人教B版（2019）高中数学选择性必修第一册 2.3.3　直线与圆的位置关系word含答案

2.3.3　直线与圆的位置关系
课后篇巩固提升
基础达标练
1.直线(m-1)x+(m-3)y-2=0与圆(x-1)2+y2=1的位置关系是(　　)
　　 　　　　　　　　　　　　　　
A.相交 B.相切
C.相离 D.相交或相切
解析圆(x-1)2+y2=1,圆心为(1,0),半径r=1,
由(m-1)x+(m-3)y-2=0,得m(x+y)=x+3y+2,由x+y=0,x+3y+2=0,
得x=1,y=-1,所以直线过定点(1,-1),
代入(x-1)2+y2=1成立,所以点(1,-1)为圆上的定点,所以直线与圆相切或者相交.
答案D
2.如果圆x2+y2+Dx+Ey+F=0与x轴相切于原点,则(　　)
A.E≠0,D=F=0 B.D≠0,E≠0,F=0
C.D≠0,E=F=0 D.F≠0,D=E=0
解析由题意得,圆心坐标为-D2,-E2,
圆心在y轴上,所以D=0,圆与x轴相切于原点,所以E≠0,半径为-E2=12D2+E2-4F,
化简可得F=0.
答案A
3.已知圆x2+y2=9的弦过点P(1,2),当弦长最短时,该弦所在直线的方程为(　　)
A.y-2=0 B.x+2y-5=0
C.2x-y=0 D.x-1=0
解析当弦长最短时,该弦所在直线与过点P(1,2)的直径垂直.已知圆心O(0,0),所以过点P(1,2)的直径所在直线的斜率k=2-01-0=2,故所求直线的斜率为-12,所以所求直线方程为y-2=-12(x-1),即x+2y-5=0.
答案B
4.若直线x-y=2被圆(x-a)2+y2=4所截得的弦长为22,则实数a的值为(　　)
A.0或4 B.0或3
C.-2或6 D.-1或3
解析由圆的方程,可知圆心坐标为(a,0),半径r=2.又直线被圆截得的弦长为22,所以圆心到直线的距离d=22-2222=2.又d=|a-2|2,所以|a-2|=2,解得a=4或a=0.
答案A
5.已知直线l:3x+4y+m=0(m>0)被圆C:x2+y2+2x-2y-6=0截得的弦长是圆心C到直线l的距离的2倍,则m等于(　　)
A.6 B.8 C.11 D.9
解析圆C:x2+y2+2x-2y-6=0可化为(x+1)2+(y-1)2=8,圆心坐标为(-1,1),半径为22,
由题意可知,圆心到直线的距离d=|1+m|5=2.
∵m>0,∴m=9.
答案D
6.直线x+y+1=0被圆C:x2+y2=2所截得的弦长为　　　　　;由直线x+y+3=0上的一点向圆C引切线,切线长的最小值为　　　　　.?
解析圆C:x2+y2=2的圆心坐标为C(0,0),半径r=2.圆心C到直线x+y+1=0的距离d=|1|2=22.

∴直线x+y+1=0被圆C:x2+y2=2所截得的弦长为2(2)2-222=6.圆心C到直线x+y+3=0的距离d1=|3|2=322,则由直线x+y+3=0上的一点向圆C引切线,切线长的最小值为3222-(2)2=102.
答案6　102
7.已知对任意实数m,直线l1:3x+2y=3+2m和直线l2:2x-3y=2-3m分别与圆C:(x-1)2+(y-m)2=1相交于A,C和B,D,则四边形ABCD的面积为　　　　　.?
解析由题意,直线l1:3x+2y=3+2m和直线l2:2x-3y=2-3m交于圆心(1,m),且互相垂直,∴四边形ABCD是正方形,∴四边形ABCD的面积为4×12×1×1=2.
答案2
8.自圆外一点P作圆O:x2+y2=1的两条切线PM,PN(M,N为切点),若∠MPN=90°,则动点P的轨迹方程是　　　　　.?
解析设点P的坐标为(x,y),则|PO|=x2+y2.
∵∠MPN=90°,∴四边形OMPN为正方形,
∴|PO|=2|OM|=2,
∴x2+y2=2,即x2+y2=2.
答案x2+y2=2
9.一圆与y轴相切,圆心在直线x-3y=0上,且直线y=x截圆所得弦长为27,求此圆的方程.
解因为圆与y轴相切,且圆心在直线x-3y=0上,故设圆的方程为(x-3b)2+(y-b)2=9b2.又因为直线y=x截圆得弦长为27,则有|3b-b|22+(7)2=9b2,
解得b=±1,故所求圆的方程为(x-3)2+(y-1)2=9或(x+3)2+(y+1)2=9.
10.已知圆C:(x+2)2+(y+2)2=3,直线l过原点O.
(1)若直线l与圆C相切,求直线l的斜率;
(2)若直线l与圆C交于A,B两点,点P的坐标为(-2,0).若AP⊥BP,求直线l的方程.
解(1)由题意知直线l的斜率存在,所以设直线l的方程为y=kx.由直线l与圆C相切,得|2k-2|k2+1=3,整理为k2-8k+1=0,解得k=4±15.
(2)设点A,B的坐标分别为(x1,y1),(x2,y2),由(1)知直线l的方程为y=kx.
联立方程(x+2)2+(y+2)2=3,y=kx,
消去y整理为(k2+1)x2+(4k+4)x+5=0,
所以x1+x2=-4k+4k2+1,x1x2=5k2+1,y1y2=5k2k2+1,
由PA=(x1+2,y1),PB=(x2+2,y2),
则PA·PB=(x1+2)(x2+2)+y1y2=x1x2+2(x1+x2)+y1y2+4,代入化简得PA·PB=5k2+1-8k+8k2+1+5k2k2+1+4=9k2-8k+1k2+1,由AP⊥BP,有PA·PB=0,得9k2-8k+1=0,解得k=4±79,则直线l的方程为y=4+79x或y=4-79x.
能力提升练
1.圆x2+y2+2x-2y-2=0上到直线l:x+y+2=0的距离为1的点共有(　　)
A.1个 B.2个 C.3个 D.4个
解析化x2+y2+2x-2y-2=0为(x+1)2+(y-1)2=4,得圆心坐标为(-1,1),半径为2,∵圆心到直线l:x+y+2=0的距离d=|-1+1+2|12+12=1<2,
结合图形可知,圆上有三点到直线l的距离为1.

答案C
2.(多选)已知点A是直线l:x+y-10=0上一定点,点P,Q是圆C:(x-4)2+(y-2)2=4上的动点,若∠PAQ的最大值为60°,则点A的坐标可以是(　　)
A.(4,6) B.(2,8) C.(6,4) D.(8,2)
解析点A是直线l:x+y-10=0上一定点,点P,Q是圆C:(x-4)2+(y-2)2=4上的动点,

如图,圆的半径为2,
所以直线上的A到圆心的距离为4,
结合图形,可知A的坐标(4,6)与(8,2)满足题意.
答案AD
3.设圆C:x2+y2-2x-3=0,若等边△PAB的一边AB为圆C的一条弦,则线段PC长度的最大值为(　　)
A.10 B.23 C.4 D.26
解析化圆C:x2+y2-2x-3=0为(x-1)2+y2=4,

连接AC,BC,设∠CAB=θ0<θ<π2,连接PC与AB交于点D,
∵AC=BC,△PAB是等边三角形,∴D是AB的中点,得PC⊥AB,在圆C:(x-1)2+y2=4中,圆C的半径为2,|AB|=4cos θ,|CD|=2sin θ,
∴在等边△PAB中,|PD|=32|AB|=23cos θ,
∴|PC|=|CD|+|PD|=2sin θ+23cos θ
=4sinθ+π3≤4.
答案C
4.在圆x2+y2-2x-6y=0内,过点E(0,1)的最长弦和最短弦分别为AC和BD,则圆心坐标为　　　　　,四边形ABCD的面积为　　　　　.?
解析圆的方程化为标准形式为(x-1)2+(y-3)2=10,易知点E在圆内,由圆的性质可知最长弦|AC|=210,最短弦BD恰以E(0,1)为中点,且与AC垂直,设点F为其圆心,坐标为(1,3).
故|EF|=5,∴|BD|=210-(5)2=25,
∴S四边形ABCD=12|AC|·|BD|=102.
答案(1,3)　102
5.一条光线从点(-2,-3)射出,经y轴反射后与圆(x+3)2+(y-2)2=1相切,则反射光线所在直线的斜率为　　　　　.?
解析由已知得点(-2,-3)关于y轴的对称点为(2,-3),由入射光线与反射光线的对称性知,反射光线一定过点(2,-3).
设反射光线所在直线的斜率为k,则反射光线所在直线的方程为y+3=k(x-2),即kx-y-2k-3=0.由反射光线与圆相切,则有d=|-3k-2-2k-3|k2+1=1,
解得k=-43或k=-34.
答案-43或-34
6.过点P(4,-4)的直线l被圆C:x2+y2-2x-4y-20=0截得的弦AB的长度为8,求直线l的方程.
解∵圆的方程可化为(x-1)2+(y-2)2=52,
∴圆心C(1,2),半径r=5.由圆的几何性质可知圆的半弦长、半径、弦心距构成直角三角形,∴圆心到直线l的距离d=r2-|AB|22=52-42=3.
当直线l⊥x轴时,
∵l过点P(4,-4),∴直线l的方程为x=4.
点C(1,2)到直线l的距离d=|4-1|=3,满足题意.当直线l与x轴不垂直时,设直线l的方程为y+4=k(x-4),即kx-y-4k-4=0,
∴|k-2-4k-4|k2+(-1)2=3,解得k=-34.
∴直线l的方程为y+4=-34(x-4),
即3x+4y+4=0.
综上所述,直线l的方程为x=4或3x+4y+4=0.
7.直线y=kx与圆C:x2+y2-6x-4y+10=0相交于不同的两点A,B,当k取不同实数值时,求AB中点的轨迹.
解设A(x1,y1),B(x2,y2),则
x12+y12-6x1-4y1+10=0,①
x22+y22-6x2-4y2+10=0.②
①-②得(x12-x22)+(y12-y22)-6(x1-x2)-4(y1-y2)=0.
设AB的中点坐标为(x,y),
则x1+x2=2x,y1+y2=2y.
代入上式,有2x(x1-x2)+2y(y1-y2)-6(x1-x2)-4(y1-y2)=0,
即(2x-6)(x1-x2)+(2y-4)(y1-y2)=0.
所以x-3y-2=-y1-y2x1-x2=-k.③
又因为y=kx,④
由③④得x2+y2-3x-2y=0.
故所求轨迹为圆x2+y2-3x-2y=0位于圆C:x2+y2-6x-4y+10=0内的一段弧.
素养培优练
1.已知A,B为圆C:(x+1)2+(y-1)2=5上两个动点,且|AB|=2,直线l:y=k(x-5),若线段AB的中点D关于原点的对称点为D',若直线l上任一点P,都有|PD'|≥1,则实数k的取值范围是　　　　　.?
解析∵|AB|=2,且圆C:(x+1)2+(y-1)2=5的半径为5,∴AB的中点D到圆心(-1,1)的距离为(5)2-12=2,
则D的轨迹方程为(x+1)2+(y-1)2=4.
∵线段AB的中点D关于原点的对称点为D',
∴D'的轨迹方程为(x-1)2+(y+1)2=4.
要使直线l:y=k(x-5)上任一点P,都有|PD'|≥1,
则|k+1-5k|k2+1-2≥1,解得k≤4-627或k≥4+627.∴实数k的取值范围是-∞,4-627∪4+627,+∞.
答案-∞,4-627∪4+627,+∞
2.已知直线l:(2m+1)x+(m+1)y-7m-4=0(m∈R)和圆C:x2+y2-8x-6y+5=0.
(1)求证:直线l恒过一定点M;
(2)试求当m为何值时,直线l被圆C所截得的弦长最短;
(3)在(2)的前提下,直线l'是过点N(-1,-2)且与直线l平行的直线,求圆心在直线l'上,且与圆C相外切的动圆中半径最小的圆的标准方程.
(1)证明由直线l:(2m+1)x+(m+1)y-7m-4=0,得m(2x+y-7)+x+y-4=0,
联立2x+y-7=0,x+y-4=0,解得x=3,y=1,
∴直线l恒过一定点M(3,1).
(2)解要使直线l被圆C所截得的弦长最短,则l⊥CM,
化圆C:x2+y2-8x-6y+5=0为(x-4)2+(y-3)2=20,可得C(4,3),则kCM=3-14-3=2,
∴-2m+1m+1=-12,解得m=-13.
(3)解由(2)得,直线l':y+2=-12(x+1),即x+2y+5=0.

如图,过C与直线x+2y+5=0垂直的直线方程为y-3=2(x-4),即2x-y-5=0.
联立x+2y+5=0,2x-y-5=0,
解得x=1,y=-3,
而C到直线x+2y+5=0的距离d=|4+6+5|5=35,
∴所求圆的半径为35-25=5.
故圆心在直线l'上,且与圆C相外切的动圆中半径最小的圆的标准方程为(x-1)2+(y+3)2=5.