人教B版（2019）高中数学选择性必修第一册 2.2.1　直线的倾斜角与斜率word含答案

2.2　直线及其方程
2.2.1　直线的倾斜角与斜率
课后篇巩固提升
基础达标练
1.若直线过坐标平面内两点(1,2),(4,2+3),则此直线的倾斜角是(　　)
　　　　　　　　　　　　　　　　
A.30° B.45° C.60° D.90°
解析由题意知k=2+3-24-1=33,
∴直线的倾斜角为30°.
答案A
2.(多选)下列说法中,不正确的有(　　)
A.任何一条直线都有唯一的斜率
B.直线的倾斜角越大,它的斜率就越大
C.任何一条直线都有唯一的倾斜角
D.任何一条直线都能找出方向向量
解析A错,因为倾斜角为90°的直线没有斜率;B错,因为当0°<α<90°时,k>0,当90°<α<180°时,k<0;C对,D对.
答案AB
3.若某直线的斜率k∈(-∞,3],则该直线的倾斜角α的取值范围是(　　)
A.0,π3 B.π3,π2
C.0,π3∪π2,π D.π3,π
解析∵直线的斜率k∈(-∞,3],∴k≤tanπ3,∴该直线的倾斜角α的取值范围是0,π3∪π2,π.故选C.
答案C
4.在平面直角坐标系中,正三角形ABC的BC边所在直线的斜率是0,则AC,AB边所在直线的斜率之和为(　　)
A.-23 B.0
C.3 D.23
解析由BC边所在直线的斜率是0知,直线BC与x轴平行或重合,所以直线AC,AB的倾斜角互为补角,根据直线斜率的定义知,直线AC,AB的斜率之和为0.故选B.
答案B
5.若图中直线l1,l2,l3的斜率分别为k1,k2,k3,则(　　)

A.k1 B.k3 C.k3 D.k1 解析由题图可知,k1<0,k2>0,k3>0,
且l2比l3的倾斜角大,∴k1 答案D
6.已知直线l的倾斜角为2α-20°,则α的取值范围是　　　　.?
解析由0°≤2α-20°<180°,得10°≤α<100°.故α的取值范围为[10°,100°).
答案[10°,100°)
7.已知点A(2,-1),若在坐标轴上存在一点P,使直线PA的倾斜角为45°,则点P的坐标为　　　　.?
解析若设点P的坐标为P(x,0),
则k=0-(-1)x-2=tan 45°=1,
∴x=3,即P(3,0).
若设点P的坐标为P(0,y),
则k=y-(-1)0-2=tan 45°=1,
∴y=-3,即P(0,-3).
答案(3,0)或(0,-3)
8.已知直线PQ的斜率为-3,将直线绕点P顺时针旋转60°所得的直线的斜率是　　　　.?
解析 设直线PQ的倾斜角为θ,则0°≤θ<180°,
∵kPQ=-3,
∴tan θ=-3,则θ=120°.
将直线绕点P顺时针旋转60°,
所得直线的倾斜角60°,
∴其斜率为tan 60°=3.
答案 3
9.已知A(1,2),B(-2,-4),C2,72,D(x,-2).
(1)证明:A,B,C三点共线;
(2)若∠DAB=π2,求x的值.
(1)证明A(1,2),B(-3,-4),C2,72,
∴kAB=-4-2-3-1=32,kAC=72-22-1=32,
∴kAB=kAC,
∴A,B,C三点共线.
(2)解由AB=(-4,-6),AD=(x-1,-4),
若∠DAB=π2,则AB·AD=0,
即-4(x-1)+24=0,解得x=7,
∴x的值为7.
10.已知两点A(-3,4),B(3,2),过点P(2,-1)的直线l与线段AB有公共点,求直线l的斜率k的取值范围.
解∵直线l与线段AB有公共点,
∴直线l的倾斜角介于直线PB与PA的倾斜角之间,当l的倾斜角等于90°时,斜率不存在;当l的倾斜角小于90°时,k≥kPB;当l的倾斜角大于90°时,k≤kPA.
∵kPA=-1-42-(-3)=-1,kPB=-1-22-3=3,
∴直线l的斜率k的取值范围是(-∞,-1]∪[3,+∞).
能力提升练
1.直线l经过A(2,1),B(3,t2)(t∈R)两点,则直线l的倾斜角的取值范围是(　　)
A.0,π4
B.[0,π]
C.0,π2∪3π4,π
D.0,π4∪π2,π
解析由题意可得,直线的斜率k=t2-1≥-1,
故tan α≥-1,
根据正切函数的性质可知,0≤α<π2或3π4≤α<π,
故选C.
答案C
2.若a=ln21,b=ln32,c=ln54,则(　　)
A.a C.c
解析lnxx-1=lnx-0x-1表示函数y=ln x图像上的点(x,y)与点D(1,0)连线的斜率,如图所示.
令a=kDA,b=kDB,c=kDC,由图知kDC 答案B
3.若直线l的倾斜角α满足2π3≤α≤5π6,则其斜率k的范围为(　　)
A.(1,3] B.[-3,-1]
C.-3,-33 D.33,3
解析∵直线l的倾斜角α满足2π3≤α≤5π6,且k=tan α,
又tan2π3=-3,tan5π6=-33,函数y=tan x在π2,π上单调递增,∴k的范围为-3,-33.
故选C.
答案C
4.(2019静安区一模)若直线l的一个法向量为n=(2,1),则直线l的斜率k=　　　　.?
解析根据题意,设直线l的斜率为k,则其方向向量为a=(1,k),
若直线l的一个法向量为n=(2,1),则有a·n=2+k=0,解得k=-2.
答案-2
5.若三点A(3,1),B(-2,k),C(8,1)能构成三角形,则实数k的取值范围为　　　　　　　.?
解析kAB=k-1-2-3=1-k5,kAC=1-18-3=05=0.
要使A,B,C三点能构成三角形,需三点不共线,
即kAB≠kAC,∴1-k5≠0,∴k≠1.
答案(-∞,1)∪(1,+∞)
6.已知A(3,3),B(-4,2),C(0,-2).
(1)求直线AB和AC的斜率;
(2)若点D在线段BC(包括端点)上移动,求直线AD的斜率的变化范围.
解(1)由斜率公式,可得直线AB的斜率kAB=2-3-4-3=17,直线AC的斜率kAC=-2-30-3=53,即直线AB的斜率为17,直线AC的斜率为53.

(2)如图,当点D由点B运动到点C时,直线AD的斜率由kAB增大到kAC,由(1)知,kAB=17,kAC=53.
故直线AD的斜率的变化范围是17,53.
素养培优练
1.一束光线从点A(-2,3)射入,经x轴上点P反射后,经过点B(5,7),则点P的坐标为　　　　　.?
解析方法一:设P(x,0),由光的反射原理知,入射角等于反射角,即α=β,如图①.
所以反射光线PB的倾斜角β与入射光线AP的倾斜角(π-α)互补,
因此,kAP=-kBP,即0-3x-(-2)=-0-7x-5,解得x=110,即P110,0.

图①

图②
方法二:由题意知,x轴是镜面,易知入射点A(-2,3)关于x轴的对称点为A'(-2,-3).
由光学知识知点A'应在反射光线所在的直线上,即A',P,B三点共线,如图②.
从而有kA'P=kPB,即0+3x+2=75-x,
解得x=110,即P110,0.
答案110,0
2.设直线l与坐标轴的交点分别为M(a,0),N(0,b),且ab≠0,斜率为k,坐标原点到直线l的距离为d.
试证:(1)b=-ka;
(2)a2k2=d2(1+k2);
(3)1d2=1a2+1b2.
证明(1)由斜率公式得k=b-00-a=-ba,所以b=-ka.
(2)由面积公式可得S△OMN=12|a||b|=12d·a2+b2,所以a2b2=d2(a2+b2).
又由(1)b=-ka可得b2=k2a2,代入上式即得a2k2=d2(1+k2).
(3)由(2)中a2b2=d2(a2+b2),
可得1d2=a2+b2a2b2=1a2+1b2,
即1d2=1a2+1b2.