人教B版（2019）高中数学选择性必修第二册 3.3　第一课时　二项式定理word含答案

3.3　二项式定理与杨辉三角
第一课时　二项式定理
课后篇巩固提升
基础达标练
1.x-12x4的展开式中常数项为(　　)
　　　　　　　　　　　　　　　　
A.12 B.-12
C.32 D.-32
解析设第k+1项为常数项,Tk+1=C4kx4-k-12xk=C4k·-12k·x4-2k.
由4-2k=0得k=2,所以Tk+1=C42-122=32.
答案C
2.2x-1x6的展开式中x2的系数为(　　)
A.-240 B.240
C.-60 D.60
解析二项展开式的通项为Tk+1=C6k(2x)6-k·-1xk=(-1)k26-k·C6kx6-2k,当6-2k=2时,k=2,所以二项展开式中x2的系数为(-1)2×24×C62=240.
答案B
3.在2x3+1x2n(n∈N+)的展开式中,若存在常数项,则n的最小值是(　　)
A.3 B.5 C.8 D.10
解析Tk+1=Cnk(2x3)n-k1x2k=2n-k·Cnkx3n-5k.令3n-5k=0,因为0≤k≤n,且k∈N+,所以n的最小值为5.
答案B
4.(2019全国Ⅲ高考)(1+2x2)(1+x)4的展开式中x3的系数为(　　)
A.12 B.16 C.20 D.24
解析(1+2x2)(1+x)4的展开式中x3的系数为C43+2C41=4+8=12.
答案A
5.(2019重庆巴蜀学校高二期末)若(3x+x)n展开式二项式系数之和为32,则展开式中含x3项的系数为(　　)
A.40 B.30 C.20 D.15
解析∵2n=32,∴n=5.∵Tk+1=C5k(3x)5-k·(x)k=C5k35-k·x5-k2,令5-k2=3,解得k=4.则展开式中含x3的项的系数为C5435-4=15.
答案D
6.(2019天津高考)2x-18x38的展开式中的常数项为　　　　.?
解析Tk+1=C8k(2x)8-k1-8x3k
=C8k·28-k·-18k·x8-4k.
需8-4k=0,k=2.
常数项为C8226-182=C8226126=C82=28.
答案28
7.若(1+2x)6的展开式中的第2项大于它的相邻两项,则x的取值范围是　　　　　.?
解析由T2>T1,T2>T3,得C61(2x)>1,C61(2x)>C62(2x)2.解得112 答案112,15
8.已知m,n∈N+,f(x)=(1+x)m+(1+x)n的展开式中x的系数为19,求x2的系数的最小值及此时展开式中x7的系数.
解由题设知Cm1+Cn1=19,即m+n=19.
又m,n∈N+,所以1≤m≤18.
x2的系数为Cm2+Cn2=12(m2-m)+12(n2-n)=m2-19m+171.
所以当m=9或10时,x2的系数取最小值81,此时x7的系数为C97+C107=156.
9.在2x2-13x8的展开式中,求:
(1)第5项的二项式系数及系数;
(2)x2的系数.
解(1)因为T5=C84(2x2)4-13x4=C8424·x203,所以第5项的二项式系数是C84=70,第5项的系数是C84·24=1 120.
(2)2x2-13x8的通项是
Tk+1=C8k(2x2)8-k-13xk=(-1)kC8k·28-k·x16-73k,
根据题意得,16-73k=2,解得k=6,
因此x2的系数是(-1)6C86·28-6=112.
10.(1)求(1+x)2(1-x)5的展开式中x3的系数;
(2)已知xx+23xn展开式的前三项系数的和为129,这个展开式中是否含有常数项?一次项?如果没有,请说明理由;如果有,请求出来.
解(1)(1+x)2的通项为Tr+1=C2r·xr,
(1-x)5的通项为Tk+1=(-1)k·C5kxk,
其中r∈{0,1,2},k∈{0,1,2,3,4,5},令k+r=3,则有k=1,r=2;k=2,r=1;k=3,r=0.
故x3的系数为-C22C51+C21C52-C20C53=5.
(2)展开式的通项为Tk+1=Cnk(xx)n-k·23xk=Cnk·2k·x9n-11k6(k=0,1,2,…,n),
由题意,得Cn020+Cn12+Cn222=129.
所以1+2n+2n(n-1)=129,则n2=64,即n=8.
故Tk+1=C8k·2k·x72-11k6(k=0,1,2,…,8),
若展开式存在常数项,则72-11k6=0,解之,得k=7211?Z,所以展开式中没有常数项.
若展开式中存在一次项,则72-11k6=1,
即72-11k=6,所以k=6.
所以展开式中存在一次项,它是第7项,
T7=C8626x=1 792x.
能力提升练
1.(2020山东高三期末)(2-x)8展开式中x4项的系数为(　　)
　　　　　　　　　　　　　　　　
A.16 B.1 C.8 D.2
解析(2-x)8的展开式通项为Tk+1=C8k·28-k(-x)k=C8k·28-k·(-1)k·xk2.
当k2=4,即k=8时,T9=C88·20·(-1)8x4=x4.
∴x4项的系数为1.故选B.
答案B
2.(2019重庆南开中学高三月考)(x2+1)1x-2x6展开式中的常数项为(　　)
A.-220 B.-160 C.-100 D.60
解析二项式1x-2x6的通项公式为Tk+1=C6k·1x6-k·(-2x)k=C6k·(-2)k·x2k-6,令2k-6=-2,解得k=2,所以1x-2x6展开式中x-2的系数为C62·(-2)2=60;令2k-6=0,解得k=3,所以1x-2x6展开式中常数项为C63·(-2)3=-160.因此(x2+1)1x-2x6展开式中的常数项为1×60+1×(-160)=-100.故选C.
答案C
3.(2019北京临川学校高三月考)(x+2y)(x+y)5的展开式中x3y3的系数为(　　)
A.10 B.20 C.30 D.40
解析因为(x+2y)(x+y)5=(x+2y)(C50x5+C51x4y+…+C55y5),所以它的展开式中含x3y3的项有C53x3y3和2C52x3y3,故x3y3的系数为C53+2C52=30,故选C.
答案C
4.(多选)已知(1-mx)7=a0+a1x+a2x2+…+a7x7,若a4=35,则实数m=(　　)
A.1 B.-1 C.2 D.-2
解析∵a4=C74(-m)4,且a4=35,∴35m4=35,即m4=1,解得m=±1.
答案AB
5.若x>0,设x2+1x5的展开式中的第3项为M,第4项为N,则M+N的最小值为　　　　　.?
解析由T3=C52·x231x2=54x,
T4=C53·x22·1x3=52x,
则M+N=5x4+52x≥2258=522.
当且仅当5x4=52x,即x=2时,等号成立.
答案522
6.(2019江西高二月考)已知二项式x-2x10的展开式.
(1)求展开式中含x4项的系数;
(2)如果第3r项和第r+2项的二项式系数相等,求r的值.
解(1)设第k+1项为Tk+1=C10k(-2)kx10-32k,
令10-32k=4,解得k=4,
故展开式中含x4项的系数为C104(-2)4=3 360.
(2)∵第3r项的二项式系数为C103r-1,第r+2项的二项式系数为C10r+1,
∵C103r-1=C10r+1,故3r-1=r+1或3r-1+r+1=10,
解得r=1或r=2.5(不合题意,舍去),∴r=1.
素养培优练
　(2019上海实验学校高二期末)已知(xlog2x+1)n的展开式中有连续三项的系数之比为1∶2∶3,问:
(1)这三项是第几项?
(2)若展开式的倒数第二项为112,求x的值.
解(1)设展开式各项系数为Cnk,由题意Cnk-1∶Cnk∶Cnk+1=1∶2∶3,即n!(n-k+1)!(k-1)!=n!(n-k)!2k!=n!(n-k-1)!3(k+1)!,解得k=5,n=14,
∴这三项是第5,6,7项.
(2)∵倒数第二项为C1413xlog2x,
∴C1413xlog2x=14xlog2x=112,
∴xlog2x=8,∴log2(xlog2x)=log28=3,
即(log2x)2=3,∴log2x=±3,
∴x=23或x=2-3.