14,P(ξ=3)=P(ξ=4)=18.
所以P(ξ>1)=P(ξ=2)+P(ξ=3)+P(ξ=4)=12.
答案12
能力提升练
1.(2020天津月考)袋中有3个白球、5个黑球,从中任取2个,可以作为离散型随机变量的是(　　)
A.至少取到1个白球 B.至多取到1个白球
C.取到白球的个数 D.取到的球的个数
解析根据离散型随机变量的定义可得选项C是离散型随机变量,其可以一一列出,其中随机变量X的取值为0,1,2,故选C.
答案C
2.(多选)下列问题中的随机变量服从两点分布的是(　　)
A.抛掷一枚骰子,所得点数为随机变量X
B.某射手射击一次,击中目标的次数为随机变量X
C.从装有5个红球,3个白球的袋中取1个球,令随机变量X=1,取出白球,0,取出红球
D.某医生做一次手术,手术成功的次数为随机变量X
解析A中随机变量X的取值有6个,不服从两点分布,故选BCD.
答案BCD
3.设随机变量X的概率分布如下表所示,则P(|X-3|=1)=(　　)
X
1
2
3
4
P
13
m
14
16


A.712 B.16 C.14 D.512
解析m=1-13-14-16=14,P(|X-3|=1)=P(2)+P(4)=14+16=512.故选D.
答案D
4.(2019青海高二月考)离散型随机变量X的分布列中的部分数据丢失,丢失数据以x,y(x,y∈N)代替,分布列如下:
X=i
1
2
3
4
5
6
P(X=i)
0.20
0.10
0.x5
0.10
0.1y
0.20


则P32 A.0.25 B.0.35 C.0.45 D.0.55
解析根据分布列的性质知,随机变量的所有取值的概率和为1,因此0.1x+0.05+0.1+0.01y=0.4,
即10x+y=25,由x,y是0~9间的自然数可解得x=2,y=5,故P32 答案B
5.若P(ξ≤n)=1-a,P(ξ≥m)=1-b,其中m 解析P(m≤ξ≤n)=1-P(ξ>n)-P(ξ 答案1-(a+b)
6.(2020浙江高三专题练习)设随机变量X的分布列为P(X=i)=k2i(i=1,2,3),则P(X≥2)=　　　　　.?
解析因为随机变量X的分布列P(X=i)=k2i(i=1,2,3),所以P(X=1)+P(X=2)+P(X=3)=k2+k22+k23=78k=1,解得k=87,
因此P(X≥2)=P(X=2)+P(X=3)=38k=37.
答案37
7.袋中装有黑球和白球共7个,从中任取2个球都是白球的概率为17,现有甲、乙两人从袋中轮流摸取1球,甲先取,乙后取,然后甲再取……取后不放回,直到两人中有一人取到白球时终止,每个球在每一次被取出的机会是等可能的,用ξ表示取球终止所需要的取球次数.
(1)求袋中所有的白球的个数;
(2)求随机变量ξ的分布列;
(3)求甲取到白球的概率.
解(1)设袋中原有n个白球,由题意知17=Cn2C72=n(n-1)27×62=n(n-1)7×6,即n2-n-6=0.
解得n=3或n=-2(舍去),即袋中原有3个白球.
(2)由题意,ξ的可能取值为1,2,3,4,5.
P(ξ=1)=37,P(ξ=2)=4×37×6=27,P(ξ=3)=4×3×37×6×5=635,P(ξ=4)=4×3×2×37×6×5×4=335,P(ξ=5)=4×3×2×1×37×6×5×4×3=135.所以ξ的分布列为
ξ
1
2
3
4
5
P
37
27
635
335
135


(3)因为甲先取,所以甲只有可能在第一次、第三次和第五次取到白球,记“甲取到白球”为事件A,则P(A)=P(ξ=1)+P(ξ=3)+P(ξ=5)=2235.
素养培优练
1.(2020北京月考)抛掷两枚骰子一次,ξ为第一枚骰子掷出的点数与第二枚骰子掷出的点数之差,则ξ的所有可能的取值为(　　)
A.0≤ξ≤5,ξ∈N B.-5≤ξ≤0,ξ∈Z
C.1≤ξ≤6,ξ∈N D.-5≤ξ≤5,ξ∈Z
解析第一枚的最小值为1,第二枚的最大值为6,差为-5.第一枚的最大值为6,第二枚的最小值为1,差为5.故ξ的取值范围是-5≤ξ≤5,故选D.
答案D
2.已知随机变量ξ的分布列为
ξ
-2
-1
0
1
2
3
P
112
14
13
112
16
112


分别求出随机变量η1=12ξ,η2=ξ2的分布列.
解由η1=12ξ知,对于ξ取不同的值-2,-1,0,1,2,3时,η1的值分别为-1,-12,0,12,1,32.
所以η1的分布列为
η1
-1
-12
0
12
1
32
P
112
14
13
112
16
112


由η2=ξ2知,对于ξ的不同取值-2,2与-1,1,η2分别取相同的值4与1,则P(η2=4)=P(ξ=-2)+P(ξ=2)=14,P(η2=1)=P(ξ=-1)+P(ξ=1)=13.
所以η2的分布列为
η2
0
1
4
9
P
13
13
14
112