人教B版（2019）高中数学选择性必修第一册 2.3.1 圆的标准方程word含答案
文档属性
| 名称 | 人教B版（2019）高中数学选择性必修第一册 2.3.1 圆的标准方程word含答案 |  | |
| 格式 | docx | ||
| 文件大小 | 111.2KB | ||
| 资源类型 | 教案 | ||
| 版本资源 | 人教B版（2019） | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2020-08-12 16:06:55 | ||
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文档简介
2.3 圆及其方程
2.3.1 圆的标准方程
课后篇巩固提升
基础达标练
1.圆(x+1)2+(y-2)2=4的圆心与半径分别为( )
A.(-1,2),2 B.(1,-2),2
C.(-1,2),4 D.(1,-2),4
答案A
2.方程y=9-x2表示的曲线是( )
A.一条射线 B.一个圆
C.两条射线 D.半个圆
答案D
3.如图,圆C的部分圆弧在如图所示的网格纸上(小正方形的边长为1),图中直线与圆弧相切于一个小正方形的顶点,若圆C经过点A(2,15),则圆C的半径为( )
A.72 B.8 C.82 D.10
解析∵圆C经过点(2,1)和点(2,15),
故圆心在直线y=8上.
又过点(2,1)的圆的切线为y-1=-(x-2),故圆心在直线y-1=x-2上,即圆心在直线x-y-1=0上.由y=8,x-y-1=0可得圆心为(9,8),
故圆的半径为(9-2)2+(8-1)2=72.
答案A
4.已知一圆的圆心为点A(2,-3),一条直径的端点分别在x轴和y轴上,则圆的标准方程为( )
A.(x+2)2+(y-3)2=13
B.(x-2)2+(y+3)2=13
C.(x-2)2+(y+3)2=52
D.(x+2)2+(y-3)2=52
解析如图,结合圆的性质可知,原点在圆上,
圆的半径为r=(2-0)2+(-3-0)2=13.
故所求圆的标准方程为(x-2)2+(y+3)2=13.
答案B
5.已知直线l过圆x2+(y-3)2=4的圆心,且与直线x+y+1=0垂直,则l的方程为( )
A.x+y-2=0 B.x-y+2=0
C.x+y-3=0 D.x-y+3=0
解析圆x2+(y-3)2=4的圆心坐标为(0,3).
因为直线l与直线x+y+1=0垂直,所以直线l的斜率k=1.由点斜式得直线l的方程是y-3=x-0,
化简得x-y+3=0.
答案D
6.若点P(-1,3)在圆x2+y2=m2上,则实数m= .?
解析∵P点在圆x2+y2=m2上,
∴(-1)2+(3)2=4=m2,∴m=±2.
答案±2
7.当a为任意实数时,直线(a-1)x-y+a+1=0恒过定点C,则以点C为圆心,5为半径的圆的标准方程是 .?
解析将直线方程整理为(x+1)a-(x+y-1)=0,
可知直线恒过点(-1,2),
从而所求圆的标准方程为(x+1)2+(y-2)2=5.
答案(x+1)2+(y-2)2=5
8.若圆的方程为x+k22+(y+1)2=1-34k2,则当圆的面积最大时,圆心坐标和半径分别为 、 .?
解析∵圆的方程为x+k22+(y+1)2=1-34k2,
∴r2=1-34k2>0,rmax=1,此时k=0.
∴圆心为(0,-1).
答案(0,-1) 1
9.求以A(2,2),B(5,3),C(3,-1)为顶点的三角形的外接圆的标准方程.
解设所求圆的标准方程为(x-a)2+(y-b)2=r2,
则有(2-a)2+(2-b)2=r2,(5-a)2+(3-b)2=r2,(3-a)2+(-1-b)2=r2,解得a=4,b=1,r2=5,
即△ABC的外接圆的标准方程为(x-4)2+(y-1)2=5.
10.已知点A(-1,2)和B(3,4).求:
(1)线段AB的垂直平分线l的方程;
(2)以线段AB为直径的圆的标准方程.
解由题意得线段AB的中点C的坐标为(1,3).
(1)∵A(-1,2),B(3,4),
∴直线AB的斜率kAB=4-23-(-1)=12.
∵直线l垂直于直线AB,
∴直线l的斜率kl=-1kAB=-2,
∴直线l的方程为y-3=-2(x-1),
即2x+y-5=0.
(2)∵A(-1,2),B(3,4),
∴|AB|=(3+1)2+(4-2)2=20=25,
∴以线段AB为直径的圆的半径R=12|AB|=5.又圆心为C(1,3),
∴所求圆的标准方程为(x-1)2+(y-3)2=5.
能力提升练
1.方程(x-1)x2+y2-3=0所表示的曲线是( )
A.一个圆 B.两个点
C.一个点和一个圆 D.一条直线和一个圆
解析(x-1)x2+y2-3=0可化为x-1=0或x2+y2=3,∴方程(x-1)x2+y2-3=0表示一条直线和一个圆.
答案D
2.已知直线(3+2λ)x+(3λ-2)y+5-λ=0恒过定点P,则与圆C:(x-2)2+(y+3)2=16有公共的圆心且过点P的圆的标准方程为( )
A.(x-2)2+(y+3)2=36 B.(x-2)2+(y+3)2=25
C.(x-2)2+(y+3)2=18 D.(x-2)2+(y+3)2=9
解析由(3+2λ)x+(3λ-2)y+5-λ=0,
得(2x+3y-1)λ+(3x-2y+5)=0,
则2x+3y-1=0,3x-2y+5=0,解得x=-1,y=1,即P(-1,1).
∵圆C:(x-2)2+(y+3)2=16的圆心坐标是(2,-3),
∴|PC|=(-1-2)2+(1+3)2=5,
∴所求圆的标准方程为(x-2)2+(y+3)2=25,故选B.
答案B
3.已知圆心(a,b)(a>0,b<0)在直线y=-2x+1上的圆,其圆心到x轴的距离恰好等于圆的半径,在y轴上截得的弦长为25,则圆的方程为( )
A.(x-3)2+(y+5)2=25
B.(x-2)2+(y+3)2=9
C.(x-1)2+(y+1)2=1
D.x+232+y-732=499
解析由题意画出图形如图所示,
过圆心M作MA⊥x轴,MB⊥y轴,连接MC,
由垂径定理得到B为CD中点,又|CD|=25,
∴|CB|=5,
由题意可知圆的半径|MA|=|MC|=|b|,|MB|=|a|,在直角三角形MBC中,根据勾股定理得b2=a2+(5)2,①
把圆心(a,b)代入y=-2x+1中,得b=-2a+1,②
联立①②,解得a=2,b=-3,
∴圆心坐标为(2,-3),半径r=|-3|=3,
则所求圆的方程为(x-2)2+(y+3)2=9.
故选B.
4.已知点A(-a,0),B(a,0)(a>0),点C在圆(x-2)2+(y-2)2=2上,且满足∠ACB=90°,则a的最小值是 .?
解析设C(2+2cos α,2+2sin α),
∴AC=(2+2cos α+a,2+2sin α),BC=(2+2cos α-a,2+2sin α),
∵∠ACB=90°,∴AC·BC=(2+2cos α)2-a2+(2+2sin α)2=0,∴a2=10+42(sin α+cos α)=10+8sinα+π4∈[2,18].
∵a>0,∴a∈[2,32],∴a的最小值是2.
答案2
5.已知圆C与圆(x-1)2+y2=1关于直线y=-x对称,则圆C的标准方程为 .?
解析由已知圆(x-1)2+y2=1,设其圆心为C1,
则圆C1的圆心坐标为(1,0),半径长r1=1.
设圆心C1(1,0)关于直线y=-x对称的点的坐标为(a,b),即圆心C的坐标为(a,b),
则ba-1·(-1)=-1,-a+12=b2,解得a=0,b=-1.
所以圆C的标准方程为x2+(y+1)2=1.
答案x2+(y+1)2=1
6.已知三点A(3,2),B(5,-3),C(-1,3),以点P(2,-1)为圆心作一个圆,使A,B,C三点中一点在圆外,一点在圆上,一点在圆内,求这个圆的标准方程.
解要使A,B,C三点中一点在圆外,一点在圆上,一点在圆内,则圆的半径是|PA|,|PB|,|PC|的中间值.
因为|PA|=10,|PB|=13,|PC|=5,
所以|PA|<|PB|<|PC|,
所以圆的半径r=|PB|=13.
故所求圆的标准方程为(x-2)2+(y+1)2=13.
7.已知圆C与y轴相切,圆心在直线x-2y=0上,且圆C被直线y=x截得的弦长为214,求圆C的方程.
解设圆心C(2y0,y0),半径r=|2y0|,
圆心到直线x-y=0的距离为|2y0-y0|2=|y0|2,
由半径、弦心距、半弦长的关系得4y02=14+y022,
∴y0=±2.
当y0=2时,圆心C(4,2),半径r=4,此时圆C为(x-4)2+(y-2)2=16,
当y0=-2时,圆心C(-4,-2),半径r=4,此时圆C为(x+4)2+(y+2)2=16.
素养培优练
1.阿波罗尼斯是古希腊著名数学家,与欧几里得、阿基米德被称为亚历山大时期数学三巨匠,他对圆锥曲线有深刻而系统的研究,主要研究成果集中在他的代表作《圆锥曲线》一书,阿波罗尼斯圆是他的研究成果之一,指的是:已知动点M与两定点A,B的距离之比为λ(λ>0,λ≠1),那么点M的轨迹就是阿波罗尼斯圆.下面,我们来研究与此相关的一个问题.已知圆:x2+y2=1和点A-12,0,点B(1,1),M为圆O上动点,则2|MA|+|MB|的最小值为 .?
解析如图,取点K(-2,0),连接OM,MK.
∵|OM|=1,|OA|=12,|OK|=2,
∴|OK||OM|=|OM||OA|=2.
又∵∠MOK=∠AOM,∴△MOK∽△AOM,
∴|MK||MA|=|OM||OA|=2,∴|MK|=2|MA|,
∴|MB|+2|MA|=|MB|+|MK|,|MB|+|MK|≥|BK|,∴|MB|+2|MA|=|MB|+|MK|的最小值为|BK|,∵B(1,1),K(-2,0),
∴|BK|=(-2-1)2+(0-1)2=10.
答案10
2.已知圆C的圆心在直线x-3y=0上,且与y轴相切于点(0,1).
(1)求圆C的方程;
(2)若圆C与直线l:x-y+m=0交于A,B两点,分别连接圆心C与A,B两点,若CA⊥CB,求m的值.
解(1)设圆心坐标为C(a,b),则a=3b,
∵圆与y轴相切于点(0,1),则b=1,r=|a-0|,
∴圆C的圆心坐标为(3,1),半径r=3.
故圆的方程为(x-3)2+(y-1)2=9.
(2)∵CA⊥CB,|CA|=|CB|=r,∴△ABC为等腰直角三角形,∵|CA|=|CB|=r=3,
∴圆心C到直线l的距离d=322.
则d=|3-1+m|2=322,解得m=1或-5.
2.3.1 圆的标准方程
课后篇巩固提升
基础达标练
1.圆(x+1)2+(y-2)2=4的圆心与半径分别为( )
A.(-1,2),2 B.(1,-2),2
C.(-1,2),4 D.(1,-2),4
答案A
2.方程y=9-x2表示的曲线是( )
A.一条射线 B.一个圆
C.两条射线 D.半个圆
答案D
3.如图,圆C的部分圆弧在如图所示的网格纸上(小正方形的边长为1),图中直线与圆弧相切于一个小正方形的顶点,若圆C经过点A(2,15),则圆C的半径为( )
A.72 B.8 C.82 D.10
解析∵圆C经过点(2,1)和点(2,15),
故圆心在直线y=8上.
又过点(2,1)的圆的切线为y-1=-(x-2),故圆心在直线y-1=x-2上,即圆心在直线x-y-1=0上.由y=8,x-y-1=0可得圆心为(9,8),
故圆的半径为(9-2)2+(8-1)2=72.
答案A
4.已知一圆的圆心为点A(2,-3),一条直径的端点分别在x轴和y轴上,则圆的标准方程为( )
A.(x+2)2+(y-3)2=13
B.(x-2)2+(y+3)2=13
C.(x-2)2+(y+3)2=52
D.(x+2)2+(y-3)2=52
解析如图,结合圆的性质可知,原点在圆上,
圆的半径为r=(2-0)2+(-3-0)2=13.
故所求圆的标准方程为(x-2)2+(y+3)2=13.
答案B
5.已知直线l过圆x2+(y-3)2=4的圆心,且与直线x+y+1=0垂直,则l的方程为( )
A.x+y-2=0 B.x-y+2=0
C.x+y-3=0 D.x-y+3=0
解析圆x2+(y-3)2=4的圆心坐标为(0,3).
因为直线l与直线x+y+1=0垂直,所以直线l的斜率k=1.由点斜式得直线l的方程是y-3=x-0,
化简得x-y+3=0.
答案D
6.若点P(-1,3)在圆x2+y2=m2上,则实数m= .?
解析∵P点在圆x2+y2=m2上,
∴(-1)2+(3)2=4=m2,∴m=±2.
答案±2
7.当a为任意实数时,直线(a-1)x-y+a+1=0恒过定点C,则以点C为圆心,5为半径的圆的标准方程是 .?
解析将直线方程整理为(x+1)a-(x+y-1)=0,
可知直线恒过点(-1,2),
从而所求圆的标准方程为(x+1)2+(y-2)2=5.
答案(x+1)2+(y-2)2=5
8.若圆的方程为x+k22+(y+1)2=1-34k2,则当圆的面积最大时,圆心坐标和半径分别为 、 .?
解析∵圆的方程为x+k22+(y+1)2=1-34k2,
∴r2=1-34k2>0,rmax=1,此时k=0.
∴圆心为(0,-1).
答案(0,-1) 1
9.求以A(2,2),B(5,3),C(3,-1)为顶点的三角形的外接圆的标准方程.
解设所求圆的标准方程为(x-a)2+(y-b)2=r2,
则有(2-a)2+(2-b)2=r2,(5-a)2+(3-b)2=r2,(3-a)2+(-1-b)2=r2,解得a=4,b=1,r2=5,
即△ABC的外接圆的标准方程为(x-4)2+(y-1)2=5.
10.已知点A(-1,2)和B(3,4).求:
(1)线段AB的垂直平分线l的方程;
(2)以线段AB为直径的圆的标准方程.
解由题意得线段AB的中点C的坐标为(1,3).
(1)∵A(-1,2),B(3,4),
∴直线AB的斜率kAB=4-23-(-1)=12.
∵直线l垂直于直线AB,
∴直线l的斜率kl=-1kAB=-2,
∴直线l的方程为y-3=-2(x-1),
即2x+y-5=0.
(2)∵A(-1,2),B(3,4),
∴|AB|=(3+1)2+(4-2)2=20=25,
∴以线段AB为直径的圆的半径R=12|AB|=5.又圆心为C(1,3),
∴所求圆的标准方程为(x-1)2+(y-3)2=5.
能力提升练
1.方程(x-1)x2+y2-3=0所表示的曲线是( )
A.一个圆 B.两个点
C.一个点和一个圆 D.一条直线和一个圆
解析(x-1)x2+y2-3=0可化为x-1=0或x2+y2=3,∴方程(x-1)x2+y2-3=0表示一条直线和一个圆.
答案D
2.已知直线(3+2λ)x+(3λ-2)y+5-λ=0恒过定点P,则与圆C:(x-2)2+(y+3)2=16有公共的圆心且过点P的圆的标准方程为( )
A.(x-2)2+(y+3)2=36 B.(x-2)2+(y+3)2=25
C.(x-2)2+(y+3)2=18 D.(x-2)2+(y+3)2=9
解析由(3+2λ)x+(3λ-2)y+5-λ=0,
得(2x+3y-1)λ+(3x-2y+5)=0,
则2x+3y-1=0,3x-2y+5=0,解得x=-1,y=1,即P(-1,1).
∵圆C:(x-2)2+(y+3)2=16的圆心坐标是(2,-3),
∴|PC|=(-1-2)2+(1+3)2=5,
∴所求圆的标准方程为(x-2)2+(y+3)2=25,故选B.
答案B
3.已知圆心(a,b)(a>0,b<0)在直线y=-2x+1上的圆,其圆心到x轴的距离恰好等于圆的半径,在y轴上截得的弦长为25,则圆的方程为( )
A.(x-3)2+(y+5)2=25
B.(x-2)2+(y+3)2=9
C.(x-1)2+(y+1)2=1
D.x+232+y-732=499
解析由题意画出图形如图所示,
过圆心M作MA⊥x轴,MB⊥y轴,连接MC,
由垂径定理得到B为CD中点,又|CD|=25,
∴|CB|=5,
由题意可知圆的半径|MA|=|MC|=|b|,|MB|=|a|,在直角三角形MBC中,根据勾股定理得b2=a2+(5)2,①
把圆心(a,b)代入y=-2x+1中,得b=-2a+1,②
联立①②,解得a=2,b=-3,
∴圆心坐标为(2,-3),半径r=|-3|=3,
则所求圆的方程为(x-2)2+(y+3)2=9.
故选B.
4.已知点A(-a,0),B(a,0)(a>0),点C在圆(x-2)2+(y-2)2=2上,且满足∠ACB=90°,则a的最小值是 .?
解析设C(2+2cos α,2+2sin α),
∴AC=(2+2cos α+a,2+2sin α),BC=(2+2cos α-a,2+2sin α),
∵∠ACB=90°,∴AC·BC=(2+2cos α)2-a2+(2+2sin α)2=0,∴a2=10+42(sin α+cos α)=10+8sinα+π4∈[2,18].
∵a>0,∴a∈[2,32],∴a的最小值是2.
答案2
5.已知圆C与圆(x-1)2+y2=1关于直线y=-x对称,则圆C的标准方程为 .?
解析由已知圆(x-1)2+y2=1,设其圆心为C1,
则圆C1的圆心坐标为(1,0),半径长r1=1.
设圆心C1(1,0)关于直线y=-x对称的点的坐标为(a,b),即圆心C的坐标为(a,b),
则ba-1·(-1)=-1,-a+12=b2,解得a=0,b=-1.
所以圆C的标准方程为x2+(y+1)2=1.
答案x2+(y+1)2=1
6.已知三点A(3,2),B(5,-3),C(-1,3),以点P(2,-1)为圆心作一个圆,使A,B,C三点中一点在圆外,一点在圆上,一点在圆内,求这个圆的标准方程.
解要使A,B,C三点中一点在圆外,一点在圆上,一点在圆内,则圆的半径是|PA|,|PB|,|PC|的中间值.
因为|PA|=10,|PB|=13,|PC|=5,
所以|PA|<|PB|<|PC|,
所以圆的半径r=|PB|=13.
故所求圆的标准方程为(x-2)2+(y+1)2=13.
7.已知圆C与y轴相切,圆心在直线x-2y=0上,且圆C被直线y=x截得的弦长为214,求圆C的方程.
解设圆心C(2y0,y0),半径r=|2y0|,
圆心到直线x-y=0的距离为|2y0-y0|2=|y0|2,
由半径、弦心距、半弦长的关系得4y02=14+y022,
∴y0=±2.
当y0=2时,圆心C(4,2),半径r=4,此时圆C为(x-4)2+(y-2)2=16,
当y0=-2时,圆心C(-4,-2),半径r=4,此时圆C为(x+4)2+(y+2)2=16.
素养培优练
1.阿波罗尼斯是古希腊著名数学家,与欧几里得、阿基米德被称为亚历山大时期数学三巨匠,他对圆锥曲线有深刻而系统的研究,主要研究成果集中在他的代表作《圆锥曲线》一书,阿波罗尼斯圆是他的研究成果之一,指的是:已知动点M与两定点A,B的距离之比为λ(λ>0,λ≠1),那么点M的轨迹就是阿波罗尼斯圆.下面,我们来研究与此相关的一个问题.已知圆:x2+y2=1和点A-12,0,点B(1,1),M为圆O上动点,则2|MA|+|MB|的最小值为 .?
解析如图,取点K(-2,0),连接OM,MK.
∵|OM|=1,|OA|=12,|OK|=2,
∴|OK||OM|=|OM||OA|=2.
又∵∠MOK=∠AOM,∴△MOK∽△AOM,
∴|MK||MA|=|OM||OA|=2,∴|MK|=2|MA|,
∴|MB|+2|MA|=|MB|+|MK|,|MB|+|MK|≥|BK|,∴|MB|+2|MA|=|MB|+|MK|的最小值为|BK|,∵B(1,1),K(-2,0),
∴|BK|=(-2-1)2+(0-1)2=10.
答案10
2.已知圆C的圆心在直线x-3y=0上,且与y轴相切于点(0,1).
(1)求圆C的方程;
(2)若圆C与直线l:x-y+m=0交于A,B两点,分别连接圆心C与A,B两点,若CA⊥CB,求m的值.
解(1)设圆心坐标为C(a,b),则a=3b,
∵圆与y轴相切于点(0,1),则b=1,r=|a-0|,
∴圆C的圆心坐标为(3,1),半径r=3.
故圆的方程为(x-3)2+(y-1)2=9.
(2)∵CA⊥CB,|CA|=|CB|=r,∴△ABC为等腰直角三角形,∵|CA|=|CB|=r=3,
∴圆心C到直线l的距离d=322.
则d=|3-1+m|2=322,解得m=1或-5.