人教B版（2019）高中数学选择性必修第一册 2.2.3　两条直线的位置关系word含答案

2.2.3　两条直线的位置关系
课后篇巩固提升
基础达标练
1.如果直线ax+2y+2=0与直线3x-y-2=0平行,那么a等于(　　)
　　　　　　　　　　　　　　　　
A.-3 B.-6
C.-32 D.23
答案B
2.下列四组直线中,互相垂直的一组是(　　)
A.2x+y-1=0与2x-y-1=0
B.2x+y-1=0与x-2y+1=0
C.x+2y-1=0与x-y-1=0
D.x+y=0与x+y-3=0
解析对于A,2x+y-1=0与2x-y-1=0,有2×2+1×(-1)≠0,两直线不垂直,不符合题意;
对于B,2x+y-1=0与x-2y+1=0,有2×1+1×(-2)=0,两直线垂直,符合题意;
对于C,x+2y-1=0与x-y-1=0,有1×1+2×(-1)≠0,两直线不垂直,不符合题意;
对于D,x+y=0与x+y-3=0,两直线平行,不符合题意.
故选B.
答案B
3.已知点A(1,2),B(3,1),则线段AB的垂直平分线的方程是(　　)
A.4x+2y=5 B.4x-2y=5
C.x+2y=5 D.x-2y=5
解析可以先求出AB的中点坐标为2,32,又直线AB的斜率k=1-23-1=-12,则线段AB的垂直平分线的斜率为2.由点斜式方程,可得所求垂直平分线的方程为y-32=2(x-2),即4x-2y=5.
答案B
4.已知A(7,-4)关于直线l的对称点为B(-5,6),则直线l的方程是(　　)
A.5x+6y-11=0 B.5x-6y+1=0
C.6x+5y-11=0 D.6x-5y-1=0
答案D
5.已知l平行于直线3x+4y-5=0,且l和两坐标轴在第一象限内所围成的三角形的面积是24,则直线l的方程是(　　)
A.3x+4y-122=0 B.3x+4y+122=0
C.3x+4y-24=0 D.3x+4y+24=0
解析设直线l的方程是3x+4y-c=0,c>0,由题意,知12×c3×c4=24,所以c=24.
答案C
6.已知在平行四边形ABCD中,A(1,1),B(-2,3),C(0,-4),则点D的坐标为　　　　　.?
解析设D(x,y),由题意可知,AB∥CD,且AD∥BC.
所以kAB=kCD,且kAD=kBC,
所以3-1-2-1=y+4x,-4-30+2=y-1x-1,解得x=3,y=-6.
所以点D的坐标为(3,-6).
答案(3,-6)
7.若经过点(m,3)和(2,m)的直线l与斜率为-4的直线互相垂直,则m的值是　　　　　.?
解析由题意可知kl=14,又因为kl=m-32-m,
所以m-32-m=14,解得m=145.
答案145
8.直线l1,l2的斜率k1,k2是关于k的方程2k2-4k+m=0的两根,若l1⊥l2,则m=　　　　　;若l1∥l2,则m=　　　　　.?
解析由一元二次方程根与系数的关系得k1·k2=m2,
若l1⊥l2,则m2=-1,∴m=-2.
若l1∥l2,则k1=k2,即关于k的二次方程2k2-4k+m=0有两个相等的实根,
∴Δ=(-4)2-4×2×m=0,∴m=2.
答案-2　2
9.已知△ABC的三个顶点A(1,1),B(4,0),C(3,2),求BC边上的高所在的直线方程及高的长度.
解设BC边上的高为AD,因为kBC=2-03-4=-2,AD⊥BC,所以直线AD的斜率kAD=12.
所以BC边上的高AD所在的直线方程为y-1=12(x-1),即x-2y+1=0.
又直线BC的方程为y-20-2=x-34-3,
即2x+y-8=0.
联立直线AD与BC的方程得x-2y+1=0,2x+y-8=0,
解得x=3,y=2,即点D的坐标为(3,2).
因此,高AD的长|AD|=(3-1)2+(2-1)2=5,
所以BC边上的高的长度为5.
10.

如图,P是正方形ABCD的对角线BD上一点(不含端点),四边形PECF是矩形.证明:PA⊥EF.
证明如图,以B为原点,以BC所在直线为x轴建立平面直角坐标系,设正方形的边长为1,则P点坐标为(x,x)(0
则A(0,1),E(1,x),F(x,0),
kPA=1-x0-x=x-1x,kEF=x1-x,
所以kPAkEF=-1.
所以PA⊥EF.
能力提升练
1.已知直线l1:xsin α+y-1=0,直线l2:x-3ycos α+1=0.若l1⊥l2,则sin 2α=(　　)
A.35 B.-35 C.23 D.-23
解析∵l1⊥l2,∴sin α-3cos α=0,即tan α=3.
∴sin 2α=2sin αcos α=2sinαcosαsin2α+cos2α=2tanα1+tan2α=610=35.
答案A
2.将一张画有平面直角坐标系的图纸折叠一次,使得点A(0,2)与点B(4,0)重合,若此时点C(7,3)与点D(m,n)也重合,则m+n的值为(　　)
A.345 B.335 C.325 D.315
解析根据题意不妨设点A与点B关于直线l对称,则点C与点D也关于直线l对称.
易知kAB=-12,所以直线l的斜率为2,又易知AB的中点坐标为(2,1),则直线l的方程为y-1=2(x-2),即y=2x-3,因为CD中点7+m2,3+n2在直线l上,且kCD=-12,所以可列方程组为n-3m-7=-12,3+n2=7+m-3,解得m=35,n=315,所以m+n=345.
答案A
3.已知点O(0,0),A(0,b),B(a,a3).若△OAB为直角三角形,则必有(　　)
A.b=a3
B.b=a3+1a
C.(b-a3)b-a3-1a=0
D.|b-a3|+b-a3-1a=0
解析若O为直角顶点,则B在x轴上,则a必为0,此时O,B重合,不符合题意;
若A为直角顶点,则b=a3≠0;
若B为直角顶点,根据斜率关系可知a2·a3-ba=-1(a≠0),所以a(a3-b)=-1,即b-a3-1a=0.
以上两种情况皆有可能,故只有C满足条件.
答案C
4.已知直线l的倾斜角为34π,直线l1经过点A(3,2),B(a,-1),且l1与l垂直,直线l2:4x+by+1=0与直线l1平行,则a+b等于　　　　　.?
解析因为直线l的倾斜角为34π,
所以直线l的斜率k=-1.
又l1与l垂直,所以直线l1的斜率k1=-1k=1,
即2+13-a=1,解得a=0,且l2与l1平行,则k2=-4b=k1=1,所以b=-4,故a+b=-4.
答案-4
5.若点P(a,b)与点Q(b-1,a+1)关于直线l对称,则直线l的倾斜角α为　　　　　.?
解析由kPQ=(a+1)-b(b-1)-a=a-b+1b-a-1=-1,
由题意知PQ⊥l,则kPQ·kl=-1,得kl=1,
∴直线l的倾斜角为45°.
答案45°
6.已知直线l1经过点A(3,a),B(a-2,3),直线l2经过点C(2,3),D(-1,a-2),若l1⊥l2,求a的值.
解由题意知直线l2的斜率k2一定存在,直线l1的斜率可能不存在.
当直线l1的斜率不存在时,3=a-2,即a=5,此时k2=0,
则l1⊥l2,满足题意.
当直线l1的斜率k1存在时,a≠5,由斜率公式,得k1=3-aa-2-3=3-aa-5,k2=a-2-3-1-2=a-5-3.
由l1⊥l2,知k1k2=-1,
即3-aa-5×a-5-3=-1,解得a=0.
综上所述,a的值为0或5.
7.若三条直线2x-y+4=0,x-y+5=0和2mx-3y+12=0围成直角三角形,则m=　　　　　　.?
解析设l1:2x-y+4=0,l2:x-y+5=0,l3:2mx-3y+12=0,l1不垂直于l2,要使围成的三角形为直角三角形,则l3⊥l1或l3⊥l2.
由l3⊥l1,得2×23m=-1,∴m=-34;
由l3⊥l2,得1×23m=-1,∴m=-32.
故m=-34或-32.
答案-34或-32
8.求经过点A(2,1)且与直线2x+ay-10=0垂直的直线l的方程.
解(方法一)①当a=0时,已知直线化为x=5,此时直线斜率不存在,则所求直线l的斜率为0,因为直线l过点A(2,1),所以直线l的方程为y-1=0(x-2),即y=1.
②当a≠0时,已知直线2x+ay-10=0的斜率为-2a,因为直线l与已知直线垂直,设直线l的斜率为k,
所以k·-2a=-1,所以k=a2.
因为直线l过点A(2,1),
所以所求直线l的方程为y-1=a2(x-2),
即ax-2y-2a+2=0.
所求直线l的方程为y=1或ax-2y-2a+2=0.
又y=1是ax-2y-2a+2=0的一个特例,
故所求直线l的方程为ax-2y-2a+2=0.
(方法二)根据与直线Ax+By+C=0垂直的直线方程可设为Bx-Ay+m=0.
因此根据题意可设所求方程为ax-2y+m=0,
又因为该直线过点A(2,1),
所以2a-2+m=0,即m=2-2a.
所以所求方程为ax-2y-2a+2=0.
9.

如图所示,一个矩形花园里需要铺设两条笔直的小路,已知矩形花园长|AD|=5 m,宽|AB|=3 m,其中一条小路定为AC,另一条小路过点D,如何在BC上找到一点M,使得AC与DM两条小路互相垂直?

解如图所示,以点B为原点,分别以BC,BA所在直线为x轴、y轴建立平面直角坐标系,单位:m.
由|AD|=5 m,|AB|=3 m得C(5,0),D(5,3),A(0,3).
设点M的坐标为(x,0),∵AC⊥DM,
∴kAC·kDM=-1,即3-00-5·3-05-x=-1,解得x=165.
故当|BM|=3.2 m时,两条小路AC与DM互相垂直.
素养培优练
1.已知P(2,3)是两条直线l1:a1x+b1y+1=0与l2:a2x+b2y+1=0的交点,试求过A(a1,b1),B(a2,b2)两点的直线方程.
解(方法一)因为P(2,3)是两条直线的交点,
所以2a1+3b1+1=0,2a2+3b2+1=0,两式相减,
得2(a1-a2)+3(b1-b2)=0,即b1-b2a1-a2=-23.
所以直线AB的斜率k=b1-b2a1-a2=-23.
故所求直线的方程为y-b1=b1-b2a1-a2(x-a1)=-23(x-a1).所以2x+3y-(3b1+2a1)=0.
又2a1+3b1=-1,所以2x+3y+1=0.
故过A(a1,b1),B(a2,b2)两点的直线的方程为2x+3y+1=0.
(方法二)由两直线过P(2,3)知2a1+3b1+1=0,2a2+3b2+1=0.
由上述方程组可知点A(a1,b1)与B(a2,b2)在直线2x+3y+1=0上.故过A(a1,b1),B(a2,b2)两点的直线方程为2x+3y+1=0.
2.已知点A(4,-1)和点B(8,2)均在直线l:x-y-1=0的同侧,动点P(x,y)在直线l上,求|PA|+|PB|的最小值.
解如图所示,设点A1与A关于直线l对称,P0为A1B与直线l的交点,所以|P0A1|=|P0A|,|PA1|=|PA|.

在△A1PB中,|PA1|+|PB|≥|A1B|=|A1P0|+|P0B|=|P0A|+|P0B|,因此当P点运动到P0点处时,|PA|+|PB|取到最小值|A1B|.
设A关于直线l的对称点A1(x1,y1),
则y1+1x1-4·1=-1,x1+42-y1-12-1=0,解得x1=0,y1=3,
所以A1(0,3).
所以(|PA|+|PB|)min=|A1B|=82+12=65.