人教B版（2019）高中数学选择性必修第一册 2.2.4　点到直线的距离word含答案

2.2.4　点到直线的距离
课后篇巩固提升
基础达标练
1.原点到直线x+2y-5=0的距离为(　　)
　　 　　　　　　　　　　　　　　
A.1 B.3 C.2 D.5
解析d=|0+2×0-5|12+22=5.
答案D
2.设两条直线的方程分别为x+y-a=0,x+y+b=0,已知a,b是关于x的方程x2+x+c=0的两个实数根,则这两条直线之间的距离是(　　)
A.24 B.2
C.22 D.无法确定
解析∵a,b是关于x的方程x2+x+c=0的两个实数根,∴Δ=1-4c≥0,a+b=-1,
则这两条直线之间的距离=|a+b|2=22.故选C.
答案C
3.已知直线3x+my-3=0与6x+4y+1=0互相平行,则它们之间的距离是(　　)
A.4 B.21313 C.51326 D.71326
解析∵3x+my-3=0与6x+4y+1=0平行,∴36=m4,∴m=2,化6x+4y+1=0为3x+2y+12=0,∴d=12-(-3)32+22=7213=71326.
答案D
4.已知点A(1,3),B(3,1),C(-1,0),则△ABC的面积等于(　　)
A.3 B.4 C.5 D.6
解析设AB边上的高为h,则S△ABC=12|AB|·h,
|AB|=(3-1)2+(1-3)2=22,
AB边上的高h就是点C到直线AB的距离,
AB边所在的直线方程为y-31-3=x-13-1,
即x+y-4=0.
点C到直线x+y-4=0的距离为|-1+0-4|2=52,因此,S△ABC=12×22×52=5.
答案C
5.直线l过点A(3,4),且与点B(-3,2)的距离最远,则直线l的方程为(　　)
A.3x-y-5=0 B.3x-y+5=0
C.3x+y+13=0 D.3x+y-13=0
解析由题意知,当l与AB垂直时,符合要求,
因为kAB=4-23-(-3)=13,
所以直线l的斜率k=-3.
所以直线l的方程为y-4=-3(x-3),
即3x+y-13=0.
答案D
6.已知0 A.12 B.14 C.18 D.1

解析l1:k(x-2)-2y+8=0过定点(2,4),l2:k2(y-4)=4-2x也过定点(2,4),如图所示,点A(0,4-k),B(2k2+2,0),S=12×2k2×4+(4-k+4)×2×12=4k2-k+8.
当k=18时,S取得最小值.
答案C
7.直线4x-3y+5=0与直线8x-6y+5=0之间的距离为　　　　　.?
解析直线8x-6y+5=0化简为4x-3y+52=0,则由两条平行直线之间的距离公式得5-5242+32=12.
答案12
8.经过点P(-3,4),且与原点的距离等于3的直线l的方程为　　　　　　　　　　.?
解析(1)当直线l的斜率不存在时,原点到直线l:x=-3的距离等于3,满足题意.
(2)当直线l的斜率存在时,
设直线l的方程为y-4=k(x+3),
即kx-y+3k+4=0.
原点到直线l的距离d=|3k+4|k2+(-1)2=3,
解得k=-724.
直线l的方程为7x+24y-75=0.
综上可知,直线l的方程为x=-3或7x+24y-75=0.
答案x=-3或7x+24y-75=0
9.平面直角坐标系中,已知△ABC三个顶点的坐标分别为A(-1,2),B(-3,4),C(0,6).
(1)求BC边上的高所在的直线方程;
(2)求△ABC的面积.
解(1)直线BC的斜率kBC=6-40-(-3)=23,
则BC边上高所在直线斜率k=-32,
则BC边上的高所在的直线方程为y-2=-32(x+1),即3x+2y-1=0.
(2)BC的方程为y=23x+6,
即2x-3y+18=0.
点A到直线BC的距离d=|2×(-1)-3×2+18|32+22=101313,|BC|=(0+3)2+(6-4)2=13,
则△ABC的面积S=12|BC|d=12×13×101313=5.
10.已知直线l在两坐标轴上的截距相等,且点P(4,3)到直线l的距离为32,求直线l的方程.
解由题意知,若截距为0,可设直线l的方程为y=kx,
由题意知|4k-3|k2+1=32,
解得k=-12±3142,直线l的方程为y=-12+3142x或y=-12-3142x;
若截距不为0,设所求直线l的方程为x+y-a=0,
由题意知|4+3-a|2=32,
解得a=1或a=13,直线l的方程为x+y-1=0或x+y-13=0.
综上所述,所求直线l的方程为y=-12+3142x,
y=-12-3142x,x+y-1=0或x+y-13=0.
能力提升练
1.已知直线过两直线x-y+1=0和x+y-1=0的交点,且原点到该直线的距离等于1,这样的直线共有(　　)
A.0条 B.1条 C.2条 D.3条
解析联立x-y+1=0,x+y-1=0,得x=0,y=1.
∴两直线交点坐标为(0,1),由交点到原点的距离为1可知,只有1条直线符合条件.
答案B
2.点P(sin θ,3cos θ)到直线x+y+8=0的距离的最小值为(　　)
A.4 B.23 C.32 D.52
解析点P(sin θ,3cos θ)到直线x+y+8=0的距离为
d=|sinθ+3cosθ+8|1+1=2sinθ+π3+82≥-2+82=32.所以当sinθ+π3=-1,
即θ=2kπ+7π6,k∈Z时,d取得最小值为32.
故选C.
答案C
3.设直线l1:x+3y-7=0与直线l2:x-y+1=0的交点为P,则P到直线l:x+ay+2-a=0的距离最大值为(　　)
A.10 B.4 C.32 D.11
解析联立x+3y-7=0,x-y+1=0,
解得x=1,y=2.可得P(1,2).
直线l:x+ay+2-a=0化为x+2+a(y-1)=0,因此直线经过定点Q(-2,1).
P到直线l:x+ay+2-a=0的距离最大值为|PQ|=(1+2)2+(2-1)2=10.
故选A.
答案A
4.已知直线l1:mx+2y-4-m=0(m>0)在两坐标轴上的截距相等,则直线l1与直线l2:3x+3y-1=0间的距离为(　　)
A.423 B.2
C.22或2 D.0或2
解析∵直线l1:mx+2y-4-m=0(m>0)在两坐标轴上的截距相等,∴m+4m=m+42,m=2.∴直线l1:x+y-3=0,即 3x+3y-9=0.故直线l1与直线l2:3x+3y-1=0间的距离为|-1-(-9)|9+9=423.故选A.
答案A
5.若直线l1:ax+y-1=0与直线l2:x+ay+1=0平行,则两条平行直线之间的距离为(　　)
A.1 B.2 C.2 D.22
解析直线l1:ax+y-1=0与直线l2:x+ay+1=0平行,则a2-1=0,解得a=±1.
当a=-1时,直线l1:x-y+1=0与直线l2:x-y+1=0重合,故舍去.
当a=1时,直线l1:x+y-1=0与直线l2:x+y+1=0平行.
故两条平行直线之间的距离d=|-1-1|2=2.
故选B.
答案B
6.已知两条平行直线l1,l2分别过点P(1,1),Q(0,-1),当l1,l2间的距离最大时,直线l1的方程为　　　　　.?
解析由题意可得,l1,l2间的距离最大时,PQ和这两条直线都垂直.
由于PQ的斜率为 1+11-0=2,
故直线l1的斜率为-12,
故它的方程是 y-1=-12(x-1),化简为 x+2y-3=0.
答案x+2y-3=0
7.已知直线过两直线x-3y+1=0和3x+y-3=0的交点,且原点到该直线的距离为12,则该直线的方程为　　　　　.?
解析联立x-3y+1=0,3x+y-3=0,解得x=12,y=32,故交点的坐标为A12,32.
①当经过点A的直线的斜率不存在时,其方程为x=12,原点(0,0)到直线x=12的距离为12,符合题意;
②当直线斜率存在时,设经过点A的直线的方程为y-32=kx-12,
即kx-y-12k+32=0,
由于原点(0,0)到方程为kx-y-12k+32=0的直线的距离d=-12k+321+k2=12,
解得k=33,故所求直线的方程为x-3y+1=0.
答案x=12或x-3y+1=0
8.已知三角形的三个顶点分别是A(4,1),B(7,5),C(-4,7),求角A的平分线的方程.
解设P(x,y)为角A的平分线上任一点,
则点P到直线AB与到直线AC的距离相等,由两点式得直线AB的方程为y-15-1=x-47-4,
即4x-3y-13=0,直线AC的方程为y-17-1=x-4-4-4,
即3x+4y-16=0.
所以由点到直线的距离公式,
得|4x-3y-13|42+(-3)2=|3x+4y-16|32+42,
即|4x-3y-13|=|3x+4y-16|,
即4x-3y-13=±(3x+4y-16),
整理得x-7y+3=0或7x+y-29=0.
易知x-7y+3=0是角A的外角平分线的方程,7x+y-29=0是角A的平分线的方程.
9.如图,在等腰梯形ABCD中,AB∥CD,边AB所在直线方程为2x-y-2=0,点C(2,0),|BC|=1,B为第一象限上的点.

(1)求点B坐标;
(2)求AB边上的高CE所在直线的方程;
(3)求直线AB与直线CD之间的距离.
解(1)设B(a,2a-2),∵C(2,0),|BC|=1,
∴(a-2)2+(2a-2)2=1,解得a=1或a=75.
∵B为第一象限上的点,∴2a-2>0,即a>1.
∴a=75,则B75,45.
(2)∵边AB所在直线方程为2x-y-2=0,
∴kCE=-1kAB=-12.
又∵CE经过点C(2,0),∴AB边上的高CE所在直线的方程为y=-12x+1,即x+2y-2=0.
(3)∵AB∥CD,∴kCD=kAB=2.
∵点C(2,0),
∴直线CD的方程为y=2(x-2),
即2x-y-4=0.
又AB所在直线方程为2x-y-2=0,
则直线AB与直线CD之间的距离d=|-4-(-2)|5=255.
素养培优练
1.(多选)S=直线lsinθmx+cosθny=1,m,n为正常数,θ∈[0,2π),下列结论中错误的是(　　)
A.当θ=π4时,S中直线的斜率为nm
B.S中所有直线均经过同一个定点
C.当m≥n时,S中的两条平行直线之间的距离的最小值为2n
D.S中的所有直线可覆盖整个直角坐标平面
解析当θ=π4时,sin θ=cos θ,S中直线的斜率为-nm,故A不正确;
根据sinθmx+cosθny=1,可知S中所有直线不可能经过一个定点,B不正确;
当m≥n时,S中的两条平行直线间的距离为d=2sin2θm2+cos2θn2≥2n,即最小值为2n,C正确;
(0,0)不满足方程,∴S中的所有直线不可覆盖整个平面,D不正确.
答案ABD
2.已知P为等腰△ABC的底边BC上一点(不含端点),PM⊥AB于点M,PN⊥AC于点N,证明:|PM|+|PN|为定值.
证明以BC的中点O为原点建立如图所示的直角坐标系,设B(-a,0),C(a,0)(a>0),A(0,b),P(x1,0),a,b为定值,-a0.

所以AB的方程是bx-ay+ab=0,AC的方程是bx+ay-ab=0.
由点到直线的距离公式,得|PM|=|bx1+ab|a2+b2,|PN|=|bx1-ab|a2+b2.
因为a>0,b>0,所以ab>0,-ab<0.
所以bx1+ab>0,bx1-ab<0.
所以|PM|+|PN|=bx1+ab-(bx1-ab)a2+b2=2aba2+b2为定值.
同理可求证,当b<0时,|PM|+|PN|=-2aba2+b2为定值.