人教B版（2019）高中数学选择性必修第一册 2.3.2　圆的一般方程word含答案

2.3.2　圆的一般方程
课后篇巩固提升
基础达标练
1.若方程ax2+ay2-4(a-1)x+4y=0表示圆,则实数a的取值范围是(　　)
A.R B.(-∞,0)∪(0,+∞)
C.(0,+∞) D.(1,+∞)
解析当a≠0时,方程为x-2a-2a2+y+2a2=4(a2-2a+2)a2,由于a2-2a+2=(a-1)2+1>0恒成立,∴a≠0时方程表示圆.
当a=0时,易知方程为x+y=0,表示直线.
综上可知,实数a的取值范围是(-∞,0)∪(0,+∞).
答案B
2.圆x2+y2-2x+4y+3=0的圆心到直线x-y=1的距离为(　　)
A.2 B.22 C.1 D.2
解析因为圆心坐标为(1,-2),所以圆心到直线x-y=1的距离为d=|1+2-1|2=2.
答案D
3.方程x2+y2+2ax+2by+a2+b2=0表示(　　)
A.以(a,b)为圆心的圆
B.以(-a,-b)为圆心的圆
C.点(a,b)
D.点(-a,-b)
解析原方程可化为(x+a)2+(y+b)2=0,
∴x+a=0,y+b=0,即x=-a,y=-b.
∴方程表示点(-a,-b).
答案D
4.方程x2+y2+ax-2ay+2a2+3a=0表示的图形是半径为r(r>0)的圆,则该圆的圆心在(　　)
A.第一象限 B.第二象限
C.第三象限 D.第四象限
解析因为方程x2+y2+ax-2ay+2a2+3a=0表示的图形是圆,
又方程可化为x+a22+(y-a)2=-34a2-3a,
故圆心坐标为-a2,a,r2=-34a2-3a.
又r2>0,即-34a2-3a>0,解得-4 故该圆的圆心在第四象限.
答案D
5.圆(x+2)2+y2=5关于y轴对称的圆的方程为(　　)
A.x2+(y+2)2=5 B.x2+(y-2)2=5
C.(x-2)2+y2=5 D.(x-2)2+(y-2)2=5
解析已知圆关于y轴对称的圆的圆心坐标为(2,0),半径不变,还是5,故对称圆的方程为(x-2)2+y2=5.
答案C
6.已知圆C过定点(7,2),且和圆C':x2+(y-3)2=2相切于点(1,2),则圆C的一般方程是　　　　　.?
解析设定点(7,2)为点A,切点(1,2)为点B,圆C'的圆心C'坐标为(0,3),则直线BC'的方程为x+y-3=0,
设圆C的一般方程为x2+y2+Dx+Ey+F=0,则C点坐标为-D2,-E2,
则-D2-E2-3=0,72+22+7D+2E+F=0,12+22+D+2E+F=0,解得D=-8,E=2,F=-1.
所以圆C的一般方程是x2+y2-8x+2y-1=0.
答案x2+y2-8x+2y-1=0
7.已知直线与圆x2+y2+2x-4y+a=0(a<5)相交于A,B两点,且弦AB的中点Q的坐标为(0,1),则直线AB的方程为　　　　　.?
解析易知圆心P的坐标为(-1,2).
∵AB的中点Q的坐标为(0,1),
∴直线PQ的斜率kPQ=2-1-1-0=-1,
∴直线AB的斜率k=1,故直线AB的方程为y-1=1×(x-0),即x-y+1=0.
答案x-y+1=0
8.若圆x2+y2+Dx+Ey+F=0关于直线Dx+Ey+2F+8=0对称,则该圆的半径为　　　　　.?
解析圆x2+y2+Dx+Ey+F=0的圆心坐标为-D2,-E2,由题意,有-D22-E22+2F+8=0,
则D2+E2-4F=16,∴圆x2+y2+Dx+Ey+F=0的半径为r=12D2+E2-4F=12×4=2.
答案2
9.求圆心在直线2x-y-3=0上,且过点A(5,2)和点B(3,-2)的圆的一般方程.
解∵圆心在直线2x-y-3=0上,
∴可设圆心坐标为(a,2a-3),半径为r(r>0),
则圆的方程为(x-a)2+(y-2a+3)2=r2.
把点A(5,2)和点B(3,-2)的坐标代入方程,
得(5-a)2+(2-2a+3)2=r2,①
(3-a)2+(-2-2a+3)2=r2,②
由①②可得a=2,r2=10.
故所求圆的方程为(x-2)2+(y-1)2=10,
即x2+y2-4x-2y=5.
10.已知圆C:x2+y2+Dx+Ey+3=0,圆心在直线x+y-1=0上,且圆心在第二象限,半径长为2,求圆的一般方程.
解圆心C的坐标为-D2,-E2,
因为圆心在直线x+y-1=0上,
所以-D2-E2-1=0,即D+E=-2.①
又r=D2+E2-122=2,所以D2+E2=20.②
由①②可得D=2,E=-4或D=-4,E=2.
又圆心在第二象限,所以-D2<0,即D>0,
所以D=2,E=-4,
所以圆的一般方程为x2+y2+2x-4y+3=0.
能力提升练
1.若a∈-2,0,1,23,则方程x2+y2+ax+2ay+2a2+a-1=0表示的圆的个数为(　　)
A.0 B.1 C.2 D.3
解析根据题意,若方程x2+y2+ax+2ay+2a2+a-1=0表示的圆,则有a2+(2a)2-4(2a2+a-1)>0,
解得-2 所以方程x2+y2+ax+2ay+2a2+a-1=0表示的圆的个数为1.
答案B
2.(多选)已知圆M的一般方程为x2+y2-8x+6y=0,则下列说法中正确的是(　　)
A.圆M的圆心为(4,-3)
B.圆M被x轴截得的弦长为8
C.圆M的半径为25
D.圆M被y轴截得的弦长为6
解析圆M的一般方程为x2+y2-8x+6y=0,
则(x-4)2+(y+3)2=25.
圆的圆心坐标为(4,-3),半径为5.
显然选项C不正确,A,B,D均正确.
答案ABD
3.若圆C与圆D:(x+2)2+(y-6)2=1关于直线l:x-y+5=0对称,则圆C的方程为(　　)
A.(x+2)2+(y-6)2=1 B.(x-6)2+(y+2)2=1
C.(x-1)2+(y-3)2=1 D.(x+1)2+(y+3)2=1
解析设圆心D(-2,6)关于直线x-y+5=0对称的点C的坐标为(m,n),
则由n-6m+2·1=-1,m-22-n+62+5=0,得m=1,n=3,故对称圆的圆心为C(1,3),对称圆的半径和原来的圆一样,
故对称圆的方程为(x-1)2+(y-3)2=1.
答案C
4.当点P在圆x2+y2=1上变动时,它与定点Q(3,0)的连线PQ的中点的轨迹方程是(　　)
A.(x+3)2+y2=4 B.(x-3)2+y2=1
C.(2x-3)2+4y2=1 D.(2x+3)2+4y2=1
解析设P(x1,y1),PQ的中点M的坐标为(x,y),
∵Q(3,0),∴x=x1+32,y=y1+02,
∴x1=2x-3,y1=2y.
又点P在圆x2+y2=1上,
∴(2x-3)2+(2y)2=1,故选C.
答案C
5.已知圆x2+y2+4x-6y+a=0关于直线y=x+b成轴对称图形,则a-b的取值范围是　　　　　.?
解析由题意知,直线y=x+b过圆心,而圆心坐标为(-2,3),代入直线方程,得b=5,
所以圆的方程化为标准方程为(x+2)2+(y-3)2=13-a,所以a<13,由此得a-b<8.
答案(-∞,8)
6.已知直线3x+4y-10=0与圆x2+y2-5y+F=0相交于A,B两点,且OA⊥OB(O是原点),则F=　　　　　.?
解析易得圆x2+y2-5y+F=0的圆心坐标为0,52,它在直线3x+4y-10=0上,再由OA⊥OB,可知圆x2+y2-5y+F=0过原点O,将O(0,0)代入圆的方程可求得F=0.
答案0
7.设△ABC顶点坐标A(0,a),B(-3a,0),C(3a,0),其中a>0,圆M为△ABC的外接圆.
(1)求圆M的方程;
(2)当a变化时,圆M是否过某一定点,请说明理由.
解(1)设圆M的方程为x2+y2+Dx+Ey+F=0.
因为圆M过点A(0,a),B(-3a,0),C(3a,0),
所以a2+aE+F=0,3a+3aD+F=0,3a-3aD+F=0,
解得D=0,E=3-a,F=-3a,
所以圆M的方程为x2+y2+(3-a)y-3a=0.
(2)圆M过定点(0,-3).理由如下,
圆M的方程可化为(3+y)a-(x2+y2+3y)=0.
由3+y=0,x2+y2+3y=0,
解得x=0,y=-3.
所以圆M过定点(0,-3).
8.已知圆C的方程可以表示为x2+y2-2x-4y+m=0,其中m∈R.
(1)若m=1,求圆C被直线x+y-1=0截得的弦长;
(2)若圆C与直线l:x+2y-4=0相交于M,N两点,且OM⊥ON(O为坐标原点),求m的值.
解(1)m=1,配方得(x-1)2+(y-2)2=4,圆心到直线的距离为|1+2-1|2=2,
所以圆C被直线x+y-1=0截得的弦长为24-2=22.
(2)设M(x1,y1),N(x2,y2),
直线代入圆的方程得5x2-8x+4(m-4)=0,
所以x1+x2=85,x1x2=4(m-4)5.
因为OM⊥ON,所以x1x2+y1y2=0,
所以54×4(m-4)5-85+4=0,
所以m=85,此时Δ>0.
素养培优练
1.已知圆C:x2+y2+2x+Ey+F=0,有以下命题:
①E=-4,F=4是曲线C表示圆的充分非必要条件;
②若曲线C与x轴交于两个不同点A(x1,0),B(x2,0),且x1,x2∈[-2,1),则0≤F≤1;
③若曲线C与x轴交于两个不同点A(x1,0),B(x2,0),且x1,x2∈[-2,1),O为坐标原点,则|OA-OB|的最大值为2;
④若E=2F,则曲线C表示圆,且该圆面积的最大值为3π2.
其中所有正确命题的序号是　　　　　.?
解析①圆C:x2+y2+2x+Ey+F=0中,应有4+E2-4F>0,当E=-4,F=4时,满足4+E2-4F>0,曲线C表示圆,但曲线C表示圆时,E不一定等于-4,F不一定等于4,故①正确;
②若曲线C与x轴交于两个不同点A(x1,0),B(x2,0),且x1,x2∈[-2,1),则x1,x2是x2+2x+F=0的两根,Δ=4-4F>0,解得F<1,故②不正确;
③由②知,|OA-OB|=|BA|=|x1-x2|=(x1+x2)2-4x1x2=4-4F,故当F=0,即x1=2,x2=0,或x1=0,x2=2时,|OA-OB|取最大值2,故③正确;
④由于E=2F,则圆的半径的平方为14(4+E2-4F)=14(4+4F2-4F)=F-122+34,
则圆面积有最小值,无最大值,故④不对.
答案①③
2.在平面几何中,通常将完全覆盖某平面图形且直径最小的圆,称为该平面图形的最小覆盖圆.最小覆盖圆满足以下性质:
①线段AB的最小覆盖圆就是以AB为直径的圆;
②锐角△ABC的最小覆盖圆就是其外接圆.
已知曲线W:x2+y4=16,A(0,t),B(4,0),C(0,2),D(-4,0)为曲线W上不同的四点.
(1)求实数t的值及△ABC的最小覆盖圆的方程;
(2)求四边形ABCD的最小覆盖圆的方程;
(3)求曲线W的最小覆盖圆的方程.
解(1)由题意,t=-2.
由于△ABC为锐角三角形,外接圆就是△ABC的最小覆盖圆.
设△ABC外接圆方程为x2+y2+Dx+Ey+F=0,
则4-2E+F=0,16+4D+F=0,4+2E+F=0,解得D=-3,E=0,F=-4,
∴△ABC的最小覆盖圆的方程为 x2+y2-3x-4=0.
(2)∵DB的最小覆盖圆就是以DB为直径的圆,
∴DB的最小覆盖圆的方程为x2+y2=16.
又∵|OA|=|OC|=2<4,∴点A,C都在圆内.
∴四边形ABCD的最小覆盖圆的方程为x2+y2=16.
(3)由题意,曲线W为中心对称图形.
设曲线W上一点P的坐标为(x0,y0),
则x02+y04=16.
∴|OP|2=x02+y02,且-2≤y0≤2.
故|OP|2=x02+y02=16-y04+y02=-y02-122+654,
∴当y02=12时,|OP|max=652,
∴曲线W的最小覆盖圆的方程为x2+y2=654.