人教B版（2019）高中数学选择性必修第二册 3.1.3　第一课时　组合及组合数公式word含答案

3.1.3　组合与组合数
第一课时　组合及组合数公式
课后篇巩固提升
基础达标练
1.计算:C82+C83+C92=(　　)
　　　　　　　　　　　　　　　　
A.120 B.240
C.60 D.480
解析C82+C83+C92=7×82×1+6×7×83×2×1+8×92×1=120.
答案A
2.(多选)若C9x+1=C92x-1,则x的值可能为(　　)
A.2 B.3
C.4 D.5
解析由组合数公式的性质可得,x+1=2x-1或x+1+2x-1=9,解得x=2或x=3.经检验,符合题意.故选AB.
答案AB
3.将2名教师、4名学生分成2个小组,分别安排到甲、乙两地参加社会实践活动,每个小组由1名教师和2名学生组成,不同的安排方案共有(　　)
A.12种 B.10种
C.9种 D.8种
解析先安排1名教师和2名学生到甲地,再将剩下的1名教师和2名学生安排到乙地,共有C21C42=12种安排方案.
答案A
4.异面直线a,b上分别有4个点和5个点,由这9个点可以确定的平面个数是(　　)
A.20 B.9
C.C93 D.C42C51+C52C41
解析分两类:第一类,在直线a上任取一点,与直线b可确定C41个平面;第二类,在直线b上任取一点,与直线a可确定C51个平面.故可确定C41+C51=9个不同的平面.
答案B
5.已知圆上有9个点,每两点连一线段,若任意两条线的交点不同,则所有线段在圆内的交点有(　　)
A.36个 B.72个
C.63个 D.126个
解析此题可化归为圆上9个点可组成多少个四边形,所有四边形的对角线的交点个数即所求,所以交点有C94=126(个).
答案D
6.从1,3,5,7,9中任取2个数字,从0,2,4,6中任取2个数字,一共可以组成　　　个没有重复数字的四位数.(用数字作答)?
解析分两类:
第一类:从0,2,4,6中取到0,
则没有重复数字的四位数有C31C52A31A33=540(个);
第二类:从0,2,4,6中不取0,
则没有重复数字的四位数有C32C52A44=720(个).
所以没有重复数字的四位数共有540+720=1 260(个).
答案1 260
7.某餐厅供应盒饭,每位顾客可以在餐厅提供的菜肴中任选2荤2素共4种不同的菜品.现在餐厅准备了5种不同的荤菜,若要保证每位顾客有200种以上的不同选择,则餐厅至少还需准备不同的素菜　　　　　种.(结果用数值表示)?
解析设餐厅至少还需准备x种不同的素菜,
由题意,得C52·Cx2≥200,
从而有Cx2≥20,即x(x-1)≥40.
所以x的最小值为7.
答案7
8.求证:m!+(m+1)!1!+(m+2)!2!+…+(m+n)!n!=m!Cm+n+1n.
证明左边=m!(1+Cm+11+Cm+22+…+Cm+nn)
=m!(Cm+10+Cm+11+Cm+22+…+Cm+nn)
=m!(Cm+21+Cm+22+…+Cm+nn)
=m!(Cm+32+Cm+33+…+Cm+nn)
…
=m!Cm+n+1n
=右边.
能力提升练
1.(2019山东高二期末)计算2C75+3A52的值是(　　)
　　　　　　　　　　　　　　　　
A.72 B.102 C.5 070 D.5 100
解析依题意,原式=2C72+3A52=2×7×62×1+3×5×4=42+60=102,故选B.
答案B
2.(2019安徽六安一中高二期末)六安一中高三教学楼共五层,甲、乙、丙、丁四人走进该教学楼2~5层的某一层楼上课,则满足有且仅有一人上5楼上课,且甲不在2楼上课的所有可能的情况的种数为(　　)
A.27 B.81 C.54 D.108
解析甲在五楼上课有33种情况,
甲不在五楼且不在二楼上课有C31C21×32=54种情况,
由分类加法计数原理知共有54+27=81种不同的情况,
故选B.
答案B
3.2020年元旦假期,高三的8名同学准备拼车去旅游,其中(1)班、(2)班、(3)班、(4)班每班各两名,分乘甲乙两辆汽车,每车限坐4名同学(乘同一辆车的4名同学不考虑位置),其中(1)班两位同学是孪生姐妹,需乘同一辆车,则乘坐甲车的4名同学中恰有2名同学是来自同一个班的乘坐方式共有(　　)
A.18种 B.24种 C.48种 D.36种
解析由题意,第一类,(1)班的2名同学在甲车上,甲车上剩下两个要来自不同的班级,从三个班级中选两个为C32=3种,然后分别从选择的班级中再选择一个学生为C21C21=4种,故有3×4=12种;
第二类,(1)班的2名同学不在甲车上,则从剩下的3个班级中选择一个班级的两名同学在甲车上,为C31=3种,然后再从剩下的两个班级中分别选择一人为C21C21=4种,这时共有3×4=12种,根据分类加法计数原理得,共有12+12=24种不同的乘车方式.
故选B.
答案B
4.(多选)下列四个组合数公式:对n,k∈N,约定0!=C00=1,下列选项中,正确的是(　　)
A.Cnk=Ankk!(0≤k≤n)
B.Cnk=Cnn-k(0≤k≤n)
C.knCnk=Cn-1k-1(1≤k≤n)
D.Cnk=Cn-1k+Cn-1k-1(1≤k≤n)
解析A.Cnk=AnkAkk=Ankk!(0≤k≤n),等式成立;
B.Cnk=Ankk!=n!(n-k)!k!(0≤k≤n),
Cnn-k=Ann-k(n-k)!=n![n-(n-k)]!(n-k)!=n!k!(n-k)!(0≤k≤n),
所以Cnk=Cnn-k(0≤k≤n)成立;
C.knCnk=kn·Ankk!=kn·n!(n-k)!k!=(n-1)!(n-k)!(k-1)!(1≤k≤n),
Cn-1k-1=An-1k-1(k-1)!=(n-1)!(n-k)!(k-1)!(1≤k≤n),所以knCnk=Cn-1k-1(1≤k≤n)成立;
D.Cn-1k+Cn-1k-1=An-1kk!+An-1k-1(k-1)!=(n-1)!(n-k-1)!k!+(n-1)!(n-k)!(k-1)!=[(n-k)+k](n-1)!(n-k)!k!=n!(n-k)!k!=Cnk(1≤k≤n),
所以Cnk=Cn-1k+Cn-1k-1(1≤k≤n)成立.
故选ABCD.
答案ABCD
5.(2019江西南康中学高二期中)某兴趣小组有2名男生和3名女生,现从中任选2名学生去参加活动,则至少选中一名男生的选法种数是　　　.?
解析从5名学生中选2名学生去参加活动,有C52=10,从3名女生中选2名女生去参加活动有C32=3,所以至少选中一名男生的选法种数是10-3=7.
答案7
6.(2020上海第二工业大学附属龚路中学高三月考)用0,1,2,3,4这五个数可以组成　　　　　个无重复数字的三位奇数;　　　　个三位奇数.(用数字作答)?
解析(1)先确定末尾一共有1,3两种情况,再确定百位与十位,所以一共有2×C31C31=18个.
(2)先确定末尾一共有1,3两种情况,再确定百位与十位,所以一共有2×C41C51=40个.
答案18　40
7.一位教练的足球队共有17名初级学员,他们中以前没有人参加过比赛.按照足球比赛规则,比赛时一个足球队的上场队员是11人.问:
(1)这位教练从这17名学员中可以形成多少种学员上场方案?
(2)如果在选出11名上场队员时,还要确定其中的守门员,那么这位教练有多少种方式做这件事情?
解(1)由于上场学员没有角色差异,所以可以形成的学员上场方案种数为C1711=12 376.
(2)教练可以分两步完成这件事情:
第1步,从17名学员中选出11人组成上场小组,共有C1711种选法;
第2步,从选出的11人中选出1名守门员,共有C111种选法.
所以教练做这件事情的方式有C1711×C111=136 136(种).
素养培优练
1.已知一组曲线y=13ax3+bx+1,其中a为2,4,6,8中的任意一个,b为1,3,5,7中的任意一个.现从这些曲线中任取两条,它们在x=1处的切线相互平行的组数为(　　)
A.9 B.10 C.12 D.14
解析y'=ax2+b,曲线在x=1处切线的斜率k=a+b.切线相互平行,则需它们的斜率相等,因此按照在x=1处切线的斜率的可能取值可分为五类.
第一类:a+b=5,则a=2,b=3;a=4,b=1.故可构成两条曲线,有C22组.
第二类:a+b=7,则a=2,b=5;a=4,b=3;a=6,b=1.可构成三条曲线,有C32组.
第三类:a+b=9,则a=2,b=7;a=4,b=5;a=6,b=3;a=8,b=1.可构成四条曲线,有C42组.
第四类:a+b=11,则a=4,b=7;a=6,b=5;a=8,b=3.可构成三条曲线,有C32组.
第五类:a+b=13,则a=6,b=7;a=8,b=5.可构成两条曲线,有C22组.
故共有C22+C32+C42+C32+C22=14组曲线,它们在x=1处的切线相互平行.
答案D
2.(2019上海高二期末)推广组合数公式,定义Cxm=x(x-1)…(x-m+1)m!,其中x∈R,m∈N+,且规定Cx0=1.
(1)求C-153的值;
(2)设x>0,当x为何值时,函数f(x)=Cx3(Cx1)2取得最小值?
解(1)由题中组合数的定义得
C-153=(-15)(-16)(-17)3!=-680.
(2)由题中组合数的定义得
f(x)=Cx3(Cx1)2=x(x-1)(x-2)6x2=16x+2x-3.
因为x>0,由均值不等式得x+2x≥22,当且仅当x=2时,等号成立,
所以当x=2时,Cx3(Cx1)2取得最小值.