人教B版（2019）高中数学选择性必修第一册 2.1 坐标法word含答案
文档属性
| 名称 | 人教B版（2019）高中数学选择性必修第一册 2.1 坐标法word含答案 |  | |
| 格式 | docx | ||
| 文件大小 | 141.0KB | ||
| 资源类型 | 教案 | ||
| 版本资源 | 人教B版（2019） | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2020-08-12 16:05:40 | ||
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文档简介
第二章平面解析几何
2.1 坐标法
课后篇巩固提升
基础达标练
1.数轴上的三点M,N,P的坐标分别为3,-1,-5,则MP+PN等于( )
A.-4 B.4 C.12 D.-12
解析 MP+PN=MN=-1-3=-4.
答案A
2.数轴上点P(x),A(-8),B(-4),若|PA|=2|PB|,则x等于( )
A.0 B.-163 C.163 D.0或-163
解析因为|PA|=2|PB|,所以|x+8|=2|x+4|,
解得x=0或-163.
答案D
3.P(1,-2)关于A(-1,1)的对称点P'的坐标为( )
A.(3,4)
B.(-3,4)
C.(3,-4)
D.(-3,-4)
解析设P'点坐标为(x,y),
因为A为PP'的中点,
所以1+x2=-1,-2+y2=1,解得x=-3,y=4,
故P'的坐标为(-3,4).
答案B
4.已知平行四边形的三个顶点坐标为(3,-2),(5,2),(-1,4),则第四个顶点不是( )
A.(9,-4) B.(1,8)
C.(-3,0) D.(1,-3)
解析设第四个顶点的坐标为(x,y),然后分情况讨论.
(1)若点(3,-2),(5,2)为平行四边形的对顶点,则有3+52=-1+x2,-2+22=4+y2,解得x=9,y=-4,即(9,-4);
(2)若(5,2),(-1,4)为对顶点,同理可求第四个顶点为(1,8);
(3)若(3,-2),(-1,4)为对顶点,同理可求第四个顶点为(-3,0).故选D.
答案D
5.在数轴上有点A(1),若点A负向移动3个单位长度到达点B,则AB= .向量AB与以B为起点,终点坐标为 的向量是相等向量.?
解析由于A(1)负向移动3个单位长度到达B点,所以B点坐标为-2,则向量AB的坐标为-3,若以B为起点的向量为-3,则终点坐标应为-5.
答案-3 -5
6.已知?ABCD的三个顶点A(0,0),B(x1,y1),D(x2,y2),则顶点C的坐标为 .?
解析由于?ABCD的各顶点的顺序已经确定,因此点C的坐标是唯一确定的.根据平行四边形的性质——对角线互相平分,再根据中点坐标公式,即可求出点C的坐标.
设顶点C的坐标为(m,n),AC与BD的交点为O,则O为AC和BD的中点,根据题意得点O的坐标为x2+x12,y2+y12,又因为点O为AC的中点,
所以m+02=x2+x12,n+02=y2+y12,
解得m=x2+x1,n=y2+y1,
所以点C的坐标为(x1+x2,y1+y2).
答案(x1+x2,y1+y2)
7.已知四边形ABCD的顶点A(-4,3),B(2,5),C(6,3),D(-3,0),E,F分别为边AB,BC的中点,求CE,DE,AF,DF的长度.
解设线段AB的中点为E(x,y),
则x=-4+22=-1,y=3+52=4,
则|CE|=(-1-6)2+(4-3)2 =52,
|DE|=[-1-(-3)]2+(4-0)2 =25.
即CE,DE的长度分别为52,25.
设线段BC的中点为F(m,n),
则m=2+62=4,n=5+32=4,
则|AF|=[4-(-4)]2+(4-3)2 =65,
|DF|=[4-(-3)]2+(4-0)2 =65,
即AF,DF的长度都为65.
8.
如图所示,△ABD和△BCE是在直线AC同一侧的两个等边三角形,求证:|AE|=|CD|.
证明以B为原点,以直线AC为x轴建立如图所示的平面直角坐标系,设△ABD和△BCE的边长分别为a,c,
则有A(-a,0),C(c,0),D-a2,32a,Ec2,32c.
于是|AE|
=c2+a2+32c-02
=c24+ac+a2+34c2 =a2+ac+c2 ,
|CD|=c+a22+0-32a2
=c2+ac+a24+34a2 =a2+ac+c2 ,
所以|AE|=|CD|.
能力提升练
1.当数轴上的三个点A,B,O互不重合时,它们的位置关系共有六种情况,其中使AB=OB-OA和|AB|=|OB|-|OA|同时成立的情况有( )
A.1种 B.2种 C.3种 D.4种
解析 AB=OB-OA恒成立,而要使|AB|=|OB|-|OA|成立,则点A应在点O和点B中间,共有2种可能.
答案B
2.某县位于山区,居民的居住区域大致呈如图所示的五边形,近似由一个正方形和两个等腰直角三角形组成,若AB=60 km,AE=CD=30 km,为了解决当地人民看电视难的问题,准备建一个电视转播台,理想方案是转播台距五边形各顶点距离的平方和最小,图中P1,P2,P3,P4是AC的五等分点,则转播台应建在( )
A.P1处 B.P2处 C.P3处 D.P4处
解析以A为原点,建立如图所示的平面直角坐标系,则P4(6,6),P3(12,12),P2(18,18),P1(24,24).
设转播台的坐标为P(x,y),则|PA|2+|PB|2+|PC|2+|PD|2+|PE|2=x2+y2+(x-60)2+y2+(x-30)2+(y-30)2+(x-30)2+(y-60)2+x2+(y-30)2=5x2-(120+120)x+5y2-(120+120)y+2×602+4×302,故当x=24,且y=24时,|PA|2+|PB|2+|PC|2+|PD|2+|PE|2最小,故P应在P1处.
答案A
3.使得|x-3|+|x+1|≥a恒成立的a的取值范围为 .?
解析设函数y=|x-3|+|x+1|,
因为函数y=|x-3|+|x+1|的最小值为4,即y≥4,
所以使|x-3|+|x+1|≥a恒成立a的取值范围为(-∞,4].
答案(-∞,4]
4.已知x,y∈(0,1),则x2+y2 +x2+(y-1)2 +(x-1)2+y2 +(x-1)2+(y-1)2 的最小值是 .?
解析∵x,y∈(0,1),∴x2+y2 +x2+(y-1)2 +(x-1)2+y2 +(x-1)2+(y-1)2 表示以(0,0),(0,1),(1,0),(1,1)为顶点的正方形内部的动点(x,y)到四个顶点距离的和,根据两点之间线段最短,可得当(x,y)为正方形对角线的交点,即x=y=12时,x2+y2 +x2+(y-1)2 +(x-1)2+y2 +(x-1)2+(y-1)2 的最小值为22.
答案22
5.已知一平行四边形三个顶点的坐标分别为(-1,-2),(3,1),(0,2),求这个平行四边形第四个顶点的坐标.
解设A(-1,-2),B(3,1),C(0,2),第四个顶点D的坐标为(x,y),
(1)若四边形ABCD是平行四边形,
则由中点坐标公式得x+32=-1+02,y+12=-2+22,
解得x=-4,y=-1,
∴点D的坐标为(-4,-1);
(2)若四边形ABDC是平行四边形,
则由中点坐标公式得x-12=3+02,y-22=1+22,
解得x=4,y=5,∴点D的坐标为(4,5);
(3)若四边形ACBD是平行四边形,
则由中点坐标公式得-1+32=x+02,-2+12=y+22,
解得x=2,y=-3,
∴点D的坐标为(2,-3).
综上所述,满足条件的平行四边形第四个顶点的坐标为(-4,-1)或(4,5)或(2,-3).
6.用坐标法证明:三角形的中位线平行于第三边且等于第三边的一半.
证明以线段BC的中点为原点,BC所在直线为x轴,建立如图所示的平面直角坐标系.
设A(a,b),C(c,0)(c>0),则B(-c,0).
线段AB的中点E的坐标是a-c2,b2.
线段AC的中点F的坐标是a+c2,b2,
则|EF|=a-c2-a+c22+b2-b22=c.
因为|BC|=2c,所以|EF|=12|BC|.
又E,F的纵坐标相同,所以EF∥BC.
综上所述,三角形的中位线平行于第三边且等于第三边的一半.
7.
河流的一侧有A,B两个村庄,如图所示,计划在河上共建一座水电站给两村供电.已知A,B两村到河边的垂直距离分别为300 m和600 m,且两村相距500 m.为了使水电站到两村的距离之和最小,水电站P应建在什么位置?
解如图所示,以河边所在直线为x轴,以AC为y轴建立平面直角坐标系,则A(0,300),B(400,600).
设A关于x轴的对称点为A',则A'(0,-300),连接A'B交OD于点P,此时|PA|+|PB|最小.
设|OP|=x,
则由△OA'P∽△DBP,得x400-x=300600.
解得x=4003,故水电站P应建在C,D之间距离点C4003 m的地方.
素养培优练
1.已知点A(-1,2),B(1,3),在直线y=2x上求一点P,使|PA|2+|PB|2取得最小值,并写出P点坐标.
解设P点的坐标为(x,y),由于点P在直线y=2x上,所以y=2x.
|PA|=(x+1)2+(y-2)2
=(x+1)2+(2x-2)2
=x2+2x+1+4x2-8x+4
=5x2-6x+5,
|PB|=(x-1)2+(y-3)2
=(x-1)2+(2x-3)2
=x2-2x+1+4x2-12x+9
=5x2-14x+10,
所以|PA|2+|PB|2=5x2-6x+5+5x2-14x+10=10x2-20x+15=10(x-1)2+5,
因此,当x=1时,|PA|2+|PB|2取得最小值为5,y=2×1=2,
所以所求P点的坐标为(1,2).
2.如图所示,在△ABC中,∠C=90°,P为三角形内一点,且S△PAB=S△PBC=S△PCA.求证:|PA|2+|PB|2=5|PC|2.
证明如图所示,以CA所在的直线为x轴,点C为原点建立平面直角坐标系,设C(0,0),A(3a,0),B(0,3b),P(x,y).
∵S△PCA=S△PCB=S△PAB,∴S△PCA=13S△ABC.
即12×3ay=13×12×3a·3b,
∴y=b.又S△PBC=13S△ABC,
即12×3bx=13×12×3a·3b,
∴x=a.∴适合条件的点P的坐标为(a,b).此时,
|PA|2=(3a-a)2+b2=4a2+b2,
|PB|2=(3b-b)2+a2=a2+4b2,|PC|2=a2+b2,
|PA|2+|PB|2=5(a2+b2)=5|PC|2,
∴结论成立.
2.1 坐标法
课后篇巩固提升
基础达标练
1.数轴上的三点M,N,P的坐标分别为3,-1,-5,则MP+PN等于( )
A.-4 B.4 C.12 D.-12
解析 MP+PN=MN=-1-3=-4.
答案A
2.数轴上点P(x),A(-8),B(-4),若|PA|=2|PB|,则x等于( )
A.0 B.-163 C.163 D.0或-163
解析因为|PA|=2|PB|,所以|x+8|=2|x+4|,
解得x=0或-163.
答案D
3.P(1,-2)关于A(-1,1)的对称点P'的坐标为( )
A.(3,4)
B.(-3,4)
C.(3,-4)
D.(-3,-4)
解析设P'点坐标为(x,y),
因为A为PP'的中点,
所以1+x2=-1,-2+y2=1,解得x=-3,y=4,
故P'的坐标为(-3,4).
答案B
4.已知平行四边形的三个顶点坐标为(3,-2),(5,2),(-1,4),则第四个顶点不是( )
A.(9,-4) B.(1,8)
C.(-3,0) D.(1,-3)
解析设第四个顶点的坐标为(x,y),然后分情况讨论.
(1)若点(3,-2),(5,2)为平行四边形的对顶点,则有3+52=-1+x2,-2+22=4+y2,解得x=9,y=-4,即(9,-4);
(2)若(5,2),(-1,4)为对顶点,同理可求第四个顶点为(1,8);
(3)若(3,-2),(-1,4)为对顶点,同理可求第四个顶点为(-3,0).故选D.
答案D
5.在数轴上有点A(1),若点A负向移动3个单位长度到达点B,则AB= .向量AB与以B为起点,终点坐标为 的向量是相等向量.?
解析由于A(1)负向移动3个单位长度到达B点,所以B点坐标为-2,则向量AB的坐标为-3,若以B为起点的向量为-3,则终点坐标应为-5.
答案-3 -5
6.已知?ABCD的三个顶点A(0,0),B(x1,y1),D(x2,y2),则顶点C的坐标为 .?
解析由于?ABCD的各顶点的顺序已经确定,因此点C的坐标是唯一确定的.根据平行四边形的性质——对角线互相平分,再根据中点坐标公式,即可求出点C的坐标.
设顶点C的坐标为(m,n),AC与BD的交点为O,则O为AC和BD的中点,根据题意得点O的坐标为x2+x12,y2+y12,又因为点O为AC的中点,
所以m+02=x2+x12,n+02=y2+y12,
解得m=x2+x1,n=y2+y1,
所以点C的坐标为(x1+x2,y1+y2).
答案(x1+x2,y1+y2)
7.已知四边形ABCD的顶点A(-4,3),B(2,5),C(6,3),D(-3,0),E,F分别为边AB,BC的中点,求CE,DE,AF,DF的长度.
解设线段AB的中点为E(x,y),
则x=-4+22=-1,y=3+52=4,
则|CE|=(-1-6)2+(4-3)2 =52,
|DE|=[-1-(-3)]2+(4-0)2 =25.
即CE,DE的长度分别为52,25.
设线段BC的中点为F(m,n),
则m=2+62=4,n=5+32=4,
则|AF|=[4-(-4)]2+(4-3)2 =65,
|DF|=[4-(-3)]2+(4-0)2 =65,
即AF,DF的长度都为65.
8.
如图所示,△ABD和△BCE是在直线AC同一侧的两个等边三角形,求证:|AE|=|CD|.
证明以B为原点,以直线AC为x轴建立如图所示的平面直角坐标系,设△ABD和△BCE的边长分别为a,c,
则有A(-a,0),C(c,0),D-a2,32a,Ec2,32c.
于是|AE|
=c2+a2+32c-02
=c24+ac+a2+34c2 =a2+ac+c2 ,
|CD|=c+a22+0-32a2
=c2+ac+a24+34a2 =a2+ac+c2 ,
所以|AE|=|CD|.
能力提升练
1.当数轴上的三个点A,B,O互不重合时,它们的位置关系共有六种情况,其中使AB=OB-OA和|AB|=|OB|-|OA|同时成立的情况有( )
A.1种 B.2种 C.3种 D.4种
解析 AB=OB-OA恒成立,而要使|AB|=|OB|-|OA|成立,则点A应在点O和点B中间,共有2种可能.
答案B
2.某县位于山区,居民的居住区域大致呈如图所示的五边形,近似由一个正方形和两个等腰直角三角形组成,若AB=60 km,AE=CD=30 km,为了解决当地人民看电视难的问题,准备建一个电视转播台,理想方案是转播台距五边形各顶点距离的平方和最小,图中P1,P2,P3,P4是AC的五等分点,则转播台应建在( )
A.P1处 B.P2处 C.P3处 D.P4处
解析以A为原点,建立如图所示的平面直角坐标系,则P4(6,6),P3(12,12),P2(18,18),P1(24,24).
设转播台的坐标为P(x,y),则|PA|2+|PB|2+|PC|2+|PD|2+|PE|2=x2+y2+(x-60)2+y2+(x-30)2+(y-30)2+(x-30)2+(y-60)2+x2+(y-30)2=5x2-(120+120)x+5y2-(120+120)y+2×602+4×302,故当x=24,且y=24时,|PA|2+|PB|2+|PC|2+|PD|2+|PE|2最小,故P应在P1处.
答案A
3.使得|x-3|+|x+1|≥a恒成立的a的取值范围为 .?
解析设函数y=|x-3|+|x+1|,
因为函数y=|x-3|+|x+1|的最小值为4,即y≥4,
所以使|x-3|+|x+1|≥a恒成立a的取值范围为(-∞,4].
答案(-∞,4]
4.已知x,y∈(0,1),则x2+y2 +x2+(y-1)2 +(x-1)2+y2 +(x-1)2+(y-1)2 的最小值是 .?
解析∵x,y∈(0,1),∴x2+y2 +x2+(y-1)2 +(x-1)2+y2 +(x-1)2+(y-1)2 表示以(0,0),(0,1),(1,0),(1,1)为顶点的正方形内部的动点(x,y)到四个顶点距离的和,根据两点之间线段最短,可得当(x,y)为正方形对角线的交点,即x=y=12时,x2+y2 +x2+(y-1)2 +(x-1)2+y2 +(x-1)2+(y-1)2 的最小值为22.
答案22
5.已知一平行四边形三个顶点的坐标分别为(-1,-2),(3,1),(0,2),求这个平行四边形第四个顶点的坐标.
解设A(-1,-2),B(3,1),C(0,2),第四个顶点D的坐标为(x,y),
(1)若四边形ABCD是平行四边形,
则由中点坐标公式得x+32=-1+02,y+12=-2+22,
解得x=-4,y=-1,
∴点D的坐标为(-4,-1);
(2)若四边形ABDC是平行四边形,
则由中点坐标公式得x-12=3+02,y-22=1+22,
解得x=4,y=5,∴点D的坐标为(4,5);
(3)若四边形ACBD是平行四边形,
则由中点坐标公式得-1+32=x+02,-2+12=y+22,
解得x=2,y=-3,
∴点D的坐标为(2,-3).
综上所述,满足条件的平行四边形第四个顶点的坐标为(-4,-1)或(4,5)或(2,-3).
6.用坐标法证明:三角形的中位线平行于第三边且等于第三边的一半.
证明以线段BC的中点为原点,BC所在直线为x轴,建立如图所示的平面直角坐标系.
设A(a,b),C(c,0)(c>0),则B(-c,0).
线段AB的中点E的坐标是a-c2,b2.
线段AC的中点F的坐标是a+c2,b2,
则|EF|=a-c2-a+c22+b2-b22=c.
因为|BC|=2c,所以|EF|=12|BC|.
又E,F的纵坐标相同,所以EF∥BC.
综上所述,三角形的中位线平行于第三边且等于第三边的一半.
7.
河流的一侧有A,B两个村庄,如图所示,计划在河上共建一座水电站给两村供电.已知A,B两村到河边的垂直距离分别为300 m和600 m,且两村相距500 m.为了使水电站到两村的距离之和最小,水电站P应建在什么位置?
解如图所示,以河边所在直线为x轴,以AC为y轴建立平面直角坐标系,则A(0,300),B(400,600).
设A关于x轴的对称点为A',则A'(0,-300),连接A'B交OD于点P,此时|PA|+|PB|最小.
设|OP|=x,
则由△OA'P∽△DBP,得x400-x=300600.
解得x=4003,故水电站P应建在C,D之间距离点C4003 m的地方.
素养培优练
1.已知点A(-1,2),B(1,3),在直线y=2x上求一点P,使|PA|2+|PB|2取得最小值,并写出P点坐标.
解设P点的坐标为(x,y),由于点P在直线y=2x上,所以y=2x.
|PA|=(x+1)2+(y-2)2
=(x+1)2+(2x-2)2
=x2+2x+1+4x2-8x+4
=5x2-6x+5,
|PB|=(x-1)2+(y-3)2
=(x-1)2+(2x-3)2
=x2-2x+1+4x2-12x+9
=5x2-14x+10,
所以|PA|2+|PB|2=5x2-6x+5+5x2-14x+10=10x2-20x+15=10(x-1)2+5,
因此,当x=1时,|PA|2+|PB|2取得最小值为5,y=2×1=2,
所以所求P点的坐标为(1,2).
2.如图所示,在△ABC中,∠C=90°,P为三角形内一点,且S△PAB=S△PBC=S△PCA.求证:|PA|2+|PB|2=5|PC|2.
证明如图所示,以CA所在的直线为x轴,点C为原点建立平面直角坐标系,设C(0,0),A(3a,0),B(0,3b),P(x,y).
∵S△PCA=S△PCB=S△PAB,∴S△PCA=13S△ABC.
即12×3ay=13×12×3a·3b,
∴y=b.又S△PBC=13S△ABC,
即12×3bx=13×12×3a·3b,
∴x=a.∴适合条件的点P的坐标为(a,b).此时,
|PA|2=(3a-a)2+b2=4a2+b2,
|PB|2=(3b-b)2+a2=a2+4b2,|PC|2=a2+b2,
|PA|2+|PB|2=5(a2+b2)=5|PC|2,
∴结论成立.