人教B版（2019）高中数学选择性必修第一册 2.5.1 椭圆的标准方程word含答案
文档属性
| 名称 | 人教B版（2019）高中数学选择性必修第一册 2.5.1 椭圆的标准方程word含答案 |  | |
| 格式 | docx | ||
| 文件大小 | 84.6KB | ||
| 资源类型 | 教案 | ||
| 版本资源 | 人教B版（2019） | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2020-08-12 16:08:09 | ||
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文档简介
2.5 椭圆及其方程
2.5.1 椭圆的标准方程
课后篇巩固提升
基础达标练
1.已知F1(-3,0),F2(3,0),动点M满足|MF1|+|MF2|=5,则点M的轨迹是( )
A.点 B.椭圆 C.线段 D.不存在
解析∵F1(-3,0),F2(3,0),∴|F1F2|=6,
又|MF1|+|MF2|=5<6,∴点M的轨迹不存在.
答案D
2.已知椭圆x2a2+y2b2=1(a>b>0)的右焦点为F(3,0),点(0,-3)在椭圆上,则椭圆的方程为( )
A.x245+y236=1 B.x236+y227=1
C.x227+y218=1 D.x218+y29=1
解析由题意可得a2-b2=9,0+9b2=1,解得a2=18,b2=9,
故椭圆的方程为x218+y29=1.
答案D
3.如果方程x24-m+y2m-3=1表示焦点在y轴上的椭圆,则m的取值范围是( )
A.(3,4) B.72,+∞
C.3,72 D.72,4
解析因为方程x24-m+y2m-3=1表示焦点在y轴上的椭圆,所以4-m>0,m-3>0且m-3>4-m,
解得72 答案D
4.已知椭圆x2a2+y2b2=1(a>b>0),M为椭圆上一动点,F1为椭圆的左焦点,则线段MF1的中点P的轨迹是( )
A.圆 B.椭圆 C.线段 D.直线
解析设椭圆的右焦点为F2,
由题意,知|PO|=12|MF2|,|PF1|=12|MF1|,
又|MF1|+|MF2|=2a,
所以|PO|+|PF1|=a>|F1O|=c,
故由椭圆的定义,知P点的轨迹是椭圆.
答案B
5.已知P为椭圆C上一点,F1,F2为椭圆的焦点,且|F1F2|=23,若|PF1|与|PF2|的等差中项为|F1F2|,则椭圆C的标准方程为( )
A.x212+y29=1
B.x212+y29=1或x29+y212=1
C.x29+y212=1
D.x248+y245=1或x245+y248=1
解析由已知2c=|F1F2|=23,所以c=3.
因为2a=|PF1|+|PF2|=2|F1F2|=43,
所以a=23,所以b2=a2-c2=9.
故椭圆C的标准方程是x212+y29=1或x29+y212=1.
答案B
6.椭圆x212+y23=1的一个焦点为F1,点P在椭圆上,若线段PF1的中点M在y轴上,则点M的纵坐标为( )
A.±34 B.±22 C.±32 D.±34
解析∵线段PF1的中点M在y轴上且O是线段F1F2的中点,∴OM为△PF1F2的中位线,∴PF2⊥x轴,
∴点P的横坐标是3或-3,
∵点P在椭圆上,∴912+y23=1,即y2=34,
∴y=±32.∴点M的纵坐标为±34.
答案D
7.已知椭圆的焦点在y轴上,其上任意一点到两焦点的距离和为8,焦距为215,则此椭圆的标准方程为 .?
解析由已知2a=8,2c=215,所以a=4,c=15,
所以b2=a2-c2=16-15=1.又椭圆的焦点在y轴上,所以椭圆的标准方程为y216+x2=1.
答案y216+x2=1
8.已知椭圆x225+y29=1上的点M到该椭圆一个焦点F的距离为2,N是MF的中点,O为坐标原点,那么线段ON的长是 .?
解析设椭圆的另一个焦点为E,则|MF|+|ME|=10,
又∵|MF|=2,∴|ME|=8,又ON为△MEF的中位线,∴|ON|=12|ME|=4.
答案4
9.求满足下列条件的椭圆的标准方程.
(1)焦点在y轴上,焦距是4,且经过点M(3,2);
(2)c∶a=5∶13,且椭圆上一点到两焦点的距离的和为26.
解(1)由焦距是4可得c=2,
且焦点坐标为(0,-2),(0,2).由椭圆的定义知,2a=32+(2+2)2+32+(2-2)2=8,
所以a=4,所以b2=a2-c2=16-4=12.
又焦点在y轴上,所以椭圆的标准方程为y216+x212=1.
(2)由题意知,2a=26,即a=13,
又c∶a=5∶13,所以c=5,
所以b2=a2-c2=132-52=144,
因为焦点所在的坐标轴不确定,所以椭圆的标准方程为x2169+y2144=1或y2169+x2144=1.
10.已知椭圆M与椭圆N:x216+y212=1有相同的焦点,且椭圆M过点-1,255.
(1)求椭圆M的标准方程;
(2)设椭圆M的左、右焦点分别为F1,F2,点P在椭圆M上,且△PF1F2的面积为1,求点P的坐标.
解(1)由题意,知椭圆N的焦点为(-2,0),(2,0),
设椭圆M的方程为x2a2+y2b2=1(a>b>0),
则a2-b2=4,1a2+45b2=1,
化简并整理得5b4+11b2-16=0,
故b2=1或b2=-165(舍),a2=5,
故椭圆M的标准方程为x25+y2=1.
(2)由(1)知F1(-2,0),F2(2,0),设P(x0,y0),则△PF1F2的面积为12×4×|y0|=1,得y0=±12.
又x025+y02=1,所以x02=154,x0=±152,
所以点P有4个,它们的坐标分别为152,12,-152,12,152,-12,-152,-12.
能力提升练
1.
如图所示,A是圆O内一定点,B是圆周上一个动点,AB的中垂线CD与OB交于E,则点E的轨迹是( )
A.圆 B.椭圆
C.双曲线 D.抛物线
解析根据垂直平分线的性质可得|EA|=|EB|,
∴|EO|+|EA|=|OB|>|OA|,
即点E到点O和点A的距离之和等于圆的半径|OB|,且|OB|>|OA|,
根据椭圆的定义可得点E的轨迹是以点O和点A为焦点的椭圆.
答案B
2.设定点F1(0,-3),F2(0,3),动点P满足条件|PF1|-a=9a-|PF2|(a>0),则点P的轨迹是( )
A.椭圆 B.线段
C.不存在 D.椭圆或线段
解析由题意得,|PF1|-a=9a-|PF2|(a>0),
所以|PF1|+|PF2|=a+9a≥2a·9a=6,
当且仅当a=9a时取等号,此时a=3,
则|PF1|+|PF2|≥6,
因为定点F1(0,-3),F2(0,3),所以|F1F2|=6,
当|PF1|+|PF2|=6时,点P的轨迹是线段F1F2;
当|PF1|+|PF2|>6时,点P的轨迹是以F1,F2为焦点的椭圆.
答案D
3.(多选)设P是椭圆C:x22+y2=1上任意一点,F1,F2是椭圆C的左、右焦点,则( )
A.|PF1|+|PF2|=22
B.-2<|PF1|-|PF2|<2
C.1≤|PF1|·|PF2|≤2
D.0≤PF1·PF2≤1
解析椭圆C:x22+y2=1,可得a=2,b=c=1,P是椭圆C:x22+y2=1上任意一点,F1,F2是椭圆C的左、右焦点,所以|PF1|+|PF2|=22,A正确;
-2≤|PF1|-|PF2|≤2,所以B错误;
设P点坐标为(2cos θ,sin θ),
则|PF1|·|PF2|=(2cosθ-1)2+sin2θ·(2cosθ+1)2+sin2θ=2+cos2θ-22cosθ·2+cos2θ+22cosθ=(2+cos2θ)2-8cos2θ=2-cos2θ∈[1,2],所以C正确;
因为PF1·PF2=(2cos θ+1,sin θ)·(2cos θ-1,sin θ)=2cos2θ-1+sin2θ=cos2θ∈[0,1],所以D正确.
答案ACD
4.已知两定点M(-1,0),N(1,0),直线l:y=x-3,在l上满足|PM|+|PN|=22的点P有( )
A.0个 B.1个
C.2个 D.0个或1个或2个
解析由椭圆的定义可知,点P的轨迹是以M,N为焦点的椭圆,故c=1,a=2,b=1,其方程是x22+y2=1,
把y=x-3代入椭圆方程并整理得3x2-43x+4=0,∵Δ=(-43)2-4×3×4=0,
∴在l上满足|PM|+|PN|=22的点P有1个.
答案B
5.已知F1,F2是椭圆x29+y27=1的两个焦点,A为椭圆上一点,且∠AF1F2=45°,则△AF1F2的面积为 ,此时|AF2|= .?
解析如图,由x29+y27=1,
知a2=9,b2=7,c2=2.
所以a=3,b=7,c=2.
所以|F1F2|=22.
设|AF1|=x,则|AF2|=6-x.
因为∠AF1F2=45°,
所以(6-x)2=x2+8-42x·22.所以x=72.
所以S△AF1F2=12×22×72×22=72.
|AF2|=6-72=52.
答案72 52
6.已知定点A(0,-2),点B在圆C:x2+y2-4y-32=0上运动,C为圆心,线段AB的垂直平分线交BC于点P,则动点P的轨迹E的方程为 .?
解析由题意,得|PA|=|PB|,
∴|PA|+|PC|=|PB|+|PC|=r=6>|AC|=4,
∴点P的轨迹E是以A,C为焦点的椭圆,其中c=2,a=3,∴b=5,∴椭圆方程为y29+x25=1.
答案y29+x25=1
7.已知F1(-c,0),F2(c,0)为椭圆x2a2+y2b2=1(a>b>0)的两个焦点,P在椭圆上,且△PF1F2的面积为22b2,求cos∠F1PF2的值.
解依题意可得
|PF1|2+|PF2|2+2|PF1||PF2|=4a2,|PF1|2+|PF2|2-2|PF1||PF2|cos∠F1PF2=4c2,
整理得|PF1|·|PF2|=2b21+cos∠F1PF2.
∵△PF1F2的面积为22b2,
∴12×2b21+cos∠F1PF2×sin∠F1PF2=22b2,
∴1+cos∠F1PF2=2sin∠F1PF2,
又∵sin2∠F1PF2+cos2∠F1PF2=1,
∴cos∠F1PF2=13(cos∠F1PF2=-1舍去).
8.已知x轴上一定点A(1,0),Q为椭圆x24+y2=1上任意一点,求AQ的中点M的轨迹方程.
解设中点M的坐标为(x,y),点Q的坐标为(x0,y0),利用中点公式,得x=x0+12,y=y02,所以x0=2x-1,y0=2y.
因为Q(x0,y0)在椭圆x24+y2=1上,
所以x024+y02=1.将x0=2x-1,y0=2y代入上式,得(2x-1)24+(2y)2=1.故所求AQ的中点M的轨迹方程是x-122+4y2=1.
素养培优练
如图,椭圆C:x2a2+y2b2=1(a>b>0)经过点M43,13,且点M到椭圆的两焦点的距离之和为22.
(1)求椭圆C的标准方程;
(2)若R,S是椭圆C上的两个点,线段RS的中垂线l的斜率为12且直线l与RS交于点P,O为坐标原点,求证:P,O,M三点共线.
(1)解∵点M到椭圆的两焦点的距离之和为22,
∴2a=22,解得a=2.
又椭圆C经过点M43,13,
∴432a2+132b2=1,解得b2=1.
∴椭圆C的标准方程为x22+y2=1.
(2)证明∵线段RS的中垂线l的斜率为12,
∴直线RS的斜率为-2,
∴可设直线RS的方程为y=-2x+m.
联立y=-2x+m,x22+y2=1,得9x2-8mx+2m2-2=0.
设点R(x1,y1),S(x2,y2),P(x0,y0),
∴x1+x2=8m9,y1+y2=-2x1+m-2x2+m
=-2(x1+x2)+2m=-2·8m9+2m=2m9,
则x0=x1+x22=4m9,y0=y1+y22=m9.
∵y0x0=14,∴y0=14x0,
∴点P在直线y=14x上,
又点O(0,0),M43,13也在直线y=14x上,
∴P,O,M三点共线.
2.5.1 椭圆的标准方程
课后篇巩固提升
基础达标练
1.已知F1(-3,0),F2(3,0),动点M满足|MF1|+|MF2|=5,则点M的轨迹是( )
A.点 B.椭圆 C.线段 D.不存在
解析∵F1(-3,0),F2(3,0),∴|F1F2|=6,
又|MF1|+|MF2|=5<6,∴点M的轨迹不存在.
答案D
2.已知椭圆x2a2+y2b2=1(a>b>0)的右焦点为F(3,0),点(0,-3)在椭圆上,则椭圆的方程为( )
A.x245+y236=1 B.x236+y227=1
C.x227+y218=1 D.x218+y29=1
解析由题意可得a2-b2=9,0+9b2=1,解得a2=18,b2=9,
故椭圆的方程为x218+y29=1.
答案D
3.如果方程x24-m+y2m-3=1表示焦点在y轴上的椭圆,则m的取值范围是( )
A.(3,4) B.72,+∞
C.3,72 D.72,4
解析因为方程x24-m+y2m-3=1表示焦点在y轴上的椭圆,所以4-m>0,m-3>0且m-3>4-m,
解得72
4.已知椭圆x2a2+y2b2=1(a>b>0),M为椭圆上一动点,F1为椭圆的左焦点,则线段MF1的中点P的轨迹是( )
A.圆 B.椭圆 C.线段 D.直线
解析设椭圆的右焦点为F2,
由题意,知|PO|=12|MF2|,|PF1|=12|MF1|,
又|MF1|+|MF2|=2a,
所以|PO|+|PF1|=a>|F1O|=c,
故由椭圆的定义,知P点的轨迹是椭圆.
答案B
5.已知P为椭圆C上一点,F1,F2为椭圆的焦点,且|F1F2|=23,若|PF1|与|PF2|的等差中项为|F1F2|,则椭圆C的标准方程为( )
A.x212+y29=1
B.x212+y29=1或x29+y212=1
C.x29+y212=1
D.x248+y245=1或x245+y248=1
解析由已知2c=|F1F2|=23,所以c=3.
因为2a=|PF1|+|PF2|=2|F1F2|=43,
所以a=23,所以b2=a2-c2=9.
故椭圆C的标准方程是x212+y29=1或x29+y212=1.
答案B
6.椭圆x212+y23=1的一个焦点为F1,点P在椭圆上,若线段PF1的中点M在y轴上,则点M的纵坐标为( )
A.±34 B.±22 C.±32 D.±34
解析∵线段PF1的中点M在y轴上且O是线段F1F2的中点,∴OM为△PF1F2的中位线,∴PF2⊥x轴,
∴点P的横坐标是3或-3,
∵点P在椭圆上,∴912+y23=1,即y2=34,
∴y=±32.∴点M的纵坐标为±34.
答案D
7.已知椭圆的焦点在y轴上,其上任意一点到两焦点的距离和为8,焦距为215,则此椭圆的标准方程为 .?
解析由已知2a=8,2c=215,所以a=4,c=15,
所以b2=a2-c2=16-15=1.又椭圆的焦点在y轴上,所以椭圆的标准方程为y216+x2=1.
答案y216+x2=1
8.已知椭圆x225+y29=1上的点M到该椭圆一个焦点F的距离为2,N是MF的中点,O为坐标原点,那么线段ON的长是 .?
解析设椭圆的另一个焦点为E,则|MF|+|ME|=10,
又∵|MF|=2,∴|ME|=8,又ON为△MEF的中位线,∴|ON|=12|ME|=4.
答案4
9.求满足下列条件的椭圆的标准方程.
(1)焦点在y轴上,焦距是4,且经过点M(3,2);
(2)c∶a=5∶13,且椭圆上一点到两焦点的距离的和为26.
解(1)由焦距是4可得c=2,
且焦点坐标为(0,-2),(0,2).由椭圆的定义知,2a=32+(2+2)2+32+(2-2)2=8,
所以a=4,所以b2=a2-c2=16-4=12.
又焦点在y轴上,所以椭圆的标准方程为y216+x212=1.
(2)由题意知,2a=26,即a=13,
又c∶a=5∶13,所以c=5,
所以b2=a2-c2=132-52=144,
因为焦点所在的坐标轴不确定,所以椭圆的标准方程为x2169+y2144=1或y2169+x2144=1.
10.已知椭圆M与椭圆N:x216+y212=1有相同的焦点,且椭圆M过点-1,255.
(1)求椭圆M的标准方程;
(2)设椭圆M的左、右焦点分别为F1,F2,点P在椭圆M上,且△PF1F2的面积为1,求点P的坐标.
解(1)由题意,知椭圆N的焦点为(-2,0),(2,0),
设椭圆M的方程为x2a2+y2b2=1(a>b>0),
则a2-b2=4,1a2+45b2=1,
化简并整理得5b4+11b2-16=0,
故b2=1或b2=-165(舍),a2=5,
故椭圆M的标准方程为x25+y2=1.
(2)由(1)知F1(-2,0),F2(2,0),设P(x0,y0),则△PF1F2的面积为12×4×|y0|=1,得y0=±12.
又x025+y02=1,所以x02=154,x0=±152,
所以点P有4个,它们的坐标分别为152,12,-152,12,152,-12,-152,-12.
能力提升练
1.
如图所示,A是圆O内一定点,B是圆周上一个动点,AB的中垂线CD与OB交于E,则点E的轨迹是( )
A.圆 B.椭圆
C.双曲线 D.抛物线
解析根据垂直平分线的性质可得|EA|=|EB|,
∴|EO|+|EA|=|OB|>|OA|,
即点E到点O和点A的距离之和等于圆的半径|OB|,且|OB|>|OA|,
根据椭圆的定义可得点E的轨迹是以点O和点A为焦点的椭圆.
答案B
2.设定点F1(0,-3),F2(0,3),动点P满足条件|PF1|-a=9a-|PF2|(a>0),则点P的轨迹是( )
A.椭圆 B.线段
C.不存在 D.椭圆或线段
解析由题意得,|PF1|-a=9a-|PF2|(a>0),
所以|PF1|+|PF2|=a+9a≥2a·9a=6,
当且仅当a=9a时取等号,此时a=3,
则|PF1|+|PF2|≥6,
因为定点F1(0,-3),F2(0,3),所以|F1F2|=6,
当|PF1|+|PF2|=6时,点P的轨迹是线段F1F2;
当|PF1|+|PF2|>6时,点P的轨迹是以F1,F2为焦点的椭圆.
答案D
3.(多选)设P是椭圆C:x22+y2=1上任意一点,F1,F2是椭圆C的左、右焦点,则( )
A.|PF1|+|PF2|=22
B.-2<|PF1|-|PF2|<2
C.1≤|PF1|·|PF2|≤2
D.0≤PF1·PF2≤1
解析椭圆C:x22+y2=1,可得a=2,b=c=1,P是椭圆C:x22+y2=1上任意一点,F1,F2是椭圆C的左、右焦点,所以|PF1|+|PF2|=22,A正确;
-2≤|PF1|-|PF2|≤2,所以B错误;
设P点坐标为(2cos θ,sin θ),
则|PF1|·|PF2|=(2cosθ-1)2+sin2θ·(2cosθ+1)2+sin2θ=2+cos2θ-22cosθ·2+cos2θ+22cosθ=(2+cos2θ)2-8cos2θ=2-cos2θ∈[1,2],所以C正确;
因为PF1·PF2=(2cos θ+1,sin θ)·(2cos θ-1,sin θ)=2cos2θ-1+sin2θ=cos2θ∈[0,1],所以D正确.
答案ACD
4.已知两定点M(-1,0),N(1,0),直线l:y=x-3,在l上满足|PM|+|PN|=22的点P有( )
A.0个 B.1个
C.2个 D.0个或1个或2个
解析由椭圆的定义可知,点P的轨迹是以M,N为焦点的椭圆,故c=1,a=2,b=1,其方程是x22+y2=1,
把y=x-3代入椭圆方程并整理得3x2-43x+4=0,∵Δ=(-43)2-4×3×4=0,
∴在l上满足|PM|+|PN|=22的点P有1个.
答案B
5.已知F1,F2是椭圆x29+y27=1的两个焦点,A为椭圆上一点,且∠AF1F2=45°,则△AF1F2的面积为 ,此时|AF2|= .?
解析如图,由x29+y27=1,
知a2=9,b2=7,c2=2.
所以a=3,b=7,c=2.
所以|F1F2|=22.
设|AF1|=x,则|AF2|=6-x.
因为∠AF1F2=45°,
所以(6-x)2=x2+8-42x·22.所以x=72.
所以S△AF1F2=12×22×72×22=72.
|AF2|=6-72=52.
答案72 52
6.已知定点A(0,-2),点B在圆C:x2+y2-4y-32=0上运动,C为圆心,线段AB的垂直平分线交BC于点P,则动点P的轨迹E的方程为 .?
解析由题意,得|PA|=|PB|,
∴|PA|+|PC|=|PB|+|PC|=r=6>|AC|=4,
∴点P的轨迹E是以A,C为焦点的椭圆,其中c=2,a=3,∴b=5,∴椭圆方程为y29+x25=1.
答案y29+x25=1
7.已知F1(-c,0),F2(c,0)为椭圆x2a2+y2b2=1(a>b>0)的两个焦点,P在椭圆上,且△PF1F2的面积为22b2,求cos∠F1PF2的值.
解依题意可得
|PF1|2+|PF2|2+2|PF1||PF2|=4a2,|PF1|2+|PF2|2-2|PF1||PF2|cos∠F1PF2=4c2,
整理得|PF1|·|PF2|=2b21+cos∠F1PF2.
∵△PF1F2的面积为22b2,
∴12×2b21+cos∠F1PF2×sin∠F1PF2=22b2,
∴1+cos∠F1PF2=2sin∠F1PF2,
又∵sin2∠F1PF2+cos2∠F1PF2=1,
∴cos∠F1PF2=13(cos∠F1PF2=-1舍去).
8.已知x轴上一定点A(1,0),Q为椭圆x24+y2=1上任意一点,求AQ的中点M的轨迹方程.
解设中点M的坐标为(x,y),点Q的坐标为(x0,y0),利用中点公式,得x=x0+12,y=y02,所以x0=2x-1,y0=2y.
因为Q(x0,y0)在椭圆x24+y2=1上,
所以x024+y02=1.将x0=2x-1,y0=2y代入上式,得(2x-1)24+(2y)2=1.故所求AQ的中点M的轨迹方程是x-122+4y2=1.
素养培优练
如图,椭圆C:x2a2+y2b2=1(a>b>0)经过点M43,13,且点M到椭圆的两焦点的距离之和为22.
(1)求椭圆C的标准方程;
(2)若R,S是椭圆C上的两个点,线段RS的中垂线l的斜率为12且直线l与RS交于点P,O为坐标原点,求证:P,O,M三点共线.
(1)解∵点M到椭圆的两焦点的距离之和为22,
∴2a=22,解得a=2.
又椭圆C经过点M43,13,
∴432a2+132b2=1,解得b2=1.
∴椭圆C的标准方程为x22+y2=1.
(2)证明∵线段RS的中垂线l的斜率为12,
∴直线RS的斜率为-2,
∴可设直线RS的方程为y=-2x+m.
联立y=-2x+m,x22+y2=1,得9x2-8mx+2m2-2=0.
设点R(x1,y1),S(x2,y2),P(x0,y0),
∴x1+x2=8m9,y1+y2=-2x1+m-2x2+m
=-2(x1+x2)+2m=-2·8m9+2m=2m9,
则x0=x1+x22=4m9,y0=y1+y22=m9.
∵y0x0=14,∴y0=14x0,
∴点P在直线y=14x上,
又点O(0,0),M43,13也在直线y=14x上,
∴P,O,M三点共线.