人教B版（2019）高中数学选择性必修第一册 2.2.2　第2课时　直线的两点式方程与一般式方程word含答案

第2课时　直线的两点式方程与一般式方程
课后篇巩固提升
基础达标练
1.已知M3,72,A(1,2),B(3,1),则过点M和线段AB的中点的直线的斜率为(　　)
A.-2 B.2 C.12 D.-12
解析AB的中点N的坐标为2,32,
∴kMN=72-323-2=2.
答案B
2.下列说法中正确的是(　　)
A.经过定点P0(x0,y0)的直线都可以用方程y-y0=k(x-x0)来表示
B.经过定点A(0,b)的直线都可以用方程y=kx+b来表示
C.不经过原点的直线都可以用方程xa+yb=1来表示
D.经过任意两个不同的点P1(x1,y1),P2(x2,y2)的直线都可以用方程(y-y1)(x2-x1)=(x-x1)(y2-y1)来表示
答案D
3.直线xa+yb=1过第一、三、四象限,则(　　)
A.a>0,b>0 B.a>0,b<0
C.a<0,b>0 D.a<0,b<0
答案B
4.(多选)若直线过点A(1,2),且在两坐标轴上截距的绝对值相等,则直线l的方程可能为(　　)
A.x-y+1=0 B.x+y-3=0
C.2x-y=0 D.x-y-1=0
解析当直线经过原点时,斜率为k=2-01-0=2,所求的直线方程为y=2x,即2x-y=0;
当直线不过原点时,设所求的直线方程为x±y=k,把点A(1,2)代入可得1-2=k,或1+2=k,
求得k=-1或k=3,故所求的直线方程为x-y+1=0 ,或x+y-3=0.
综上,所求的直线方程为2x-y=0 ,x-y+1=0,或x+y-3=0.
故选A,B,C.
答案ABC
5.两条直线l1:xa-yb=1和l2:xb-ya=1在同一直角坐标系中的图像可以是(　　)

解析两条直线化为截距式分别为xa+y-b=1,xb+y-a=1.假定l1,判断a,b,确定l2的位置,知A符合.
答案A
6.过点A(1,4)且在两坐标轴上的截距相等的直线共有　　　　条.?
解析当直线过坐标原点时,方程为y=4x,符合题意;
当直线不过原点时,设直线方程为x+y=a,
代入A的坐标得a=1+4=5.
直线方程为x+y=5.
所以过点A(1,4)且在两坐标轴上的截距相等的直线共有2条.
答案2
7.已知直线l:(m2+1)x-2y+1=0(m为常数),若直线l的斜率为12,则m=　　　　;若m=-1,直线l的倾斜角为　　　　.?
解析∵直线l:(m2+1)x-2y+1=0(m为常数),直线l的斜率为12,
∴12=m2+12,解得m=0;
∵直线l:(m2+1)x-2y+1=0(m为常数),m=-1,
∴直线l的斜率k=(-1)2+12=1,∴直线l的倾斜角为45°.
答案0　45°
8.设直线l的方程为(m2-2m-3)x+(2m2+m-1)y=2m-6,根据下列条件分别求m的值.
(1)直线经过定点P(2,-1);
(2)直线在y轴上的截距为6;
(3)直线与y轴垂直
解(1)由于点P在直线l上,即点P的坐标(2,-1)符合方程(m2-2m-3)x+(2m2+m-1)y=2m-6,把点P的坐标(2,-1)代入方程,得2(m2-2m-3)-(2m2+m-1)=2m-6,解得m=17.
(2)令x=0,得y=2m-62m2+m-1,根据题意可知2m-62m2+m-1=6,解得m=-13或0.
(3)直线与x轴平行,
则有m2-2m-3=0,2m2+m-1≠0,
解得m=3.
9.

已知△ABC的三个顶点分别为A(0,4),B(-2,6),C(-8,0).
(1)求边AC和AB所在直线的方程;
(2)求AC边上的中线BD所在直线的方程.
解(1)由截距式,得边AC所在直线的方程为
x-8+y4=1,即x-2y+8=0.
由两点式,得边AB所在直线的方程为y-46-4=x-0-2-0,即x+y-4=0.
(2)由题意,得点D的坐标为(-4,2),
由两点式,得边BD所在直线的方程为y-26-2=x-(-4)-2-(-4),
即2x-y+10=0.
能力提升练
1.若直线Ax+By+C=0经过第一、二、四象限,则(　　)
A.AB>0,且BC>0 B.AB>0,且BC<0
C.AB<0,且BC>0 D.AB<0,且BC<0
解析若B=0,直线方程化为x=-CA,直线不可能过第一、二、四象限,因此B≠0,则直线方程化为y=-ABx-CB,由直线过第一、二、四象限知-AB<0,-CB>0,所以AB>0,BC<0,故选B.
答案B
2.过点(-1,0),且与直线x+15=y+1-3有相同方向向量的直线的方程为(　　)
A.3x+5y-3=0 B.3x+5y+3=0
C.3x+5y-1=0 D.5x-3y+5=0
解析由x+15=y+1-3可得,3x+5y+8=0,即直线的斜率为-35,
由题意可知所求直线的斜率k=-35,
故所求的直线方程为y=-35(x+1),即3x+5y+3=0.
故选B.
答案B
3.已知直线a1x+b1y+1=0和直线a2x+b2y+1=0都过点A(2,1),则过点P1(a1,b1)和点P2(a2,b2)的直线方程是(　　)
A.2x+y-1=0 B.2x+y+1=0
C.2x-y+1=0 D.x+2y+1=0
解析把A(2,1)坐标代入两条直线a1x+b1y+1=0和a2x+b2y+1=0,得
2a1+b1+1=0,2a2+b2+1=0,
∴2(a1-a2)=b2-b1,
过点P1(a1,b1),P2(a2,b2)的直线的方程是y-b1b2-b1=x-a1a2-a1,
∴y-b1=-2(x-a1),则2x+y-(2a1+b1)=0.
∵2a1+b1+1=0,
∴2a1+b1=-1,∴所求直线方程为2x+y+1=0.
故选B.
答案B
4.在平面直角坐标系xOy中,过点(1,1)的直线与x轴的正半轴,y轴的正半轴分别交于A,B两点,则△OAB的面积的最小值为(　　)
A.1 B.2 C.3 D.4
解析平面直角坐标系xOy中,过点(1,1)的直线与x轴的正半轴,y轴的正半轴分别交于A,B两点,
设直线方程为y-1=k(x-1),k<0,可得Ak-1k,0,B(0,1-k),
则△OAB的面积为12·k-1k·(1-k)=-k2+2k-12k=-k2+1+-12k≥1+214=2,
当且仅当k=-1时,取等号,
故△OAB的面积的最小值为2,
故选B.
答案B
5.若直线l与两坐标轴围成一个等腰直角三角形,且此三角形的面积为18,则直线l的方程为　　　　.?
解析∵直线l与两坐标轴围成一个等腰直角三角形,
∴直线l在两坐标轴上的截距相等或互为相反数且不为0.
若l在两坐标轴上的截距相等,且设为a(a≠0),
则直线方程为xa+ya=1,即x+y-a=0.
∵12|a|·|a|=18,即a2=36,∴a=±6,
∴直线方程为x+y±6=0.
若l在两坐标轴上的截距互为相反数,不妨设在x轴上的截距为a,则在y轴上的截距为-a(a≠0),
故直线方程为xa+y-a=1,即x-y-a=0.
∵12|-a|·|a|=18,即a2=36,
∴a=±6,∴直线方程为x-y±6=0.
综上所述,直线l的方程为x+y±6=0或x-y±6=0.
答案x+y±6=0或x-y±6=0
6. 在平面直角坐标系中,已知一条动直线l与两坐标轴的正半轴围成的三角形的面积比直线l在两坐标轴上的截距之和大1,则该三角形面积的最小值为　　　　　　.?
解析设直线方程为xa+yb=1(a>0,b>0),
而面积S=12ab,
又由面积比直线l在两坐标轴上的截距之和大1,得12ab=a+b+1.①
∵a>0,b>0,∴a+b+1≥2ab+1.
结合①得12ab≥2ab+1,即(ab)2-4ab-2≥0,解得ab≥2+6或ab≤2-6(舍),
∴ab≥(2+6)2=10+46,
当且仅当a=b=2+6时,等号成立.
故当a=b=2+6时,面积最小为5+26.
答案5+26
7.设直线l的方程为(a+1)x+y+2-a=0(a∈R).
(1)若l在两坐标轴上的截距相等,求l的方程;
(2)若l不经过第二象限,求实数a的取值范围.
解(1)当a=-1时,y=-3,不符合题意.
当a≠-1时,令x=0,得y=a-2;令y=0,得x=a-2a+1.
∵l在两坐标轴上的截距相等,∴a-2=a-2a+1,
解得a=2或a=0,
∴所求的直线l方程为3x+y=0或x+y+2=0.
(2)直线l的方程可化为y=-(a+1)x+a-2,
∵l不过第二象限,∴-(a+1)≥0,a-2≤0,
∴a≤-1,
∴a的取值范围为(-∞,-1].
8.过点M(2,1)作直线l分别交x轴、y轴的正半轴于点A,B.
(1)当M为AB中点时,求直线l的方程;
(2)设O是坐标原点,当△AOB的面积最小时,求直线l的方程.
解(1)设直线l的方程为xa+yb=1(a>0,b>0),则A(a,0),B(0,b).
∵M为AB中点,
∴a2=2,b2=1,∴a=4,b=2,
则直线l的方程为x4+y2=1,即x+2y-4=0.
(2)∵M(2,1)在直线l上,
∴2a+1b=1,又∵1=2a+1b≥22ab,∴ab≥8,∴S=12ab≥4,
当且仅当a=4,b=2时,等号成立,
∴直线l的方程为x4+y2=1,即x+2y-4=0.
素养培优练
1.

如图,在平面直角坐标系xOy中,设△ABC的顶点分别为A(0,a),B(b,0),C(c,0),点P(0,p)是线段OA上一点(异于端点),a,b,c,p均为非零实数.直线BP,CP分别交AC,AB于点E,F.一同学已正确地求出直线OE的方程为1b-1cx+1p-1ay=0,请你完成直线OF的方程:(　　　　　)x+1p-1ay=0.?
解析直线CP的方程为xc+yp=1,
直线AB的方程为xb+ya=1,
则点F的坐标必然满足方程xc+yp=xb+ya,
即1c-1bx+1p-1ay=0.
又该方程表示的直线也经过原点O,故直线OF的方程就是1c-1bx+1p-1ay=0.
答案1c-1b
2.在△ABC中,已知顶点A(2,4),AB边上的中线所在直线方程为x+2y-5=0,内角∠ABC的平分线所在直线方程为2x-y+10=0.
(1)求点B的坐标;
(2)求直线BC的方程.
解(1)由内角∠ABC的平分线所在直线方程为2x-y+10=0知,
点B在直线2x-y+10=0上,
设B(m,2m+10),
则AB中点D的坐标为m+22,2m+142.
由AB边上的中线所在直线方程为x+2y-5=0知,
点D在直线x+2y-5=0上,
∴m+22+2×2m+142-5=0,解得m=-4.
∴点B的坐标为(-4,2).
(2)设点E(a,b)与点A(2,4)关于直线2x-y+10=0对称,则2×a+22-b+42+10=0,b-4a-2×2=-1,
即2a-b=-20,a+2b=10,解得a=-6,b=8.
∴点E的坐标为(-6,8).
由直线2x-y+10=0为内角∠ABC的平分线所在直线,知点E在直线BC上.
∴直线BC方程为y-2=8-2-6-(-4)(x+4),
即3x+y+10=0.