人教B版（2019）高中数学选择性必修第二册 3.3 第二课时 二项式系数的性质与杨辉三角word含答案
文档属性
| 名称 | 人教B版（2019）高中数学选择性必修第二册 3.3 第二课时 二项式系数的性质与杨辉三角word含答案 |  | |
| 格式 | docx | ||
| 文件大小 | 90.0KB | ||
| 资源类型 | 教案 | ||
| 版本资源 | 人教B版（2019） | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2020-08-12 16:00:31 | ||
图片预览
文档简介
第二课时 二项式系数的性质与杨辉三角
课后篇巩固提升
基础达标练
1.(多选)满足Cn0+Cn2+Cn4+…+Cnn-2+Cnn>1 000的偶数n可以为( )
A.8 B.10 C.12 D.14
解析2n-1>1 000,解得n≥11,n∈N+.故选CD.
答案CD
2.二项展开式(2x-1)10中的奇次幂项的系数之和为( )
A.1+3102 B.1-3102
C.310-12 D.-1+3102
解析设(2x-1)10=a0+a1x+a2x2+…+a10x10.
令x=1得,1=a0+a1+a2+…+a10,①
再令x=-1得,310=a0-a1+a2-a3+…-a9+a10,②
由①-②可得a1+a3+a5+a7+a9=1-3102.
答案B
3.将杨辉三角中的奇数换成1,偶数换成0,便可以得到如图的“0—1三角”.在“0—1三角”中,从第1行起,设第n(n∈N+)次出现全行为1时,1的个数为an,则a3等于( )
A.26 B.27 C.7 D.8
解析第3次出现全行为1,这说明杨辉三角中这一行全是奇数,即Cnk(k=0,1,2,…,n)是奇数,经验证可知,第3次出现全行为1时,1的个数为8,即a3=8.
答案D
4.(1-ax+by)n展开式中不含x的项的系数绝对值的和为243,不含y的项的系数绝对值的和为32,则a,b,n的值可能为( )
A.a=2,b=-1,n=5 B.a=-1,b=2,n=6
C.a=-1,b=2,n=5 D.a=-2,b=-1,n=6
解析令x=0,得(1+by)n系数绝对值的和为243.
令y=0,得(1-ax)n系数绝对值的和为32.
经验证a=-1,b=2,n=5时成立.
答案C
5.若(x+2)5的展开式第二项的值大于1 000,则实数x的取值范围为 .?
解析因为T2=C51·(x)4·21=10x2>1 000,且x≥0,
所以x>10.
答案(10,+∞)
6.a4(x+1)4+a3(x+1)3+a2(x+1)2+a1(x+1)+a0=x4,则a3-a2+a1= .?
解析[(x+1)-1]4=a4(x+1)4+a3(x+1)3+a2(x+1)2+a1(x+1)+a0,
所以a3-a2+a1=(-C41)-C42+(-C43)=-14.
答案-14
7.(2-x)5=a0+a1x+a2x2+…+a5x5,求a1+a3+a5a0+a2+a4的值.
解令x=1得a0+a2+a4+a1+a3+a5=1;
令x=-1得a0+a2+a4-(a1+a3+a5)=243.
由两式可解得a0+a2+a4=122,a1+a3+a5=-121,所以a1+a3+a5a0+a2+a4=-121122.
8.(1+2x)n的展开式中第6项与第7项的系数相等,求展开式中二项式系数最大的项和系数最大的项.
解T6=Cn5(2x)5,T7=Cn6(2x)6,
依题意有Cn525=Cn6·26,解得n=8.
所以(1+2x)8的展开式中,二项式系数最大的项为T5=C84·(2x)4=1 120x4.
设第k+1项系数最大,则有
C8k·2k≥C8k-1·2k-1,C8k·2k≥C8k+1·2k+1,解得5≤k≤6.
因为k∈{0,1,2,…,8},所以k=5,或k=6.
所以系数最大的项为T6=1 792x5,T7=1 792x6.
能力提升练
1.(2019重庆南开中学高三月考)二项式3x-xn的展开式的所有项系数和为64,则展开式中的常数项为( )
A.135 B.-135 C.180 D.-240
解析令x=1得所有项的系数之和为2n=64,解得n=6,所以通项公式为Tk+1=C6k3x6-k·(-x)k=(-1)k36-kC6k·x32k-6,令32k-6=0得k=4,所以展开式中常数项为32·C64=135.故选A.
答案A
2.(2019天津武清区杨村第一中学高二期末)在(x-2)8的二项展开式中,二项式系数的最大值为a,含x5项的系数为b,则ab=( )
A.532 B.-532 C.325 D.-325
解析因为(x-2)8的二项展开式的通项为Tk+1=C8kx8-k(-2)k,因此二项式系数的最大值为a=C84=8×7×6×54×3×2=70,令8-k=5得k=3,所以,含x5项的系数为b=C83(-2)3=-448,因此ab=70-448=-532.故选B.
答案B
3.(多选)(2019山东日照实验高级中学高二月考)对于二项式1x+x3n(n∈N+),以下判断正确的有( )
A.存在n∈N+,展开式中有常数项
B.对任意n∈N+,展开式中没有常数项
C.对任意n∈N+,展开式中没有x的一次项
D.存在n∈N+,展开式中有x的一次项
解析设二项式1x+x3n(n∈N+)展开式的通项公式为Tk+1,则Tk+1=Cnk1xn-k(x3)k=Cnkx4k-n,不妨令n=4,则k=1时,展开式中有常数项,故答案A正确,答案B错误;令n=3,则k=1时,展开式中有x的一次项,故C项错误,D项正确.故选AD.
答案AD
4.(2019上海建平中学高三)设(1-2x)2 019=a0+a1x+a2x2+…+a2 019x2 019,则a12+a222+…+a2 01922 019的值为( )
A.2 B.0 C.-1 D.1
解析(1-2x)2 019=a0+a1x+a2x2+…+a2 019x2 019.
令x=0,可得a0=1.
令x=12,可得0=1+a12+a222+…+a2 01922 019,
∴a12+a222+…+a2 01922 019=-1.故选C.
答案C
5.(2020浙江高三专题练习)1.957的计算结果精确到个位的近似值为( )
A.106 B.107 C.108 D.109
解析∵1.957=(2-0.05)7=27-C71×26×0.05+C72×25×0.052-…-C77×20×(0.05)7.经计算可知T1=128,T2=-22.4,T3=1.68,T4=-0.07,从第4项开始,此后每项都影响不到最终结果,∴1.957≈T1+T2+T3=107.28,∴1.957≈107.故选B.
答案B
6.(2019云南高三月考)若1717+a(a∈Z,0≤a<4)能被3整除,则a=( )
A.0 B.1 C.2 D.3
解析因为1717+a=(18-1)17+a=1817-C1711816+…+C171618-1+a,由已知可得a=1.故选B.
答案B
7.(2020安徽高三模拟)(x2+2)2x-1x6的展开式中所有项的系数和为 ,常数项为 .?
解析将x=1代入(x2+2)2x-1x6,得所有项的系数和为3.
因为2x-1x6的展开式中含1x2的项为C64(2x)2·-1x4=60x2,2x-1x6的展开式中含常数项C63·(2x)3-1x3=-160,
所以(x2+2)2x-1x6的展开式中的常数项为60-320=-260.
答案3 -260
8.(2019江苏高二期末)在如图三角形数阵中,从第3行开始,每一行除1以外,其他每一个数字是它上一行的左右两个数字之和.已知这个三角形数阵开头几行如图所示,若在此数阵中存在某一行,满足该行中有三个相邻的数字之比为4∶5∶6,则这一行是第 行(填行数).?
解析三角形数阵中,每一行的数由二项式系数Cnk,k=0,1,2,…,n组成.设在第n行中有Cnk-1Cnk=kn-k+1=45,CnkCnk+1=k+1n-k=56,那么9k-4n=4,5n-11k=6,解得n=98,k=44.因此答案为98.
答案98
9.(2019山西高二月考)已知二项式(x+3x2)n.
(1)若它的二项式系数之和为128,求展开式中二项式系数最大的项;
(2)若x=3,n=2 016,求二项式的值被7除的余数.
解(1)∵2n=128,∴n=7.
∴展开式中二项式系数最大的项为第4,5项,
T4=C73x4(3x2)3=945x10,T5=C74x3(3x2)4=2 835x11.
(2)302 016=(28+2)2 016=282 016+C2 0161·282 015·2+…+C2 0162 015·28·22 015+22 016=28K+22 016,
转化为22 016被7除的余数,22 016=8672=(7+1)672=7k+1,即余数为1.
素养培优练
1.(2019上海奉贤中学高三月考)如图,我们在第一行填写整数0到n(n≥1),在第二行计算第一行相邻两数的和,像在杨辉三角中那样,如此进行下去,在最后一行我们会得到的整数是 .?
0 1 2 3 … n-1 n
1 3 5 … 2n-1
4 8 …
…
解析将数阵倒置,记第m行第a(1≤a≤m≤n+1)个数为Tma,则倒置后的数阵为:
T11
T21 T22
T31 T32 T33
… … … …
Tn+11 Tn+12 Tn+13 … Tn+1n+1
则有Tma=Tm+1a+Tm+1a+1,且有Tn+1a=a-1.
∵T11=T21+T22=C10T21+C11T22,
T11=T21+T22=(T31+T32)+(T32+T33)=C20T31+C21T32+C22T33,
T11=T31+2T32+T33=(T41+T42)+2(T42+T43)+(T43+T44)=C30T41+C31T42+C32T43+C33T44.
依此类推T11=Cn0Tn+11+Cn1Tn+12+…+CnnTn+1n+1=∑k=0nCnk·k,
∵kCnk=k·n!(n-k)!k!=n!(n-k)!(k-1)!=n·(n-1)!(n-k)!(k-1)!=nCn-1k-1,
因此,T11=∑k=0nCnk·k=n∑k=1nCn-1k-1=n·(1+1)n-1=n·2n-1.
答案n·2n-1
2.(2019上海位育中学高二期末)已知3x-2xn的展开式中的二项式系数之和比各项系数之和大255.
(1)求展开式所有的有理项;
(2)求展开式中系数最大的项.
解令x=1可得,展开式中各项系数之和为(-1)n,而展开式中的二项式系数之和为2n,
∴2n-(-1)n=255,
∴n=8,
∴Tk+1=C8kx8-k3(-2)kx-k2=(-2)kC8kx83-5k6,
(1)当83-5k6为整数时,Tk+1为有理项,则k=2,8,
所以展开式所有的有理项为112x,256x-4.
(2)设第k+1项最大,且k为偶数,
则(-2)kC8k≥(-2)k+2C8k+2,(-2)kC8k≥(-2)k-2C8k-2,
解得k=6,
所以展开式中系数最大的项为(-2)6C86x83-56×6=1 792x-73.
课后篇巩固提升
基础达标练
1.(多选)满足Cn0+Cn2+Cn4+…+Cnn-2+Cnn>1 000的偶数n可以为( )
A.8 B.10 C.12 D.14
解析2n-1>1 000,解得n≥11,n∈N+.故选CD.
答案CD
2.二项展开式(2x-1)10中的奇次幂项的系数之和为( )
A.1+3102 B.1-3102
C.310-12 D.-1+3102
解析设(2x-1)10=a0+a1x+a2x2+…+a10x10.
令x=1得,1=a0+a1+a2+…+a10,①
再令x=-1得,310=a0-a1+a2-a3+…-a9+a10,②
由①-②可得a1+a3+a5+a7+a9=1-3102.
答案B
3.将杨辉三角中的奇数换成1,偶数换成0,便可以得到如图的“0—1三角”.在“0—1三角”中,从第1行起,设第n(n∈N+)次出现全行为1时,1的个数为an,则a3等于( )
A.26 B.27 C.7 D.8
解析第3次出现全行为1,这说明杨辉三角中这一行全是奇数,即Cnk(k=0,1,2,…,n)是奇数,经验证可知,第3次出现全行为1时,1的个数为8,即a3=8.
答案D
4.(1-ax+by)n展开式中不含x的项的系数绝对值的和为243,不含y的项的系数绝对值的和为32,则a,b,n的值可能为( )
A.a=2,b=-1,n=5 B.a=-1,b=2,n=6
C.a=-1,b=2,n=5 D.a=-2,b=-1,n=6
解析令x=0,得(1+by)n系数绝对值的和为243.
令y=0,得(1-ax)n系数绝对值的和为32.
经验证a=-1,b=2,n=5时成立.
答案C
5.若(x+2)5的展开式第二项的值大于1 000,则实数x的取值范围为 .?
解析因为T2=C51·(x)4·21=10x2>1 000,且x≥0,
所以x>10.
答案(10,+∞)
6.a4(x+1)4+a3(x+1)3+a2(x+1)2+a1(x+1)+a0=x4,则a3-a2+a1= .?
解析[(x+1)-1]4=a4(x+1)4+a3(x+1)3+a2(x+1)2+a1(x+1)+a0,
所以a3-a2+a1=(-C41)-C42+(-C43)=-14.
答案-14
7.(2-x)5=a0+a1x+a2x2+…+a5x5,求a1+a3+a5a0+a2+a4的值.
解令x=1得a0+a2+a4+a1+a3+a5=1;
令x=-1得a0+a2+a4-(a1+a3+a5)=243.
由两式可解得a0+a2+a4=122,a1+a3+a5=-121,所以a1+a3+a5a0+a2+a4=-121122.
8.(1+2x)n的展开式中第6项与第7项的系数相等,求展开式中二项式系数最大的项和系数最大的项.
解T6=Cn5(2x)5,T7=Cn6(2x)6,
依题意有Cn525=Cn6·26,解得n=8.
所以(1+2x)8的展开式中,二项式系数最大的项为T5=C84·(2x)4=1 120x4.
设第k+1项系数最大,则有
C8k·2k≥C8k-1·2k-1,C8k·2k≥C8k+1·2k+1,解得5≤k≤6.
因为k∈{0,1,2,…,8},所以k=5,或k=6.
所以系数最大的项为T6=1 792x5,T7=1 792x6.
能力提升练
1.(2019重庆南开中学高三月考)二项式3x-xn的展开式的所有项系数和为64,则展开式中的常数项为( )
A.135 B.-135 C.180 D.-240
解析令x=1得所有项的系数之和为2n=64,解得n=6,所以通项公式为Tk+1=C6k3x6-k·(-x)k=(-1)k36-kC6k·x32k-6,令32k-6=0得k=4,所以展开式中常数项为32·C64=135.故选A.
答案A
2.(2019天津武清区杨村第一中学高二期末)在(x-2)8的二项展开式中,二项式系数的最大值为a,含x5项的系数为b,则ab=( )
A.532 B.-532 C.325 D.-325
解析因为(x-2)8的二项展开式的通项为Tk+1=C8kx8-k(-2)k,因此二项式系数的最大值为a=C84=8×7×6×54×3×2=70,令8-k=5得k=3,所以,含x5项的系数为b=C83(-2)3=-448,因此ab=70-448=-532.故选B.
答案B
3.(多选)(2019山东日照实验高级中学高二月考)对于二项式1x+x3n(n∈N+),以下判断正确的有( )
A.存在n∈N+,展开式中有常数项
B.对任意n∈N+,展开式中没有常数项
C.对任意n∈N+,展开式中没有x的一次项
D.存在n∈N+,展开式中有x的一次项
解析设二项式1x+x3n(n∈N+)展开式的通项公式为Tk+1,则Tk+1=Cnk1xn-k(x3)k=Cnkx4k-n,不妨令n=4,则k=1时,展开式中有常数项,故答案A正确,答案B错误;令n=3,则k=1时,展开式中有x的一次项,故C项错误,D项正确.故选AD.
答案AD
4.(2019上海建平中学高三)设(1-2x)2 019=a0+a1x+a2x2+…+a2 019x2 019,则a12+a222+…+a2 01922 019的值为( )
A.2 B.0 C.-1 D.1
解析(1-2x)2 019=a0+a1x+a2x2+…+a2 019x2 019.
令x=0,可得a0=1.
令x=12,可得0=1+a12+a222+…+a2 01922 019,
∴a12+a222+…+a2 01922 019=-1.故选C.
答案C
5.(2020浙江高三专题练习)1.957的计算结果精确到个位的近似值为( )
A.106 B.107 C.108 D.109
解析∵1.957=(2-0.05)7=27-C71×26×0.05+C72×25×0.052-…-C77×20×(0.05)7.经计算可知T1=128,T2=-22.4,T3=1.68,T4=-0.07,从第4项开始,此后每项都影响不到最终结果,∴1.957≈T1+T2+T3=107.28,∴1.957≈107.故选B.
答案B
6.(2019云南高三月考)若1717+a(a∈Z,0≤a<4)能被3整除,则a=( )
A.0 B.1 C.2 D.3
解析因为1717+a=(18-1)17+a=1817-C1711816+…+C171618-1+a,由已知可得a=1.故选B.
答案B
7.(2020安徽高三模拟)(x2+2)2x-1x6的展开式中所有项的系数和为 ,常数项为 .?
解析将x=1代入(x2+2)2x-1x6,得所有项的系数和为3.
因为2x-1x6的展开式中含1x2的项为C64(2x)2·-1x4=60x2,2x-1x6的展开式中含常数项C63·(2x)3-1x3=-160,
所以(x2+2)2x-1x6的展开式中的常数项为60-320=-260.
答案3 -260
8.(2019江苏高二期末)在如图三角形数阵中,从第3行开始,每一行除1以外,其他每一个数字是它上一行的左右两个数字之和.已知这个三角形数阵开头几行如图所示,若在此数阵中存在某一行,满足该行中有三个相邻的数字之比为4∶5∶6,则这一行是第 行(填行数).?
解析三角形数阵中,每一行的数由二项式系数Cnk,k=0,1,2,…,n组成.设在第n行中有Cnk-1Cnk=kn-k+1=45,CnkCnk+1=k+1n-k=56,那么9k-4n=4,5n-11k=6,解得n=98,k=44.因此答案为98.
答案98
9.(2019山西高二月考)已知二项式(x+3x2)n.
(1)若它的二项式系数之和为128,求展开式中二项式系数最大的项;
(2)若x=3,n=2 016,求二项式的值被7除的余数.
解(1)∵2n=128,∴n=7.
∴展开式中二项式系数最大的项为第4,5项,
T4=C73x4(3x2)3=945x10,T5=C74x3(3x2)4=2 835x11.
(2)302 016=(28+2)2 016=282 016+C2 0161·282 015·2+…+C2 0162 015·28·22 015+22 016=28K+22 016,
转化为22 016被7除的余数,22 016=8672=(7+1)672=7k+1,即余数为1.
素养培优练
1.(2019上海奉贤中学高三月考)如图,我们在第一行填写整数0到n(n≥1),在第二行计算第一行相邻两数的和,像在杨辉三角中那样,如此进行下去,在最后一行我们会得到的整数是 .?
0 1 2 3 … n-1 n
1 3 5 … 2n-1
4 8 …
…
解析将数阵倒置,记第m行第a(1≤a≤m≤n+1)个数为Tma,则倒置后的数阵为:
T11
T21 T22
T31 T32 T33
… … … …
Tn+11 Tn+12 Tn+13 … Tn+1n+1
则有Tma=Tm+1a+Tm+1a+1,且有Tn+1a=a-1.
∵T11=T21+T22=C10T21+C11T22,
T11=T21+T22=(T31+T32)+(T32+T33)=C20T31+C21T32+C22T33,
T11=T31+2T32+T33=(T41+T42)+2(T42+T43)+(T43+T44)=C30T41+C31T42+C32T43+C33T44.
依此类推T11=Cn0Tn+11+Cn1Tn+12+…+CnnTn+1n+1=∑k=0nCnk·k,
∵kCnk=k·n!(n-k)!k!=n!(n-k)!(k-1)!=n·(n-1)!(n-k)!(k-1)!=nCn-1k-1,
因此,T11=∑k=0nCnk·k=n∑k=1nCn-1k-1=n·(1+1)n-1=n·2n-1.
答案n·2n-1
2.(2019上海位育中学高二期末)已知3x-2xn的展开式中的二项式系数之和比各项系数之和大255.
(1)求展开式所有的有理项;
(2)求展开式中系数最大的项.
解令x=1可得,展开式中各项系数之和为(-1)n,而展开式中的二项式系数之和为2n,
∴2n-(-1)n=255,
∴n=8,
∴Tk+1=C8kx8-k3(-2)kx-k2=(-2)kC8kx83-5k6,
(1)当83-5k6为整数时,Tk+1为有理项,则k=2,8,
所以展开式所有的有理项为112x,256x-4.
(2)设第k+1项最大,且k为偶数,
则(-2)kC8k≥(-2)k+2C8k+2,(-2)kC8k≥(-2)k-2C8k-2,
解得k=6,
所以展开式中系数最大的项为(-2)6C86x83-56×6=1 792x-73.