人教B版（2019）高中数学选择性必修第一册 2.7.2 抛物线的几何性质word含答案
文档属性
| 名称 | 人教B版（2019）高中数学选择性必修第一册 2.7.2 抛物线的几何性质word含答案 |  | |
| 格式 | docx | ||
| 文件大小 | 115.5KB | ||
| 资源类型 | 教案 | ||
| 版本资源 | 人教B版（2019） | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2020-08-12 16:05:17 | ||
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文档简介
2.7.2 抛物线的几何性质
课后篇巩固提升
基础达标练
1.若抛物线y2=4x上一点P到x轴的距离为23,则点P到抛物线的焦点F的距离为( )
A.4 B.5 C.6 D.7
解析由题意,知抛物线y2=4x的准线方程为x=-1,
∵抛物线y2=4x上一点P到x轴的距离为23,
则P(3,±23),
∴点P到抛物线的准线的距离为3+1=4,
∴点P到抛物线的焦点F的距离为4.故选A.
答案A
2.已知直线y=kx-k及抛物线y2=2px(p>0),则( )
A.直线与抛物线有一个公共点
B.直线与抛物线有两个公共点
C.直线与抛物线有一个或两个公共点
D.直线与抛物线可能没有公共点
解析∵直线y=kx-k=k(x-1),
∴直线过点(1,0),
又点(1,0)在抛物线y2=2px的内部,
∴当k=0时,直线与抛物线有一个公共点;当k≠0时,直线与抛物线有两个公共点.
答案C
3.若抛物线y2=2x上有两点A,B,且AB垂直于x轴,若|AB|=22,则点A到抛物线的准线的距离为( )
A.12 B.32 C.2 D.52
解析由抛物线y2=2x,其准线方程为x=-12,
∵AB垂直于x轴,|AB|=22,
A到y轴的距离为2,假设A在y轴上侧,即y=2,
代入抛物线y2=2x,求得x=1,
点A到抛物线的准线的距离d=1+12=32.
答案B
4.P为抛物线y2=2px的焦点弦AB的中点,A,B,P三点到抛物线准线的距离分别是|AA1|,|BB1|,|PP1|,则有( )
A.|PP1|=|AA1|+|BB1|
B.|PP1|=12|AB|
C.|PP1|>12|AB|
D.|PP1|<12|AB|
解析如图所示,根据题意,PP1是梯形AA1B1B的中位线,故|PP1|=12(|AA1|+|BB1|)=12(|AF|+|BF|)=12|AB|.
答案B
5.抛物线y2=4x的焦点为F,点P为抛物线上的动点,点M为其准线上的动点,当△FPM为等边三角形时,其面积为( )
A.23 B.4 C.6 D.43
解析由题意知,△FPM为等边三角形,
|PF|=|PM|=|FM|,∴PM⊥抛物线的准线.
设Pm24,m,则M(-1,m),等边三角形边长为1+m24,又由F(1,0),|PM|=|FM|,
得1+m24=(1+1)2+m2,得m=±23,
∴等边三角形的边长为4,其面积为43,故选D.
答案D
6.已知点(x,y)在抛物线y2=4x上,则z=x2+12y2+3的最小值是 .?
解析因为点(x,y)在抛物线y2=4x上,所以x≥0,
因为z=x2+12y2+3=x2+2x+3=(x+1)2+2,
所以当x=0时,z最小,其值为3.
答案3
7.抛物线x2=2py(p>0)的焦点为F,其准线与双曲线x23-y23=1相交于A,B两点,若△ABF为等边三角形,则p= .?
解析抛物线的焦点坐标F0,p2,准线方程为y=-p2.将y=-p2代入x23-y23=1得|x|=3+p24.
要使△ABF为等边三角形,则tanπ6=|x|p=3+p24p=33,解得p2=36,p=6.
答案6
8.若抛物线的顶点在原点,开口向上,F为焦点,M为准线与y轴的交点,A为抛物线上一点,且|AM|=17,|AF|=3,求此抛物线的标准方程.
解设所求抛物线的标准方程为x2=2py(p>0),
设A(x0,y0),由题意知M0,-p2,
∵|AF|=3,∴y0+p2=3,
∵|AM|=17,∴x02+y0+p22=17,
∴x02=8,代入方程x02=2py0得,
8=2p3-p2,解得p=2或p=4.
∴所求抛物线的标准方程为x2=4y或x2=8y.
9.已知抛物线y2=2px(p>0)的准线方程为x=-1.
(1)求p的值;
(2)直线l:y=x-1交抛物线于A,B两点,求弦长|AB|.
解(1)由抛物线y2=2px(p>0)的准线方程为x=-1,得-p2=-1,所以p=2.
(2)设A(x1,y1),B(x2,y2),由y=x-1,y2=4x消去y,得x2-6x+1=0,则x1+x2=6,x1x2=1,
所以|AB|=(x1-x2)2+(y1-y2)2
=2·(x1-x2)2=2·(x1+x2)2-4x1x2
=2×32=8.
能力提升练
1.已知抛物线C:y2=4x的焦点F和准线l,过点F的直线交l于点A,与抛物线的一个交点为B,且FA=3FB,则|AB|=( )
A.23 B.43 C.83 D.163
解析抛物线C:y2=4x的焦点F(1,0)和准线l:x=-1,设A(-1,a),B(m,n),∵FA=3FB,∴m+12=23,
∴m+1=43,AB=83.
答案C
2.抛物线y2=2x的焦点为F,则经过点F与点M(2,2)且与抛物线的准线l相切的圆有( )
A.1个 B.2个
C.0个 D.无数个
解析因为点M(2,2)在抛物线y2=2x上,又焦点F12,0,由抛物线的定义知,过点F,M且与l相切的圆的圆心即为线段FM的垂直平分线与抛物线的交点,这样的交点共有2个,故过点F,M且与l相切的圆有2个.
答案B
3.已知拋物线y2=8x的焦点为F,过点F的直线与该抛物线交于A,B两点,且16≤|AB|≤24,O为坐标原点,记直线OA,OB的斜率分别为k1,k2,则1k1+1k2的取值范围是( )
A.[-2,-2]∪[2,2] B.[-2,-1]∪[1,2]
C.[-2,-1]∪[1,2] D.[-2,2]
解析对于一般的抛物线方程y2=2px,设过焦点的直线方程为x=my+p2,
与抛物线方程联立可得y2-2pmy-p2=0,
设Ay122p,y1,By222p,y2,故y1+y2=2pm,
则1k1+1k2=y122p·1y1+y222p·1y2=2pm2p=m=1k,
其中k为直线AB的斜率,设AB所在直线的倾斜角为θ,由抛物线的焦点弦公式可知|AB|=2psin2θ=8sin2θ∈[16,24],则sin2θ∈13,12,tan2θ=1cos2θ-1=11sin2θ-1∈12,1,故1k1+1k22∈[1,2],
所以1k1+1k2的取值范围是[-2,-1]∪[1,2].
答案B
4.已知M,N是过抛物线C:y2=2px(p>0)的焦点F的直线l与抛物线C的交点,O是坐标原点,且满足MF=3FN,S△OMN=3|MN|,则p的值为 .?
解析不妨设直线MN的斜率k>0,过M,N作抛物线准线的垂线,垂足分别为G,H,
过N作NK⊥MG于K,由MF=3FN,得|MF|=3|FN|,∴|MG|=3|NH|,
∴|MK|=2|NH|=2|NF|=12|MN|,
∴|NK|=|MN|2-|MK|2=32|MN|,
由S△OMN=S△OMF+S△ONF=12|OF|·|NK|=38p|MN|,又S△OMN=3|MN|,
∴38p|MN|=3|MN|,得p=8.
答案8
5.
抛物线有如下光学性质:由其焦点射出的光线经抛物线反射后,沿平行于抛物线对称轴的方向射出.今有抛物线y2=2px(p>0),如图,一平行x轴的光线射向抛物线上的点P,反射后又射向抛物线上的点Q,再反射后又沿平行x轴方向射出,且两平行光线间的最小距离为3,则抛物线的方程为 .?
解析由抛物线的光学性质可得,PQ必过抛物线的焦点Fp2,0.
当直线PQ斜率不存在时,易得|PQ|=2p;
当直线PQ斜率存在时,设PQ的方程为y=kx-p2,P(x1,y1),Q(x2,y2),
联立y=kx-p2,y2=2px,得k2x2-px+p24=2px,
整理得4k2x2-(4k2p+8p)x+k2p2=0,
所以x1+x2=p+2pk2,x1x2=p24.
所以|PQ|=x1+x2+p=2p1+1k2>2p.
综上,当直线PQ与x轴垂直时,弦长最短,
又因为两平行光线间的最小距离为3,故2p=3,
∴抛物线方程为y2=3x.
答案y2=3x
6.
如图所示,直线l:y=x+b与抛物线C:x2=4y相切于点A.
(1)求实数b的值;
(2)求以点A为圆心,且与抛物线C的准线相切的圆的方程.
解(1)由y=x+b,x2=4y,得x2-4x-4b=0.①
因为直线l与抛物线C相切,
所以Δ=(-4)2-4×(-4b)=0,解得b=-1.
(2)由(1)可知b=-1,
故方程①即为x2-4x+4=0,解得x=2.
将其代入x2=4y,得y=1.故点A(2,1).
因为圆A与抛物线C的准线相切,
所以圆A的半径r等于圆心A到抛物线的准线y=-1的距离,
即r=|1-(-1)|=2,
所以圆A的方程为(x-2)2+(y-1)2=4.
7.
如图,已知抛物线y2=4x的焦点为F,过点P(2,0)的直线交抛物线于A(x1,y1),B(x2,y2)两点,直线AF,BF分别与抛物线交于点M,N.
(1)求y1y2的值;
(2)连接MN,记直线MN的斜率为k1,直线AB的斜率为k2,证明:k1k2为定值.
(1)解依题意,设AB的方程为x=my+2,
代入y2=4x,得y2-4my-8=0,从而y1y2=-8.
(2)证明设M(x3,y3),N(x4,y4),
k1k2=y3-y4x3-x4×x1-x2y1-y2=y3-y4y324-y424×y124-y224y1-y2=y1+y2y3+y4,设直线AM的方程为x=ny+1,
代入y2=4x,消去x得y2-4ny-4=0,
所以y1y3=-4,同理y2y4=-4,
k1k2=y1+y2y3+y4=y1+y2-4y1+-4y2=y1y2-4,
由(1)知y1y2=-8,所以k1k2=2为定值.
素养培优练
1.已知抛物线y2=16x的焦点为F,过点F作直线l交抛物线于M,N两点,则|NF|9-4|MF|的最小值为( )
A.23 B.-23 C.-13 D.13
解析抛物线y2=16x的焦点为F,则F(4,0),
当直线l的斜率不存在时,直线l为x=4,
由y2=16x,x=4,可得M(4,8),N(4,-8),
∴|MF|=|NF|=8,∴|NF|9-4|MF|=718.
当直线l的斜率存在时,设过点F的直线l的方程为y=k(x-4),不妨设M(x1,y1),N(x2,y2),
由y2=16x,y=k(x-4),消y可得k2x-(16+8k2)x+16k2=0,∴x1+x2=8+16k2,x1x2=16,
∴|MF|=x1+p2=x1+4,|NF|=x2+p2=x2+4,
∴1|MF|+1|NF|=x1+x2+84(x1+x2)+x1x2+16=16+16k232+64k2+16+16=14.∴|NF|9-4|MF|=|NF|9+4|NF|-1≥2|NF|9·4|NF|-1=13,
当且仅当|NF|=6时取等号.
故|NF|9-4|MF|的最小值为13.
答案D
2.(多选)已知抛物线C:y2=4x的焦点为F,准线为l,过点F的直线与抛物线交于P(x1,y1),Q(x2,y2)两点,点P在l上的射影为P1,则下列结论中正确的是( )
A.若x1+x2=6,则|PQ|=8
B.以PQ为直径的圆与准线l相切
C.设M(0,1),则|PM|+|PP1|≥2
D.过点M(0,1)与抛物线C有且只有一个公共点的直线至多有2条
解析若直线的斜率存在,设y=k(x-1),
由y=k(x-1),y2=4x,得k2x2-(2k2+4)x+k2=0,
x1+x2=2k2+4k2,x1x2=1.
对于A,若x1+x2=6,则k2=1,故k=1或-1,|PQ|=1+1(x1+x2)2-4x1x2=2×42=8,故A成立;
对于B,取PQ点中点N,N在l上的投影为N',Q在l上的投影为Q',根据抛物线的定义,|PP1|=|PF|,|QQ'|=|QF|,NN'为梯形的中位线,故|NN'|=12(|PP1|+|QQ'|)=12|PQ|,故B成立;
对于C,M(0,1),|PM|+|PP1|=|MP|+|PF|≥|MF|=2,故C成立;
对于D,过M(0,1)且与抛物线相切的直线有2条,过M(0,1)且与x轴平行的直线与抛物线相交且有一个交点,所以至多有三条,故D不成立.
答案ABC
课后篇巩固提升
基础达标练
1.若抛物线y2=4x上一点P到x轴的距离为23,则点P到抛物线的焦点F的距离为( )
A.4 B.5 C.6 D.7
解析由题意,知抛物线y2=4x的准线方程为x=-1,
∵抛物线y2=4x上一点P到x轴的距离为23,
则P(3,±23),
∴点P到抛物线的准线的距离为3+1=4,
∴点P到抛物线的焦点F的距离为4.故选A.
答案A
2.已知直线y=kx-k及抛物线y2=2px(p>0),则( )
A.直线与抛物线有一个公共点
B.直线与抛物线有两个公共点
C.直线与抛物线有一个或两个公共点
D.直线与抛物线可能没有公共点
解析∵直线y=kx-k=k(x-1),
∴直线过点(1,0),
又点(1,0)在抛物线y2=2px的内部,
∴当k=0时,直线与抛物线有一个公共点;当k≠0时,直线与抛物线有两个公共点.
答案C
3.若抛物线y2=2x上有两点A,B,且AB垂直于x轴,若|AB|=22,则点A到抛物线的准线的距离为( )
A.12 B.32 C.2 D.52
解析由抛物线y2=2x,其准线方程为x=-12,
∵AB垂直于x轴,|AB|=22,
A到y轴的距离为2,假设A在y轴上侧,即y=2,
代入抛物线y2=2x,求得x=1,
点A到抛物线的准线的距离d=1+12=32.
答案B
4.P为抛物线y2=2px的焦点弦AB的中点,A,B,P三点到抛物线准线的距离分别是|AA1|,|BB1|,|PP1|,则有( )
A.|PP1|=|AA1|+|BB1|
B.|PP1|=12|AB|
C.|PP1|>12|AB|
D.|PP1|<12|AB|
解析如图所示,根据题意,PP1是梯形AA1B1B的中位线,故|PP1|=12(|AA1|+|BB1|)=12(|AF|+|BF|)=12|AB|.
答案B
5.抛物线y2=4x的焦点为F,点P为抛物线上的动点,点M为其准线上的动点,当△FPM为等边三角形时,其面积为( )
A.23 B.4 C.6 D.43
解析由题意知,△FPM为等边三角形,
|PF|=|PM|=|FM|,∴PM⊥抛物线的准线.
设Pm24,m,则M(-1,m),等边三角形边长为1+m24,又由F(1,0),|PM|=|FM|,
得1+m24=(1+1)2+m2,得m=±23,
∴等边三角形的边长为4,其面积为43,故选D.
答案D
6.已知点(x,y)在抛物线y2=4x上,则z=x2+12y2+3的最小值是 .?
解析因为点(x,y)在抛物线y2=4x上,所以x≥0,
因为z=x2+12y2+3=x2+2x+3=(x+1)2+2,
所以当x=0时,z最小,其值为3.
答案3
7.抛物线x2=2py(p>0)的焦点为F,其准线与双曲线x23-y23=1相交于A,B两点,若△ABF为等边三角形,则p= .?
解析抛物线的焦点坐标F0,p2,准线方程为y=-p2.将y=-p2代入x23-y23=1得|x|=3+p24.
要使△ABF为等边三角形,则tanπ6=|x|p=3+p24p=33,解得p2=36,p=6.
答案6
8.若抛物线的顶点在原点,开口向上,F为焦点,M为准线与y轴的交点,A为抛物线上一点,且|AM|=17,|AF|=3,求此抛物线的标准方程.
解设所求抛物线的标准方程为x2=2py(p>0),
设A(x0,y0),由题意知M0,-p2,
∵|AF|=3,∴y0+p2=3,
∵|AM|=17,∴x02+y0+p22=17,
∴x02=8,代入方程x02=2py0得,
8=2p3-p2,解得p=2或p=4.
∴所求抛物线的标准方程为x2=4y或x2=8y.
9.已知抛物线y2=2px(p>0)的准线方程为x=-1.
(1)求p的值;
(2)直线l:y=x-1交抛物线于A,B两点,求弦长|AB|.
解(1)由抛物线y2=2px(p>0)的准线方程为x=-1,得-p2=-1,所以p=2.
(2)设A(x1,y1),B(x2,y2),由y=x-1,y2=4x消去y,得x2-6x+1=0,则x1+x2=6,x1x2=1,
所以|AB|=(x1-x2)2+(y1-y2)2
=2·(x1-x2)2=2·(x1+x2)2-4x1x2
=2×32=8.
能力提升练
1.已知抛物线C:y2=4x的焦点F和准线l,过点F的直线交l于点A,与抛物线的一个交点为B,且FA=3FB,则|AB|=( )
A.23 B.43 C.83 D.163
解析抛物线C:y2=4x的焦点F(1,0)和准线l:x=-1,设A(-1,a),B(m,n),∵FA=3FB,∴m+12=23,
∴m+1=43,AB=83.
答案C
2.抛物线y2=2x的焦点为F,则经过点F与点M(2,2)且与抛物线的准线l相切的圆有( )
A.1个 B.2个
C.0个 D.无数个
解析因为点M(2,2)在抛物线y2=2x上,又焦点F12,0,由抛物线的定义知,过点F,M且与l相切的圆的圆心即为线段FM的垂直平分线与抛物线的交点,这样的交点共有2个,故过点F,M且与l相切的圆有2个.
答案B
3.已知拋物线y2=8x的焦点为F,过点F的直线与该抛物线交于A,B两点,且16≤|AB|≤24,O为坐标原点,记直线OA,OB的斜率分别为k1,k2,则1k1+1k2的取值范围是( )
A.[-2,-2]∪[2,2] B.[-2,-1]∪[1,2]
C.[-2,-1]∪[1,2] D.[-2,2]
解析对于一般的抛物线方程y2=2px,设过焦点的直线方程为x=my+p2,
与抛物线方程联立可得y2-2pmy-p2=0,
设Ay122p,y1,By222p,y2,故y1+y2=2pm,
则1k1+1k2=y122p·1y1+y222p·1y2=2pm2p=m=1k,
其中k为直线AB的斜率,设AB所在直线的倾斜角为θ,由抛物线的焦点弦公式可知|AB|=2psin2θ=8sin2θ∈[16,24],则sin2θ∈13,12,tan2θ=1cos2θ-1=11sin2θ-1∈12,1,故1k1+1k22∈[1,2],
所以1k1+1k2的取值范围是[-2,-1]∪[1,2].
答案B
4.已知M,N是过抛物线C:y2=2px(p>0)的焦点F的直线l与抛物线C的交点,O是坐标原点,且满足MF=3FN,S△OMN=3|MN|,则p的值为 .?
解析不妨设直线MN的斜率k>0,过M,N作抛物线准线的垂线,垂足分别为G,H,
过N作NK⊥MG于K,由MF=3FN,得|MF|=3|FN|,∴|MG|=3|NH|,
∴|MK|=2|NH|=2|NF|=12|MN|,
∴|NK|=|MN|2-|MK|2=32|MN|,
由S△OMN=S△OMF+S△ONF=12|OF|·|NK|=38p|MN|,又S△OMN=3|MN|,
∴38p|MN|=3|MN|,得p=8.
答案8
5.
抛物线有如下光学性质:由其焦点射出的光线经抛物线反射后,沿平行于抛物线对称轴的方向射出.今有抛物线y2=2px(p>0),如图,一平行x轴的光线射向抛物线上的点P,反射后又射向抛物线上的点Q,再反射后又沿平行x轴方向射出,且两平行光线间的最小距离为3,则抛物线的方程为 .?
解析由抛物线的光学性质可得,PQ必过抛物线的焦点Fp2,0.
当直线PQ斜率不存在时,易得|PQ|=2p;
当直线PQ斜率存在时,设PQ的方程为y=kx-p2,P(x1,y1),Q(x2,y2),
联立y=kx-p2,y2=2px,得k2x2-px+p24=2px,
整理得4k2x2-(4k2p+8p)x+k2p2=0,
所以x1+x2=p+2pk2,x1x2=p24.
所以|PQ|=x1+x2+p=2p1+1k2>2p.
综上,当直线PQ与x轴垂直时,弦长最短,
又因为两平行光线间的最小距离为3,故2p=3,
∴抛物线方程为y2=3x.
答案y2=3x
6.
如图所示,直线l:y=x+b与抛物线C:x2=4y相切于点A.
(1)求实数b的值;
(2)求以点A为圆心,且与抛物线C的准线相切的圆的方程.
解(1)由y=x+b,x2=4y,得x2-4x-4b=0.①
因为直线l与抛物线C相切,
所以Δ=(-4)2-4×(-4b)=0,解得b=-1.
(2)由(1)可知b=-1,
故方程①即为x2-4x+4=0,解得x=2.
将其代入x2=4y,得y=1.故点A(2,1).
因为圆A与抛物线C的准线相切,
所以圆A的半径r等于圆心A到抛物线的准线y=-1的距离,
即r=|1-(-1)|=2,
所以圆A的方程为(x-2)2+(y-1)2=4.
7.
如图,已知抛物线y2=4x的焦点为F,过点P(2,0)的直线交抛物线于A(x1,y1),B(x2,y2)两点,直线AF,BF分别与抛物线交于点M,N.
(1)求y1y2的值;
(2)连接MN,记直线MN的斜率为k1,直线AB的斜率为k2,证明:k1k2为定值.
(1)解依题意,设AB的方程为x=my+2,
代入y2=4x,得y2-4my-8=0,从而y1y2=-8.
(2)证明设M(x3,y3),N(x4,y4),
k1k2=y3-y4x3-x4×x1-x2y1-y2=y3-y4y324-y424×y124-y224y1-y2=y1+y2y3+y4,设直线AM的方程为x=ny+1,
代入y2=4x,消去x得y2-4ny-4=0,
所以y1y3=-4,同理y2y4=-4,
k1k2=y1+y2y3+y4=y1+y2-4y1+-4y2=y1y2-4,
由(1)知y1y2=-8,所以k1k2=2为定值.
素养培优练
1.已知抛物线y2=16x的焦点为F,过点F作直线l交抛物线于M,N两点,则|NF|9-4|MF|的最小值为( )
A.23 B.-23 C.-13 D.13
解析抛物线y2=16x的焦点为F,则F(4,0),
当直线l的斜率不存在时,直线l为x=4,
由y2=16x,x=4,可得M(4,8),N(4,-8),
∴|MF|=|NF|=8,∴|NF|9-4|MF|=718.
当直线l的斜率存在时,设过点F的直线l的方程为y=k(x-4),不妨设M(x1,y1),N(x2,y2),
由y2=16x,y=k(x-4),消y可得k2x-(16+8k2)x+16k2=0,∴x1+x2=8+16k2,x1x2=16,
∴|MF|=x1+p2=x1+4,|NF|=x2+p2=x2+4,
∴1|MF|+1|NF|=x1+x2+84(x1+x2)+x1x2+16=16+16k232+64k2+16+16=14.∴|NF|9-4|MF|=|NF|9+4|NF|-1≥2|NF|9·4|NF|-1=13,
当且仅当|NF|=6时取等号.
故|NF|9-4|MF|的最小值为13.
答案D
2.(多选)已知抛物线C:y2=4x的焦点为F,准线为l,过点F的直线与抛物线交于P(x1,y1),Q(x2,y2)两点,点P在l上的射影为P1,则下列结论中正确的是( )
A.若x1+x2=6,则|PQ|=8
B.以PQ为直径的圆与准线l相切
C.设M(0,1),则|PM|+|PP1|≥2
D.过点M(0,1)与抛物线C有且只有一个公共点的直线至多有2条
解析若直线的斜率存在,设y=k(x-1),
由y=k(x-1),y2=4x,得k2x2-(2k2+4)x+k2=0,
x1+x2=2k2+4k2,x1x2=1.
对于A,若x1+x2=6,则k2=1,故k=1或-1,|PQ|=1+1(x1+x2)2-4x1x2=2×42=8,故A成立;
对于B,取PQ点中点N,N在l上的投影为N',Q在l上的投影为Q',根据抛物线的定义,|PP1|=|PF|,|QQ'|=|QF|,NN'为梯形的中位线,故|NN'|=12(|PP1|+|QQ'|)=12|PQ|,故B成立;
对于C,M(0,1),|PM|+|PP1|=|MP|+|PF|≥|MF|=2,故C成立;
对于D,过M(0,1)且与抛物线相切的直线有2条,过M(0,1)且与x轴平行的直线与抛物线相交且有一个交点,所以至多有三条,故D不成立.
答案ABC