人教B版（2019）高中数学选择性必修第一册 2.3.4　圆与圆的位置关系word含答案

2.3.4　圆与圆的位置关系
课后篇巩固提升
基础达标练
1.设r>0,圆(x-1)2+(y+3)2=r2与圆x2+y2=16的位置关系不可能是(　　)
　　 　　　　　　　　　　　　　　
A.内切 B.相交
C.内切或内含 D.外切或外离
解析两圆的圆心距为d=(1-0)2+(-3-0)2=10,两圆的半径之和为r+4,因为10 所以两圆不可能外切或外离,故选D.
答案D
2.圆(x-2)2+(y+3)2=13和圆(x-3)2+y2=9交于A,B两点,则AB的垂直平分线的方程是(　　)
A.x+y+3=0 B.2x-y-5=0
C.3x-y-9=0 D.4x-3y+7=0
解析由题意圆(x-2)2+(y+3)2=13和圆(x-3)2+y2=9交于A,B两点,则AB的垂直平分线的方程,就是两个圆的圆心的连线方程,圆:(x-2)2+(y+3)2=13的圆心(2,-3)和圆:(x-3)2+y2=9的圆心(3,0),所以所求直线方程为y+33=x-23-2,即3x-y-9=0.
答案C
3.设两圆C1,C2都和两坐标轴相切,且都过点(4,1),则两圆心的距离|C1C2|等于(　　)
A.4 B.42 C.8 D.82
解析∵两圆与两坐标轴都相切,且都经过点(4,1),
∴两圆圆心均在第一象限且每个圆心的横、纵坐标相等.
设两圆的圆心坐标分别为(a,a),(b,b),
则有(4-a)2+(1-a)2=a2,(4-b)2+(1-b)2=b2,
即a,b为方程(4-x)2+(1-x)2=x2的两个根,
整理得x2-10x+17=0,
∴a+b=10,ab=17.
∴(a-b)2=(a+b)2-4ab=100-4×17=32,
∴|C1C2|=(a-b)2+(a-b)2=32×2=8.
答案C
4.过点M(2,-2)以及圆x2+y2-5x=0与圆x2+y2=2交点的圆的方程是(　　)
A.x2+y2-154x-12=0 B.x2+y2-154x+12=0
C.x2+y2+154x-12=0 D.x2+y2+154x+12=0
解析设经过圆x2+y2-5x=0与圆x2+y2=2交点的圆的方程是x2+y2-5x+λ(x2+y2-2)=0,
再把点M(2,-2)代入可得4+4-10+λ(4+4-2)=0,求得λ=13,
故要求的圆的方程为x2+y2-154x-12=0.
答案A
5.若圆x2+y2=r2与圆x2+y2+2x-4y+4=0有公共点,则r满足的条件是(　　)
A.r<5+1 B.r>5+1
C.|r-5|≤1 D.|r-5|<1
解析由x2+y2+2x-4y+4=0,得(x+1)2+(y-2)2=1,两圆圆心之间的距离为(-1)2+22=5.
∵两圆有公共点,∴|r-1|≤ 5≤r+1,
∴5-1≤r≤5+1,
即-1≤r-5≤1,∴|r-5|≤1.
答案C
6.圆x2+y2+2x=0和圆x2+y2-4y=0的公共弦的长度为　　　　　.?
解析联立x2+y2+2x=0,x2+y2-4y=0,解得x=0,y=0或x=-85,y=45.
∴两圆的交点P(0,0),Q-85,45.
∴|PQ|=852+452=455.
答案455
7.若圆x2+y2-2ax+a2=2和圆x2+y2-2by+b2=1外离,则a,b满足的条件是　　　　　.?
解析由题意可得两圆的圆心坐标和半径长分别为(a,0),2和(0,b),1.因为两圆外离,所以a2+b2>2+1,
即a2+b2>3+22.
答案a2+b2>3+22
8.若☉O1:x2+y2=5与☉O2:(x-m)2+y2=20(m∈R)相交于A,B两点,且两圆在点A处的切线互相垂直,则线段AB的长度是　　　　　.?
解析由题知O1(0,0),O2(m,0),半径分别为5,25,根据两圆相交,可得圆心距大于两圆的半径之差而小于半径之和,即5 再根据S△AO1O2=12·|AO1|·|AO2|
=12|O1O2|·|AB|2,求得|AB|=2×5×255=4.
答案4
9.已知圆O1:x2+(y+1)2=4,圆O2的圆心O2(2,1).若圆O2与圆O1交于A,B两点,且|AB|=22,求圆O2的方程.
解设圆O2的方程为(x-2)2+(y-1)2=r22,
因为圆O1的方程为x2+(y+1)2=4,
将两圆的方程相减,即得两圆公共弦AB所在的直线方程为4x+4y+r22-8=0,作O1H⊥AB,H为垂足,图略,则|AH|=12|AB|=2,
所以|O1H|=r12-|AH|2=4-2=2.
由圆心O1(0,-1)到直线4x+4y+r22-8=0的距离为|r22-12|42=2,得r22=4或r22=20,故圆O2的方程为(x-2)2+(y-1)2=4或(x-2)2+(y-1)2=20.
10.已知圆x2+y2-2x-6y-1=0和圆x2+y2-10x-12y+m=0.
(1)m取何值时两圆外切?
(2)m取何值时两圆内切?
(3)求m=45时两圆的公共弦所在直线的方程和公共弦的长.
解两圆的标准方程为(x-1)2+(y-3)2=11,
(x-5)2+(y-6)2=61-m,
圆心分别为M(1,3),N(5,6),
半径分别为11和61-m.
两圆圆心之间的距离d=(5-1)2+(6-3)2=5.
(1)当两圆外切时,5=11+61-m,
解得m=25+1011.
(2)当两圆内切时,因定圆的半径11小于两圆圆心间距离5,故只有61-m-11=5,解得m=25-1011.
(3)两圆的公共弦所在直线方程为(x2+y2-2x-6y-1)-(x2+y2-10x-12y+45)=0,
即4x+3y-23=0,∴公共弦长为2(11)2-|4×1+3×3-23|42+322=27.
能力提升练
1.已知圆C的方程为(x-3)2+y2=1,若y轴上存在一点A,使得以A为圆心,半径为3的圆与圆C有公共点,则A的纵坐标可以是(　　)
A.1 B.-3 C.5 D.-7
解析圆C的方程为(x-3)2+y2=1,则圆心C(3,0).
设y轴上一点A(0,b),当以A为圆心,半径为3的圆与圆C有公共点时,满足3-1≤|CA|≤3+1,
即2≤(0-3)2+(b-0)2≤4,所以2≤9+b2≤4,
化简得b2≤7,∴-7≤b≤7,
∴A的纵坐标可以是1.
答案A
2.已知函数f(x)=bx-b2-14(b>0,x∈R),若(m+1)2+(n+1)2=2,则f(n)f(m)的取值范围是(　　)
A.[-3,2] B.[3,2+3]
C.[2-3,3] D.[2-3,2+3]
解析f(n)f(m)=bn-b2-14bm-b2-14=n-b+14bm-b+14b,
可以看作点(m,n)与点b+14b,b+14b连线的斜率,点(m,n)在圆(x+1)2+(y+1)2=2上,
点b+14b,b+14b在直线y=x(x≥1)上,结合图形分析可得,

当过点(1,1)作圆(x+1)2+(y+1)2=2的切线,此时两条切线的斜率分别是f(n)f(m)的最大值和最小值.
两条切线与圆心(-1,-1)、点(1,1)所在直线的夹角均为π6,两条切线的倾斜角分别为π12,5π12,
故所求直线的斜率的范围为[2-3,2+3].
答案D
3.若圆x2+y2=4与圆x2+y2+2ay-6=0(a>0)的公共弦长为23,则a=　　　　　.?
解析x2+y2+2ay=6,x2+y2=4,两式相减得y=1a.
圆x2+y2=4的圆心坐标为(0,0),半径为2,则圆心到公共弦所在直线的距离为1a,则有22-1a2=3,解得a=1.
答案1
4.已知点P(t,t-1),t∈R,点E是圆x2+y2=14上的动点,点F是圆(x-3)2+(y+1)2=94上的动点,则|PF|-|PE|的最大值为　　　　　.?
解析∵P(t,t-1),∴P点在直线y=x-1上,

作E关于直线y=x-1的对称点E',且圆O:x2+y2=14关于直线y=x-1对称的圆O1的方程为(x-1)2+(y+1)2=14,所以E'在圆O1上,∴|PE|=|PE'|,
设圆(x-3)2+(y+1)2=94的圆心为O2,
∴|PE'|≥|PO1|-|E'O1|,|PF|≤|PO2|+|FO2|,
∴|PF|-|PE|=|PF|-|PE'|≤(|PO2|+|FO2|)-(|PO1|-|E'O1|)=|PO2|-|PO1|+2≤|O1O2|+2=4,当P,E',F,O1,O2五点共线,E'在线段PO1上,O2在线段PF上时等号成立.
因此,|PF|-|PE|的最大值为4.
答案4
5.与圆C1:(x-1)2+y2=1,圆C2:(x-4)2+(y+4)2=4均外切的圆中,面积最小的圆的方程是　.?
解析当三圆圆心在一条直线上时,所求圆面积最小.
设所求圆的圆心坐标为(a,b),已知两圆圆心之间的距离为d=(1-4)2+(0+4)2=5,所以所求圆半径为1.由已知可知a-14-1=25,所以a=115,
b-0-4-0=25,所以b=-85,
所以所求圆的方程为x-1152+y+852=1.
答案x-1152+y+852=1
6.已知圆C1:x2+y2=5与圆C2:x2+y2-4x+3=0相交于A,B两点.
(1)求过圆C1的圆心与圆C2相切的直线方程;
(2)求圆C1与圆C2的公共弦长|AB|.
解(1)已知圆C1:x2+y2=5的圆心坐标为(0,0),半径为5,圆C2:x2+y2-4x+3=0的圆心坐标为(2,0),半径为1.
若过圆C1的圆心(0,0)与圆C2相切的直线斜率存在,则可设直线方程为y=kx,
则圆心(2,0)到直线kx-y=0的距离d=|2k|1+k2=1,
整理得3k2=1,解得k=±33,
所以直线方程为y=±33x.
若直线斜率不存在,直线不与圆C2相切.
综上所述,直线方程为y=±33x.
(2)圆C1:x2+y2=5与圆C2:x2+y2-4x+3=0相交于A,B两点,则过点A和B的直线方程为4x-3=5,即x=2.所以(0,0)到直线x=2的距离d=2,
所以弦|AB|=2(5)2-22=2.
7.如图所示,圆O1与圆O2的半径都是1,|O1O2|=4,过动点P分别作圆O1,圆O2的切线PM,PN(M,N分别为切点),使得|PM|=2|PN|.试建立适当的坐标系,求动点P的轨迹方程.

解如图所示,以直线O1O2为x轴,线段O1O2的垂直平分线为y轴,建立平面直角坐标系,则O1(-2,0),O2(2,0).

设动点P(x,y).
由题意得|PM|2=|O1P|2-|O1M|2=(x+2)2+y2-1.
同理,可得|PN|2=(x-2)2+y2-1.
因为|PM|=2|PN|,所以|PM|2=2|PN|2.
所以(x+2)2+y2-1=2[(x-2)2+y2-1],
即x2+y2-12x+3=0.
所以动点P的轨迹方程是x2+y2-12x+3=0.
素养培优练
1.已知圆方程C1:f(x,y)=0,点P1(x1,y1)在圆C1上,点P2(x2,y2)不在圆C1上,则方程f(x,y)-f(x1,y1)-f(x2,y2)=0表示的圆C2与圆C1的关系是(　　)
A.与圆C1重合
B.与圆C1同心圆
C.过P1且与圆C1圆心相同的圆
D.过P2且与圆C1圆心相同的圆
解析由题意,圆方程C1:f(x,y)=0,点P1(x1,y1)在圆C1上,点P2(x2,y2)不在圆C1上,
∴f(x1,y1)=0,f(x2,y2)≠0,
由f(x,y)-f(x1,y1)-f(x2,y2)=0,得f(x,y)=f(x2,y2)≠0,它表示过P2且与圆C1圆心相同的圆.
答案D
2.(多选)设有一组圆Ck:(x-k+1)2+(y-3k)2=2k4(k∈N*).下列四个命题中是真命题的有(　　)
A.存在一条定直线与所有的圆均相切
B.存在一条定直线与所有的圆均相交
C.存在一条定直线与所有的圆均不相交
D.所有的圆均不经过原点
解析根据题意得,圆心(k-1,3k),圆心在直线y=3(x+1)上,故存在直线y=3(x+1)与所有圆都相交,选项B正确;
考虑两圆的位置关系,
圆Ck:圆心(k-1,3k),半径为r=2k2,
圆Ck+1:圆心(k-1+1,3(k+1)),
即(k,3k+3),半径为R=2(k+1)2,
两圆的圆心距d=(k-k+1)2+(3k+3-3k)2=10,两圆的半径之差R-r=2(k+1)2-2k2=22k+2,任取k=1或2时,(R-r>d),Ck含于Ck+1之中,选项A错误;
若k取无穷大,则可以认为所有直线都与圆相交,选项C错误;
将(0,0)代入圆的方程,则有(-k+1)2+9k2=2k4,
即10k2-2k+1=2k4(k∈N*),
因为左边为奇数,右边为偶数,故不存在k使上式成立,即所有圆均不过原点,选项D正确.
答案BD
3.已知圆O1:x2+y2=25,点P在圆O2:x2+y2=r2(0 (1)求r;
(2)若点P的坐标为-165,125,与直线MN平行的直线l与圆O2交于A,B两点,则使△AOB的面积为43 的直线l有几条?并说明理由.
解(1)显然圆O1和圆O2是圆心在原点的同心圆.
连接OP,则OP⊥MN,|OM|=5,|OP|=r,
在直角三角形MOP中,|MP|=52-r2,
所以|MN|=252-r2.
由r,|OM|,|MN|成等差数列,得2|OM|=r+|MN|,即2×5=r+225-r2,解得r=4.
(2)满足题意的直线l有4条.理由如下,
因为点P的坐标为-165,125,
所以kOP=-34,所以直线l的斜率k=43,
设直线l的方程为y=43x+b,即4x-3y+3b=0.
设圆心到该直线的距离为d,则d=|3b|5,
则|AB|=242-d2,
所以S△AOB=12×|AB|×d=42-d2×d=43,
整理得d4-16d2+48=0,(d2-4)(d2-12)=0,
解得d=2或d=23,
因为d=|3b|5,从而对应的b有4个解,b=±103或b=±1033,检验知均符合题意,故使△AOB的面积为43的直线l有4条.