人教B版（2019）高中数学选择性必修第二册 4.2.4　第二课时　离散型随机变量的方差word含答案

第二课时　离散型随机变量的方差
课后篇巩固提升
基础达标练
1.某人从家乘车到单位,途中有3个路口.假设在各路口遇到红灯的事件是相互独立的,且概率都是0.4,则此人上班途中遇到红灯的次数的方差为(　　)
　　　　　　　　　　　　　　　　
A.0.48 B.1.2
C.0.72 D.0.6
解析因为途中遇红灯的次数X服从二项分布,即X~B(3,0.4),
所以D(X)=3×0.4×0.6=0.72.
答案C

2.已知随机变量X的分布列为
X
1
3
5
P
0.4
0.1
0.5

则X的标准差D(X)等于(　　)
A.3.56 B.3.2
C.3.2 D.3.56
解析数学期望E(X)=1×0.4+3×0.1+5×0.5=3.2,
由方差的定义,D(X)=(1-3.2)2×0.4+(3-3.2)2×0.1+(5-3.2)2×0.5=1.936+0.004+1.62=3.56.
所以标准差D(X)=3.56.
答案D
3.若X~B(n,p),且E(X)=6,D(X)=3,则P(X=1)的值为(　　)
A.3×2-2 B.2-4
C.3×2-10 D.2-8
解析因为X~B(n,p),
所以E(X)=np,D(X)=np(1-p).
所以np=6,np(1-p)=3,解得n=12,p=12.
所以P(X=1)=C121×1211-1211=3×2-10.
答案C
4.从装有除颜色外完全相同的3个白球和m个黑球的布袋中随机摸取一球,有放回地摸取5次.设摸得白球的个数为X,已知E(X)=3,则D(X)等于(　　)
A.85 B.65
C.45 D.25
解析由题意知X~B5,3m+3,
则E(X)=5×3m+3=3,解得m=2.
所以D(X)=5×35×1-35=65.
答案B
5.(2019浙江高考)设0 X
0
a
1
P
13
13
13

则当a在(0,1)内增大时,(　　)
A.D(X)增大 B.D(X)减小
C.D(X)先增大后减小 D.D(X)先减小后增大
解析由分布列得E(X)=1+a3,则D(X)=1+a3-02×13+1+a3-a2×13+1+a3-12×13=29a-122+16,所以当a在(0,1)内增大时,D(X)先减小后增大.
答案D
6.已知随机变量X~B(n,p),若E(X)=4,Y=2X+3,D(Y)=3.2,则P(X=2)=　　　.(结果用数字表示)?
解析∵D(Y)=4D(X)=3.2,∴D(X)=0.8.
又X~B(n,p),
∴np=4,np(1-p)=0.8,
解得p=0.8,n=5.
故P(X=2)=C52p2(1-p)3=32625.
答案32625
7.若随机事件A在1次试验中发生的概率为p(0 解析随机变量X的所有可能取值为0,1,由题意,得X的分布列为
X
0
1
P
1-p
p
,从而E(X)=0×(1-p)+1×p=p,D(X)=(0-p)2×(1-p)+(1-p)2×p=p-p2.
D(X)=p-p2=-p2-p+14+14=-p-122+14.因为0 2D(X)-1E(X)=2p-2p2-1p=2-2p+1p≤2-22,当且仅当2p=1p,即p=22时,等号成立.
故2D(X)-1E(X)的最大值为2-22.
答案14　2-22
8.某花店每天以每枝5元的价格购进若干枝玫瑰花,然后以每枝10元的价格出售.如果当天卖不完,剩下的玫瑰花作垃圾处理.
(1)若花店一天购进16枝玫瑰花,求当天的利润y(单位:元)关于当天需求量n(单位:枝,n∈N)的函数解析式;
(2)花店记录了100天玫瑰花的日需求量(单位:枝),整理得下表:
日需求量n
14
15
16
17
18
19
20
频数
10
20
16
16
15
13
10

以100天记录的各需求量的频率作为各需求量发生的概率.
①若花店一天购进16枝玫瑰花,X表示当天的利润(单位:元),求X的分布列、数学期望及方差;
②若花店计划一天购进16枝或17枝玫瑰花,你认为应购进16枝还是17枝?请说明理由.
解(1)当日需求量n≥16时,利润y=80.
当日需求量n<16时,利润y=10n-80.
所以y关于n的函数解析式为y=10n-80,n<16,80,n≥16 (n∈N).
(2)①X可能的取值为60,70,80,并且P(X=60)=0.1,P(X=70)=0.2,P(X=80)=0.7.
X的分布列为
X
60
70
80
P
0.1
0.2
0.7

X的数学期望为
E(X)=60×0.1+70×0.2+80×0.7=76.
X的方差为D(X)=(60-76)2×0.1+(70-76)2×0.2+(80-76)2×0.7=44.
②答案一:
花店一天应购进16枝玫瑰花.理由如下:
若花店一天购进17枝玫瑰花,Y表示当天的利润(单位:元),那么Y的分布列为
Y
55
65
75
85
P
0.1
0.2
0.16
0.54

Y的数学期望为E(Y)=55×0.1+65×0.2+75×0.16+85×0.54=76.4.
Y的方差为D(Y)=(55-76.4)2×0.1+(65-76.4)2×0.2+(75-76.4)2×0.16+(85-76.4)2×0.54=112.04.
由以上的计算结果可以看出,D(X) 另外,虽然E(X) 故花店一天应购进16枝玫瑰花.
答案二:
花店一天应购进17枝玫瑰花.理由如下:
若花店一天购进17枝玫瑰花,Y表示当天的利润(单位:元),那么Y的分布列为
Y
55
65
75
85
P
0.1
0.2
0.16
0.54

Y的数学期望为E(Y)=55×0.1+65×0.2+75×0.16+85×0.54=76.4.
由以上的计算结果可以看出,E(X) 能力提升练
1.(2020山东高二月考)若离散型随机变量X的分布列如下,则X的方差D(X)=(　　)
X
0
1
P
m
0.6

　　　　　　　　　　　　　　　　
A.0.6 B.0.4
C.0.24 D.1
解析由题意可得m+0.6=1,所以m=0.4,
所以E(X)=0×0.4+1×0.6=0.6,所以D(X)=(0-0.6)2×0.4+(1-0.6)2×0.6=0.24.故选C.
答案C
2.(多选)(2019山东高二期末)设离散型随机变量X的分布列为
X
0
1
2
3
4
P
q
0.4
0.1
0.2
0.2

若离散型随机变量Y满足Y=2X+1,则下列结果正确的是(　　)
A.q=0.1
B.E(X)=2,D(X)=1.4
C.E(X)=2,D(X)=1.8
D.E(Y)=5,D(Y)=7.2
解析因为q+0.4+0.1+0.2+0.2=1,所以q=0.1,故A正确;又E(X)=0×0.1+1×0.4+2×0.1+3×0.2+4×0.2=2,D(X)=(0-2)2×0.1+(1-2)2×0.4+(2-2)2×0.1+(3-2)2×0.2+(4-2)2×0.2=1.8,故C正确;因为Y=2X+1,所以E(Y)=2E(X)+1=5,D(Y)=4D(X)=7.2,故D正确.故选ACD.
答案ACD
3.(2019福建高二期末)现有一条零件生产线,每个零件达到优等品的概率都为p.某检验员从该生产线上随机抽检50个零件,设其中优等品零件的个数为X.若D(X)=8,P(X=20) A.0.16 B.0.2
C.0.8 D.0.84
解析∵P(X=20) ∴C5020p20(1-p)30 化简得1-p 即p>12,
又D(X)=8=50p(1-p),
解得p=0.2或p=0.8,
∴p=0.8,故选C.
答案C
4.(2019山东济南高三月考)若X是离散型随机变量,P(X=x1)=23,P(X=x2)=13,又已知E(X)=43,D(X)=29,则|x1-x2|的值为(　　)
A.53 B.23
C.3 D.1
解析∵23+13=1,
∴随机变量X的值只能为x1,x2,
∴23x1+13x2=43,23(x1-43)?2+13(x2-43)?2=29,
解得x1=53,x2=23或x1=1,x2=2,
∴|x1-x2|=1.
故选D.
答案D
5.随机变量X的取值为0,1,2,P(X=0)=0.2,D(X)=0.4,则E(X)=　　　　.?
解析设P(X=2)=x,其中0≤x≤0.8,可得出P(X=1)=0.8-x,所以E(X)=0×0.2+1×(0.8-x)+2x=x+0.8,D(X)=(x+0.8)2×0.2+(x-0.2)2×(0.8-x)+(x-1.2)2×x=0.4,解得x=0.2或x=1.2(舍去),因此E(X)=0.2+0.8=1.
答案1
6.(2020浙江高三专题练习)已知袋中装有大小相同质地均匀的5个球,其中3个黑球和2个白球,从袋中无放回地随机取出3个球,记取出黑球的个数为X,则E(X)=　　　,D(X)=　　　.?
解析由题意得X的所有可能取值为1,2,3,
P(X=1)=C31C53=310,
P(X=2)=C32C21C53=610=35,
P(X=3)=C33C53=110,
所以X的分布列为
X
1
2
3
P
310
35
110

所以E(X)=310×1+35×2+110×3=95,
D(X)=310×1-952+35×2-952+110×3-952=925.
答案95　925
7.(2019西藏拉萨那曲第二高级中学高二期末)已知随机变量X的分布列为
X
0
1
x
P
12
13
p

若E(X)=23.
(1)求D(X)的值;
(2)若Y=3X-2,求D(Y)的值.
解(1)由题意可得12+13+p=1,得p=16,又E(X)=0×12+1×13+x×16=23,解得x=2.
∴D(X)=0-232×12+1-232×13+2-232×16=59.
(2)∵Y=3X-2,∴D(Y)=D(3X-2)=9D(X)=9×59=5.
8.(2019天津滨海新区塘沽第一中学高考模拟)某中学利用周末组织教职员工进行了一次秋季登山健身的活动,有N个人参加.现将所有参加者按年龄情况分为[20,25),[25,30),[30,35),[35,40),[40,45),[45,50),[50,55)七组.其频率分布直方图如图所示,已知[25,30)这组的参加者是6人.

(1)根据此频率分布直方图求N;
(2)组织者从[45,55)这组的参加者(其中共有4名女教师,其余全为男教师)中随机选取3名担任后勤保障工作,其中女教师的人数为X,求X的分布列、均值及方差;
(3)已知[35,40)和[40,45)这两组各有2名数学教师.现从这两个组中各选取2人担任接待工作,设两组的选择互不影响,求两组选出的人中恰有1名数学老师的概率.
解(1)[25,30)这组频率为0.03×5=0.15,所以N=60.15=40.
(2)[45,55)这组的参加者人数为(0.02+0.01)×5×40=6,
所以X可能的取值为1,2,3,
P(X=1)=C41C22C63=15,
P(X=2)=C42C21C63=35,
P(X=3)=C43C63=15.
X
1
2
3
P
15
35
15

E(X)=1×15+2×35+3×15=2,
D(X)=(1-2)2×15+(2-2)2×35+(3-2)2×15=25.
(3)[35,40)这组的参加者人数为0.04×5×40=8.
[40,45)这组的参加者人数为0.03×5×40=6.
恰有1名数学老师的概率为C21C61·C42+C62·C21C41C82C62=1635.
素养培优练
1.(2019河南高三月考)已知随机变量ξ的分布列如下表所示,则下列说法正确的是(　　)
ξ
x
y
P
y
x

A.存在x,y∈(0,1),E(ξ)>12
B.对任意x,y∈(0,1),E(ξ)≤14
C.对任意x,y∈(0,1),D(ξ)<12E(ξ)
D.存在x,y∈(0,1),D(ξ)>14
解析依题意可得E(ξ)=2xy,
D(ξ)=(x-2xy)2y+(y-2xy)2x=(1-2y)2x2y+(1-2x)2y2x=[(1-2y)2x+(1-2x)2y]yx.
因为x+y=1,所以2xy≤(x+y)22=12,
当且仅当x=y时取等号.
即E(ξ)≤12,故A,B错误;
∴D(ξ)=[(2x-1)2x+(1-2x)2y]yx=(1-2x)2(x+y)yx=(1-2x)2yx.
∵0 ∴D(ξ) ∵D(ξ)=(1-2x)2yx 故选C.
答案C
2.(2019黑龙江牡丹江一中高二月考)某早餐店对一款新口味的酸奶进行了一段时间试销,定价为5元/瓶.酸奶在试销售期间足量供应,每天的销售数据按照[15,25],(25,35],(35,45],(45,55]分组,得到如下频率分布直方图,以不同销量的频率估计概率.试销结束后,这款酸奶正式上市,厂家只提供整箱批发:大箱每箱50瓶,批发成本85元;小箱每箱30瓶,批发成本65元.由于酸奶保质期短,当天未卖出的只能作废.该早餐店以试销售期间的销量作为参考,决定每天仅批发一箱(计算时每个分组取中间值作为代表,比如销量为(45,55]时看作销量为50瓶).

(1)设早餐店批发一大箱时,当天这款酸奶的利润为随机变量X,批发一小箱时,当天这款酸奶的利润为随机变量Y,求X和Y的分布列;
(2)从早餐店的收益角度和利用所学的知识作为决策依据,该早餐店应每天批发一大箱还是一小箱?(必须作出一种合理的选择)
解(1)若早餐店批发一大箱,批发成本为85元,依题意,销量有20,30,40,50四种情况.
当销量为20瓶时,利润为5×20-85=15元,
当销量为30瓶时,利润为5×30-85=65元,
当销量为40瓶时,利润为5×40-85=115元,
当销量为50瓶时,利润为5×50-85=165元.
随机变量X的分布列为
X
15
65
115
165
P
0.3
0.4
0.2
0.1

若早餐店批发一小箱,批发成本为65元,依题意,销量有20,30两种情况.
当销量为20瓶时,利润为5×20-65=35元,
当销量为30瓶时,利润为5×30-65=85元.
随机变量Y的分布列为
Y
35
85
P
0.3
0.7

(2)根据(1)中的计算结果,所以E(X)=15×0.3+65×0.4+115×0.2+165×0.1=70(元),
所以E(Y)=35×0.3+85×0.7=70(元),E(X)=E(Y).
D(X)=(15-70)2×0.3+(65-70)2×0.4+(115-70)2×0.2+(165-70)2×0.1=2 225,
D(Y)=(35-70)2×0.3+(85-70)2×0.7=525,所以D(X)>D(Y).
所以早餐店每天应该批发一小箱.