人教B版（2019）高中数学选择性必修第一册 2.4　曲线与方程word含答案

2.4　曲线与方程
课后篇巩固提升
基础达标练
1.下列方程中表示相同曲线的一对方程是(　　)
　　　　　　　　　　　　　　　　
A.x=y与y=x2 B.y=x与xy=1
C.y=12lg x与y=lgx D.y=x与x2-y2=0
答案C
2.方程|x|+|y|=1表示的曲线是下图中的(　　)

解析原方程可化为x≥0,y≥0,x+y=1或x≥0,y≤0,x-y=1或x≤0,y≥0,-x+y=1或x≤0,y≤0,x+y=-1,作出其图像为D.
答案D
3.已知0≤α<2π,点P(cos α,sin α)在曲线(x-2)2+y2=3上,则α的值为(　　)
A.π3 B.5π3
C.π3或5π3 D.π3或π6
解析由(cos α-2)2+sin2α=3,得cos α=12.
又0≤α<2π,∴α=π3或5π3.
答案C
4.设线段AB的两个端点A,B分别在x轴、y轴上滑动,且|AB|=5,OM=35OA+25OB,则点M的轨迹方程为(　　)
A.x29+y24=1 B.y29+x24=1
C.x225+y29=1 D.y225+x29=1
解析设M(x,y),A(x0,0),B(0,y0),由OM=35OA+25OB,得(x,y)=35(x0,0)+25(0,y0),
由x=35x0,y=25y0,解得x0=53x,y0=52y,
由|AB|=5,得53x2+52y2=25,
化简得x29+y24=1.
答案A
5.已知点A(a,2)既是曲线y=mx2上的点,也是直线x-y=0上的点,则m=　　　　　.?
解析根据点A既在曲线y=mx2上,也在直线x-y=0上,则2=ma2,a-2=0,∴a=2,m=12.
答案12
6.在平面直角坐标系xOy中,若定点A(1,2)与动点P(x,y)满足向量OP在向量OA上的投影为-5,则点P的轨迹方程是　　　　　　.?
解析由OP·OA|OA|=-5,知x+2y5=-5,
即x+2y+5=0.
答案x+2y+5=0
7.若动点P在曲线y=2x2+1上移动,则点P与点Q(0,-1)连线的中点的轨迹方程是　　　　　.?
解析设PQ的中点的坐标为(x,y),P(x0,y0),
则x=x0+02,y=y0-12,∴x0=2x,y0=2y+1.
又∵点P在曲线y=2x2+1上,
∴2y+1=8x2+1,即y=4x2.
答案y=4x2
8.若直线x+y-m=0被曲线y=x2所截得的线段长为32,求m的值.
解设直线x+y-m=0与曲线y=x2相交于A(x1,y1),B(x2,y2)两点,联立直线与曲线方程,得
x+y-m=0,y=x2. ①②
将②代入①,得x2+x-m=0,
所以x1+x2=-1,x1x2=-m,
所以|AB|=(x1-x2)2+(y1-y2)2
=1+(-1)2·|x1-x2|
=2·(x1+x2)2-4x1x2
=2·1+4m=32,
所以1+4m=3,所以m的值为2.
能力提升练
1.方程(x-y)2+(xy-1)2=0表示的曲线是(　　)
A.一条直线和一条双曲线
B.两条双曲线
C.两个点
D.以上答案都不对
解析(x-y)2+(xy-1)2=0,即x-y=0,xy-1=0.
故x=1,y=1或x=-1,y=-1.
答案C
2.下列命题正确的是(　　)
A.方程xy-2=1表示斜率为1,在y轴上的截距是2的直线
B.△ABC的顶点坐标分别为A(0,3),B(-2,0),C(2,0),则中线AO的方程是x=0
C.到x轴距离为5的点的轨迹方程是y=5
D.曲线2x2-3y2-2x+m=0通过原点的充要条件是m=0
解析对照曲线和方程的概念,A中的方程需满足y≠2;B中“中线AO的方程是x=0(0≤y≤3)”;而C中,动点的轨迹方程为|y|=5,因而只有D是正确的.
答案D
3.在直角坐标平面内,点A,B的坐标分别为(-1,0),(1,0),则满足tan∠PAB·tan∠PBA=m(m为非零常数)的点P的轨迹方程是(　　)
A.x2-y2m=1(y≠0) B.x2-y2m=1
C.x2+y2m=1(y≠0) D.x2+y2m=1
解析设P(x,y),由题意,得yx+1·yx-1=-m(m≠0),化简可得x2+y2m=1(y≠0).
答案C
4.直线y=kx+1与y=2kx-3(k为常数,且k≠0)交点的轨迹方程是　　　　　.?
解析y=kx+1与y=2kx-3联立,消去k,得y=5.
由y=kx+1=5,得kx=4.
∵k≠0,∴x≠0.
故所求的轨迹方程为y=5(x≠0).
答案y=5(x≠0)
5.已知A(-2,0),B(1,0)两点,动点P不在x轴上,且满足∠APO=∠BPO,其中O为原点,则点P的轨迹方程是　　　　　　　　.?
解析由角平分线的性质定理得|PA|=2|PB|,
设P(x,y),则(x+2)2+y2=2(x-1)2+y2,
整理得(x-2)2+y2=4(y≠0).
答案(x-2)2+y2=4(y≠0)
6.已知P为圆(x+2)2+y2=1上的动点,O为坐标原点,M为线段OP的中点,求点M的轨迹方程,并指出轨迹曲线的形状.
解设M(x,y),P(x1,y1).∵M为线段OP的中点,
∴x=x12,y=y12,即x1=2x,y1=2y,即P(2x,2y).
将P(2x,2y)代入圆的方程(x+2)2+y2=1,可得
(2x+2)2+(2y)2=1,即(x+1)2+y2=14,
此方程为点M的轨迹方程.
∴点M的轨迹曲线是以(-1,0)为圆心,12为半径的圆.
7.已知坐标平面上动点M(x,y)与两个定点P(26,1),Q(2,1),且|MP|=5|MQ|.
(1)求点M的轨迹方程,并指出轨迹曲线的形状;
(2)记(1)中轨迹曲线为C,过点N(-2,3)的直线l被C所截得的线段长度为8,求直线l的方程.
解(1)由题意,得|MP||MQ|=5,
即(x-26)2+(y-1)2(x-2)2+(y-1)2=5,
化简,得x2+y2-2x-2y-23=0,
所以点M的轨迹方程是(x-1)2+(y-1)2=25.
轨迹曲线是以(1,1)为圆心,以5为半径的圆.
(2)当直线l的斜率不存在时,l:x=-2,
此时所截得的线段长度为252-32=8,
所以l:x=-2符合题意.
当直线l的斜率存在时,设过点N(-2,3)的直线l的方程为y-3=k(x+2),
即kx-y+2k+3=0.
圆心(1,1)到l的距离d=|3k+2|k2+1.
由题意,得|3k+2|k2+12+42=52,解得k=512.
所以直线l的方程为512x-y+236=0,即5x-12y+46=0.
综上,直线l的方程为x=-2或5x-12y+46=0.
素养培优练
1.在△ABC中,已知A(2,0),B(-2,0),G,M为平面上的两点且满足GA+GB+GC=0,|MA|=|MB|=|MC|,GM∥AB,则顶点C的轨迹方程为　　　　　.?
解析设C(x,y)(y≠0),
则由GA+GB+GC=0,
即G为△ABC的重心,得Gx3,y3.
又|MA|=|MB|=|MC|,
即M为△ABC的外心,所以点M在y轴上,
又GM∥AB,则有M0,y3.
由|MC|=|MA|,
得x2+y-y32=4+y29,
化简得x24+y212=1,y≠0.
答案x24+y212=1(y≠0)
2.已知直角坐标平面上点Q(2,0)和圆O:x2+y2=1,动点M到圆O的切线长与|MQ|的比等于常数λ(λ>0),求动点M的轨迹方程,并指出轨迹曲线的形状.
解如图所示,设直线MN切圆于N点,则动点M组成的集合是P={M||MN|=λ|MQ|}(λ>0).

因为圆的半径|ON|=1,
所以|MN|2=|MO|2-|ON|2=|MO|2-1.
设点M的坐标为(x,y),
则λ2[(x-2)2+y2]=x2+y2-1,
整理,得(λ2-1)(x2+y2)-4λ2x+(1+4λ2)=0,当λ=1时,方程化为x=54,它表示一条直线;
当λ≠1时,方程化为x-2λ2λ2-12+y2=1+3λ2(λ2-1)2,它表示圆心为2λ2λ2-1,0,半径为1+3λ2|λ2-1|的圆.