人教B版（2019）高中数学选择性必修第二册 3.1.3 第二课时 组合数的应用word含答案
文档属性
| 名称 | 人教B版（2019）高中数学选择性必修第二册 3.1.3 第二课时 组合数的应用word含答案 |  | |
| 格式 | docx | ||
| 文件大小 | 40.5KB | ||
| 资源类型 | 教案 | ||
| 版本资源 | 人教B版（2019） | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2020-08-12 16:00:20 | ||
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文档简介
第二课时 组合数的应用
课后篇巩固提升
基础达标练
1.(2019内蒙古呼和浩特开来中学高二期中)从10名大学毕业生中选3人担任村长助理,则甲、乙至少有1人入选,而丙没有入选的不同选法的种数为( )
A.28 B.49
C.56 D.85
解析由题意知,丙没有入选,所以只需把丙去掉,把总的元素个数变为9个,因为甲、乙至少有1人入选,所以条件可分为两类:一类是甲、乙两人只选一个的选法,共有C21C72=42种选法;另一类是甲、乙两人都入选,共有C22C71=7种选法,由分类加法计数原理可得,不同的选法共有42+7=49种选法,故选B.
答案B
2.(多选)上海某小学组织6个年级的学生外出参观包括甲博物馆在内的6个博物馆,每个年级任选一个博物馆参观,则有且只有两个年级选择甲博物馆的方案有( )
A.3 600种
B.A62A54种
C.9 375种
D.C62×54种
解析因为有且只有两个年级选择甲博物馆,所以参观甲博物馆的年级有C62种情况,其余年级均有5种选择,所以共有54种情况,根据乘法原理可得C62×54=9 375种情况.
答案CD
3.甲组有5名男同学、3名女同学;乙组有6名男同学、2名女同学.若从甲、乙两组中各选出2名同学,则选出的4人中恰有1名女同学的不同选法共有( )
A.150种 B.180种
C.300种 D.345种
解析若这名女同学是甲组的,选法有C31C51C62种;若这名女同学是乙组的,则选法有C52C21C61种.故符合条件的选法共有C31C51C62+C52C21C61=345(种).
答案D
4.两人进行乒乓球比赛,先赢3局者获胜,决出胜负为止,则所有可能出现的情形(各人输赢局次的不同视为不同情形)共有( )
A.10种 B.15种
C.20种 D.30种
解析分三种情况:恰好打3局,有2种情形;恰好打4局(一人前3局中赢2局、输1局,第4局赢),共有2C32=6种情形;恰好打5局(一人前4局中赢2局、输2局,第5局赢),共有2C42=12种情形.所有可能出现的情形共有2+6+12=20(种).
答案C
5.有甲、乙、丙三项任务,甲需2人承担,乙、丙各需1人承担.从10人中选出4人承担这三项任务,不同的选法种数有( )
A.1 260种
B.2 025种
C.2 520种
D.5 040种
解析先从10人中选2人承担甲任务有C102种方法,再从剩余8人中选1人承担乙项任务有C81种方法,然后从剩余7人中选1人承担丙任务有C71种方法.按分步乘法计数原理,共有C102C81C71=2 520种选法.
答案C
6.从6位同学中选出4位参加一个座谈会,要求张、王两同学中至多有一个人参加,则不同选法的种数为( )
A.9 B.14
C.12 D.15
解析(直接法)分两类:第一类张、王两同学都不参加,有C44种选法;第二类张、王两同学中只有1人参加,有C21C43种选法.故共有C44+C21C43=9种选法.
答案A
7.直角坐标系xOy平面上,平行于x轴和平行于y轴的直线各有6条,则由这12条直线组成的图形中,矩形共有 个.?
解析从6条水平直线和6条竖直直线中各取2条,每一种取法对应一个矩形,因此矩形共有C62C62=225(个).
答案225
8.(2019上海浦东复旦附中模拟)甲、乙等5名同学参加志愿者服务,分别到三个路口疏导交通,每个路口有1名或2名志愿者,则甲、乙在同一路口的分配方案共有 种.(用数字作答)?
解析甲、乙两人在同一路口分配方案有C31C32A22=18种.
答案18
9.已知10件不同产品中有4件是次品,现对它们一一进行测试,直至找出所有4件次品为止.
(1)若恰在第5次测试,才测试到第一件次品,第10次才测试到最后一件次品,则这样的不同测试方法数是多少?
(2)若恰在第5次测试后,就找出了所有4件次品,则这样的不同测试方法数是多少?
解(1)先排前4次测试,只能取正品,有A64种不同测试方法,再从4件次品中选2件排在第5和第10的位置上测试有C42·A22种测法,再排余下4件,有A44种测法.所以共有不同的测试方法有A64·C42·A22·A44=103 680(种).
(2)第5次测试恰为最后一件次品,另3件次品在前4次中出现,从而前4次有一件正品出现.所以共有不同测试方法C41·(C61·C33)A44=576(种).
10.某单位安排7位员工在10月1日至7日值班,每天安排1人,每人值班1天.若7位员工中甲、乙排在相邻的两天,丙不排在10月1日,丁不排在10月7日,则不同的安排方案共有多少种?
解依题意,满足甲、乙两人安排在相邻两天的方法共有A22A66=1 440(种),其中满足甲、乙两人安排在相邻两天且丙在10月1日值班的方法共有C51A22A44=240(种);满足甲、乙两人安排在相邻两天且丁在10月7日值班的方法共有C51A22A44=240(种);满足甲、乙两人安排在相邻两天且丙在10月1日值班、丁在10月7日值班的方法共有C41A22A33=48(种).因此满足题意的方法共有1 440-2×240+48=1 008(种).
能力提升练
1.(2020山东济南模拟)篮球比赛中每支球队的出场阵容由5名队员组成,2017年的NBA篮球赛中,某队采取了“八人轮换”的阵容,即每场比赛只有8名队员有机会出场,这8名队员中包含两名中锋,两名控球后卫,若要求每一套出场阵容中有且仅有一名中锋,至少包含一名控球后卫,则该队的主教练出场阵容的选择的种数为( )
A.16 B.28
C.84 D.96
解析有两种出场方案:①中锋1人,后卫1人,有C21C21C43=16种出场阵容,②中锋1人,后卫2人,有C21C22C42=12种出场阵容,共计28种,选故B.
答案B
2.(2020辽宁高二期末)十三届全国人大二次会议于2019年3月5日至15日在北京召开,会议期间工作人员将其中的5个代表团人员(含A,B两市代表团)安排至a,b,c三家宾馆入住,规定同一个代表团人员住同一家宾馆,且每家宾馆至少有一个代表团入住,若A,B两市代表团必须安排在a宾馆入住,则不同的安排种数为( )
A.6 B.12
C.16 D.18
解析如果仅有A,B入住a宾馆,则余下三个代表团必有2个入住同一个宾馆,此时安排种数有C32A22=6,如果有A,B及其余一个代表团入住a宾馆,则余下两个代表团分别入住b,c,此时安排种数有C31A22=6,综上,共有不同的安排种数为12,故选B.
答案B
3.数学竞赛前,某学校由3名教师对5名参赛学生进行“特训”,要求每名教师的“特训”学生不超过2人,则不同的“特训”方案的种数为( )
A.60 B.90
C.150 D.120
解析5名参赛学生分为(2,2,1),故其分组的方法有C52C32A22=15种,再分配给3名教师,共有15A33=90种.
答案B
4.(多选)(2019北京高二期末)某校有6名志愿者,在放假的第一天去北京世园会的中国馆服务,任务是组织游客参加“祝福祖国征集留言”“欢乐世园共绘展板”“传递祝福发放彩绳”三项活动,其中1人负责“征集留言”,2人负责“共绘展板”,3人负责“发放彩绳”,则不同的分配方案共有( )
A.2C61C52种
B.60种
C.120种
D.C61C52C33种
解析从6人中选1人负责“征集留言”,从剩下的人中选2人负责“共绘展板”,再从剩下的人中选3人负责“发放彩绳”,则不同的分配方案共有C61C52C33=60种.故选BD.
答案BD
5.(2020上海高三月考)从3名男同学和n名女同学中任选三人参加一场辩论赛,已知三人中至少有一个人是男生的选派方案是46,那么n= .?
解析三人中没有男生的选派方案为Cn3,故有Cn3=Cn+33-46,
所以n(n-1)(n-2)6=(n+3)(n+2)(n+1)6-46,
整理得到n2+n-30=0,故n=5或n=-6(舍).
故n=5.
答案5
6.(2019天津高三月考)现安排甲、乙、丙、丁、戊5名大学生去杭州、宁波、金华三个城市进行暑期社会实践活动,每个城市至少安排一人,则不同的安排方式共有 种,学生甲被单独安排去金华的概率是 .?
解析根据题意,按五名同学分组的不同分2种情况讨论:
①五人分为2,2,1的三组,有C52C32C11A22=15种分组方法,对应三项志愿者活动,有15×A33=90种安排方案;
②五人分为3,1,1的三组,有C53C21C11A22=10种分组方法,对应三项志愿者活动,有10×A33=60种安排方案,
则共有90+60=150种不同的安排方案.
学生甲被单独安排去金华时,共有C43C11A22+C42C22A22A22=14种不同的安排方案,则学生甲被单独安排去金华的概率是14150=775.
答案150 775
7.从5双不同的鞋子中任取4只,
(1)取出的4只鞋子中至少能配成1双,有多少种不同的取法?
(2)取出的4只鞋子,任何两只都不能配成1双,有多少种不同的取法?
解(1)分两类:①取出的4只鞋子恰好配成2双,有C52种取法.②取出的4只鞋子有且只有2只能配成1双,分两步完成:第一步,从5双鞋子中任取1双,有C51种取法.第二步,再分为三类,第一类,从余下的穿在左脚的4只鞋子中任取2只,有C42种取法;第二类,从余下的穿在右脚的4只鞋子中任取2只,有C42种取法;第三类,从余下的左(或右)脚的4只中任取1只,再在余下的右(或左)脚的和已取的1只不相配的3只鞋子中任取1只,有C41C31种取法.故共有C51(C42+C42+C41·C31)种取法.由①②知,共有不同的取法C52+C51(C42+C42+C41C31)=130(种).
(2)分两步:第一步,从5双不同的鞋子中任取4双,有C54种;第二步,从取出的4双的每1双中任取1只,有(C21)4种,故共有不同的取法C54·(C21)4=80(种).
素养培优练
(2019江西景德镇一中高二期中)一次游戏有10个人参加,现将这10人分为5组,每组两人.
(1)若任意两人可分为一组,求这样的分组方式有多少种?
(2)若这10人中有5名男生和5名女生,要求各组人员不能为同性,求这样的分组方式有多少种?
(3)若这10人恰为5对夫妻,任意两人均可分为一组,问分组后恰有一对夫妻在同组的分组方式有多少种?
解(1)将10人平均分为5组共有C102C82C62C42C22A55=945种.
(2)将5名男生视为5个不同的小盒,5名女生视为5个不同的小球,问题转化为将5个小球装入5个不同的盒子,每盒一个球,共有A55=120种.
(3)先任选一对夫妻有C51种,再将剩余4对夫妻分组,再将4个丈夫视为A,B,C,D四个小球,4个妻子分别视为a,b,c,d四个盒子,则4个小球装入4个不同的盒子,每盒一个球,且与自己的字母不同,有BADC,CADB,DABC,BDAC,CDAB,DCAB,BCDA,DCBA,CDBA,共有9种方法,故不同的分组方法有C51×9=45种.
课后篇巩固提升
基础达标练
1.(2019内蒙古呼和浩特开来中学高二期中)从10名大学毕业生中选3人担任村长助理,则甲、乙至少有1人入选,而丙没有入选的不同选法的种数为( )
A.28 B.49
C.56 D.85
解析由题意知,丙没有入选,所以只需把丙去掉,把总的元素个数变为9个,因为甲、乙至少有1人入选,所以条件可分为两类:一类是甲、乙两人只选一个的选法,共有C21C72=42种选法;另一类是甲、乙两人都入选,共有C22C71=7种选法,由分类加法计数原理可得,不同的选法共有42+7=49种选法,故选B.
答案B
2.(多选)上海某小学组织6个年级的学生外出参观包括甲博物馆在内的6个博物馆,每个年级任选一个博物馆参观,则有且只有两个年级选择甲博物馆的方案有( )
A.3 600种
B.A62A54种
C.9 375种
D.C62×54种
解析因为有且只有两个年级选择甲博物馆,所以参观甲博物馆的年级有C62种情况,其余年级均有5种选择,所以共有54种情况,根据乘法原理可得C62×54=9 375种情况.
答案CD
3.甲组有5名男同学、3名女同学;乙组有6名男同学、2名女同学.若从甲、乙两组中各选出2名同学,则选出的4人中恰有1名女同学的不同选法共有( )
A.150种 B.180种
C.300种 D.345种
解析若这名女同学是甲组的,选法有C31C51C62种;若这名女同学是乙组的,则选法有C52C21C61种.故符合条件的选法共有C31C51C62+C52C21C61=345(种).
答案D
4.两人进行乒乓球比赛,先赢3局者获胜,决出胜负为止,则所有可能出现的情形(各人输赢局次的不同视为不同情形)共有( )
A.10种 B.15种
C.20种 D.30种
解析分三种情况:恰好打3局,有2种情形;恰好打4局(一人前3局中赢2局、输1局,第4局赢),共有2C32=6种情形;恰好打5局(一人前4局中赢2局、输2局,第5局赢),共有2C42=12种情形.所有可能出现的情形共有2+6+12=20(种).
答案C
5.有甲、乙、丙三项任务,甲需2人承担,乙、丙各需1人承担.从10人中选出4人承担这三项任务,不同的选法种数有( )
A.1 260种
B.2 025种
C.2 520种
D.5 040种
解析先从10人中选2人承担甲任务有C102种方法,再从剩余8人中选1人承担乙项任务有C81种方法,然后从剩余7人中选1人承担丙任务有C71种方法.按分步乘法计数原理,共有C102C81C71=2 520种选法.
答案C
6.从6位同学中选出4位参加一个座谈会,要求张、王两同学中至多有一个人参加,则不同选法的种数为( )
A.9 B.14
C.12 D.15
解析(直接法)分两类:第一类张、王两同学都不参加,有C44种选法;第二类张、王两同学中只有1人参加,有C21C43种选法.故共有C44+C21C43=9种选法.
答案A
7.直角坐标系xOy平面上,平行于x轴和平行于y轴的直线各有6条,则由这12条直线组成的图形中,矩形共有 个.?
解析从6条水平直线和6条竖直直线中各取2条,每一种取法对应一个矩形,因此矩形共有C62C62=225(个).
答案225
8.(2019上海浦东复旦附中模拟)甲、乙等5名同学参加志愿者服务,分别到三个路口疏导交通,每个路口有1名或2名志愿者,则甲、乙在同一路口的分配方案共有 种.(用数字作答)?
解析甲、乙两人在同一路口分配方案有C31C32A22=18种.
答案18
9.已知10件不同产品中有4件是次品,现对它们一一进行测试,直至找出所有4件次品为止.
(1)若恰在第5次测试,才测试到第一件次品,第10次才测试到最后一件次品,则这样的不同测试方法数是多少?
(2)若恰在第5次测试后,就找出了所有4件次品,则这样的不同测试方法数是多少?
解(1)先排前4次测试,只能取正品,有A64种不同测试方法,再从4件次品中选2件排在第5和第10的位置上测试有C42·A22种测法,再排余下4件,有A44种测法.所以共有不同的测试方法有A64·C42·A22·A44=103 680(种).
(2)第5次测试恰为最后一件次品,另3件次品在前4次中出现,从而前4次有一件正品出现.所以共有不同测试方法C41·(C61·C33)A44=576(种).
10.某单位安排7位员工在10月1日至7日值班,每天安排1人,每人值班1天.若7位员工中甲、乙排在相邻的两天,丙不排在10月1日,丁不排在10月7日,则不同的安排方案共有多少种?
解依题意,满足甲、乙两人安排在相邻两天的方法共有A22A66=1 440(种),其中满足甲、乙两人安排在相邻两天且丙在10月1日值班的方法共有C51A22A44=240(种);满足甲、乙两人安排在相邻两天且丁在10月7日值班的方法共有C51A22A44=240(种);满足甲、乙两人安排在相邻两天且丙在10月1日值班、丁在10月7日值班的方法共有C41A22A33=48(种).因此满足题意的方法共有1 440-2×240+48=1 008(种).
能力提升练
1.(2020山东济南模拟)篮球比赛中每支球队的出场阵容由5名队员组成,2017年的NBA篮球赛中,某队采取了“八人轮换”的阵容,即每场比赛只有8名队员有机会出场,这8名队员中包含两名中锋,两名控球后卫,若要求每一套出场阵容中有且仅有一名中锋,至少包含一名控球后卫,则该队的主教练出场阵容的选择的种数为( )
A.16 B.28
C.84 D.96
解析有两种出场方案:①中锋1人,后卫1人,有C21C21C43=16种出场阵容,②中锋1人,后卫2人,有C21C22C42=12种出场阵容,共计28种,选故B.
答案B
2.(2020辽宁高二期末)十三届全国人大二次会议于2019年3月5日至15日在北京召开,会议期间工作人员将其中的5个代表团人员(含A,B两市代表团)安排至a,b,c三家宾馆入住,规定同一个代表团人员住同一家宾馆,且每家宾馆至少有一个代表团入住,若A,B两市代表团必须安排在a宾馆入住,则不同的安排种数为( )
A.6 B.12
C.16 D.18
解析如果仅有A,B入住a宾馆,则余下三个代表团必有2个入住同一个宾馆,此时安排种数有C32A22=6,如果有A,B及其余一个代表团入住a宾馆,则余下两个代表团分别入住b,c,此时安排种数有C31A22=6,综上,共有不同的安排种数为12,故选B.
答案B
3.数学竞赛前,某学校由3名教师对5名参赛学生进行“特训”,要求每名教师的“特训”学生不超过2人,则不同的“特训”方案的种数为( )
A.60 B.90
C.150 D.120
解析5名参赛学生分为(2,2,1),故其分组的方法有C52C32A22=15种,再分配给3名教师,共有15A33=90种.
答案B
4.(多选)(2019北京高二期末)某校有6名志愿者,在放假的第一天去北京世园会的中国馆服务,任务是组织游客参加“祝福祖国征集留言”“欢乐世园共绘展板”“传递祝福发放彩绳”三项活动,其中1人负责“征集留言”,2人负责“共绘展板”,3人负责“发放彩绳”,则不同的分配方案共有( )
A.2C61C52种
B.60种
C.120种
D.C61C52C33种
解析从6人中选1人负责“征集留言”,从剩下的人中选2人负责“共绘展板”,再从剩下的人中选3人负责“发放彩绳”,则不同的分配方案共有C61C52C33=60种.故选BD.
答案BD
5.(2020上海高三月考)从3名男同学和n名女同学中任选三人参加一场辩论赛,已知三人中至少有一个人是男生的选派方案是46,那么n= .?
解析三人中没有男生的选派方案为Cn3,故有Cn3=Cn+33-46,
所以n(n-1)(n-2)6=(n+3)(n+2)(n+1)6-46,
整理得到n2+n-30=0,故n=5或n=-6(舍).
故n=5.
答案5
6.(2019天津高三月考)现安排甲、乙、丙、丁、戊5名大学生去杭州、宁波、金华三个城市进行暑期社会实践活动,每个城市至少安排一人,则不同的安排方式共有 种,学生甲被单独安排去金华的概率是 .?
解析根据题意,按五名同学分组的不同分2种情况讨论:
①五人分为2,2,1的三组,有C52C32C11A22=15种分组方法,对应三项志愿者活动,有15×A33=90种安排方案;
②五人分为3,1,1的三组,有C53C21C11A22=10种分组方法,对应三项志愿者活动,有10×A33=60种安排方案,
则共有90+60=150种不同的安排方案.
学生甲被单独安排去金华时,共有C43C11A22+C42C22A22A22=14种不同的安排方案,则学生甲被单独安排去金华的概率是14150=775.
答案150 775
7.从5双不同的鞋子中任取4只,
(1)取出的4只鞋子中至少能配成1双,有多少种不同的取法?
(2)取出的4只鞋子,任何两只都不能配成1双,有多少种不同的取法?
解(1)分两类:①取出的4只鞋子恰好配成2双,有C52种取法.②取出的4只鞋子有且只有2只能配成1双,分两步完成:第一步,从5双鞋子中任取1双,有C51种取法.第二步,再分为三类,第一类,从余下的穿在左脚的4只鞋子中任取2只,有C42种取法;第二类,从余下的穿在右脚的4只鞋子中任取2只,有C42种取法;第三类,从余下的左(或右)脚的4只中任取1只,再在余下的右(或左)脚的和已取的1只不相配的3只鞋子中任取1只,有C41C31种取法.故共有C51(C42+C42+C41·C31)种取法.由①②知,共有不同的取法C52+C51(C42+C42+C41C31)=130(种).
(2)分两步:第一步,从5双不同的鞋子中任取4双,有C54种;第二步,从取出的4双的每1双中任取1只,有(C21)4种,故共有不同的取法C54·(C21)4=80(种).
素养培优练
(2019江西景德镇一中高二期中)一次游戏有10个人参加,现将这10人分为5组,每组两人.
(1)若任意两人可分为一组,求这样的分组方式有多少种?
(2)若这10人中有5名男生和5名女生,要求各组人员不能为同性,求这样的分组方式有多少种?
(3)若这10人恰为5对夫妻,任意两人均可分为一组,问分组后恰有一对夫妻在同组的分组方式有多少种?
解(1)将10人平均分为5组共有C102C82C62C42C22A55=945种.
(2)将5名男生视为5个不同的小盒,5名女生视为5个不同的小球,问题转化为将5个小球装入5个不同的盒子,每盒一个球,共有A55=120种.
(3)先任选一对夫妻有C51种,再将剩余4对夫妻分组,再将4个丈夫视为A,B,C,D四个小球,4个妻子分别视为a,b,c,d四个盒子,则4个小球装入4个不同的盒子,每盒一个球,且与自己的字母不同,有BADC,CADB,DABC,BDAC,CDAB,DCAB,BCDA,DCBA,CDBA,共有9种方法,故不同的分组方法有C51×9=45种.