人教B版（2019）高中数学选择性必修第一册 2.5.2　椭圆的几何性质word含答案

2.5.2　椭圆的几何性质
课后篇巩固提升
基础达标练
1.过椭圆x24+y23=1的焦点的最长弦和最短弦的长分别为(　　)
　　 　　　　　　　　　　　　　　
A.8,6 B.4,3 C.2,3 D.4,23
解析由题意知a=2,b=3,c=1,最长弦过两个焦点,长为2a=4,最短弦垂直于x轴,长度为当x=c=1时,纵坐标的绝对值的2倍为3.
答案B
2.(多选)已知椭圆x2a2+y2b2=1与椭圆x225+y216=1有相同的长轴,椭圆x2a2+y2b2=1的短轴长与椭圆y221+x29=1的短轴长相等,则下列结论不正确的有(　　)
A.a2=25,b2=16
B.a2=9,b2=25
C.a2=25,b2=9或a2=9,b2=25
D.a2=25,b2=9
解析椭圆x225+y216=1的长轴长为10,椭圆y221+x29=1的短轴长为6,由题意可知椭圆x2a2+y2b2=1的焦点在x轴上,即有a=5,b=3.
答案ABC
3.椭圆x2+my2=1的焦点在y轴上,长轴长是短轴长的2倍,则m的值为(　　)
A.12 B.14 C.2 D.4
解析椭圆x2+my2=1的焦点在y轴上,半短轴长为1,长轴长是短轴长的2倍,故1m=2,解得m=14.
答案B
4.

(多选)如图,椭圆Ⅰ与Ⅱ有公共的左顶点和左焦点,且椭圆Ⅱ的右顶点为椭圆Ⅰ的中心.设椭圆Ⅰ与Ⅱ的半长轴长分别为a1和a2,半焦距分别为c1和c2,离心率分别为e1,e2,则下列结论正确的是(　　)
A.a1+c1>2(a2+c2) B.a1-c1=a2-c2
C.a1c2>a2c1 D.e1=e2+12
解析由题图知,a1=2a2,c1>2c2,
∴a1+c1>2(a2+c2),2a1c2<2a2c1,即a1c2 ∵椭圆Ⅰ与Ⅱ有公共的左顶点和左焦点,且椭圆Ⅱ的右顶点为椭圆Ⅰ的中心,∴a1-c1=a2-c2,故B正确;
由图知,c1=a2+c2,
∴e1=c1a1=a2+c22a2=e2+12,故D正确.
答案ABD
5.已知长方形ABCD,AB=4,BC=3,则以A,B为焦点,且过C,D的椭圆的离心率为　　　　　.?

解析如图,|AB|=2c=4,
∵点C在椭圆上,
∴|CB|+|CA|=2a=3+5=8,∴e=2c2a=48=12.
答案12
6.若椭圆x2k+8+y29=1的离心率e=12,则k的值为　　　　　.?
解析(1)若焦点在x轴上,即k+8>9时,a2=k+8,b2=9,e2=c2a2=a2-b2a2=k-1k+8=14,解得k=4.
(2)若焦点在y轴上,
即0 e2=c2a2=a2-b2a2=1-k9=14,解得k=-54.
综上所述,k=4或k=-54.
答案4或-54
7.阿基米德(公元前287年—公元前212年)不仅是著名的物理学家,也是著名的数学家,他最早利用“逼近法”得到椭圆的面积除以圆周率等于椭圆的半长轴长与半短轴长的乘积.若椭圆C的对称轴为坐标轴,焦点在y轴上,且椭圆C的离心率为45,面积为20π,则椭圆C的标准方程为　　　　　.?
解析设椭圆C的方程为y2a2+x2b2=1(a>b>0),
椭圆C的面积为S=πab=20π,
又e=1-b2a2=45,解得a2=1003,b2=12,
所以椭圆C的方程为y21003+x212=1.
答案y21003+x212=1
8.已知椭圆C:4x2+9y2=36.求椭圆的长轴长,焦点坐标和离心率.
解椭圆C:4x2+9y2=36的标准方程为x29+y24=1,
所以a=3,b=2,c=a2-b2=9-4=5,
所以椭圆的长轴长2a=6,焦点坐标(-5,0),(5,0),离心率e=ca=53.
9.(1)求与椭圆x29+y24=1有相同的焦点,且离心率为55的椭圆的标准方程;
(2)已知椭圆的两个焦点间的距离为8,两个顶点坐标分别是(-6,0),(6,0),求焦点在x轴上的椭圆的标准方程.
解(1)∵c=9-4=5,
∴所求椭圆的焦点为(-5,0),(5,0).
设所求椭圆的方程为x2a2+y2b2=1(a>b>0).
∵e=ca=55,c=5,∴a=5,b2=a2-c2=20,
∴所求椭圆的方程为x225+y220=1.
(2)∵椭圆的焦点在x轴上,
∴设它的标准方程为x2a2+y2b2=1(a>b>0),
∵2c=8,∴c=4,又a=6,∴b2=a2-c2=20.
∴椭圆的方程为x236+y220=1.
能力提升练
1.已知椭圆x24+y2=1,F1,F2分别是椭圆的左、右焦点,点P为椭圆上的任意一点,则1|PF1|+1|PF2|的取值范围为(　　)
A.[1,2] B.[2,3]
C.[2,4] D.[1,4]
解析根据椭圆的定义|PF1|+|PF2|=2a=4,
设m=|PF1|,n=|PF2|,
则m+n=4,m,n∈[a-c,a+c],
即m,n∈[2-3,2+3],则1|PF1|+1|PF2|=1m+1n=4m(4-m)=4-(m-2)2+4∈[1,4].
答案D
2.已知椭圆E:x2a2+y2b2=1(a>b>0)的右焦点为F,短轴的一个端点为M,直线l:3x-4y=0交椭圆E于A,B两点.若|AF|+|BF|=4,点M到直线l的距离不小于45,则椭圆E的离心率的取值范围是(　　)
A.0,32 B.0,34
C.32,1 D.34,1
解析设左焦点为F0,连接F0A,F0B,则四边形AFBF0为平行四边形.

∵|AF|+|BF|=4,∴|AF|+|AF0|=4,∴a=2.
设M(0,b),则4b5≥45,∴1≤b<2.离心率e=ca=c2a2=a2-b2a2=4-b24∈0,32,故选A.
答案A
3.(多选)我们通常称离心率为5-12的椭圆为“黄金椭圆”.如图,已知椭圆C:x2a2+y2b2=1(a>b>0),A1,A2,B1,B2为顶点,F1,F2为焦点,P为椭圆上一点,满足下列条件能使椭圆C为“黄金椭圆”的有(　　)

A.|A1F1|,|F1F2|,|F2A2|为等比数列
B.∠F1B1A2=90°
C.PF1⊥x轴,且PO∥A2B1
D.四边形A1B2A2B1的内切圆过焦点F1,F2
解析A中若成等比数列,则(2c)2=(a-c)(a-c),
即2c=a-c或2c=c-a(舍),
解得ca=13≠5-12,所以A不正确;
B项,若∠F1B1A2=90°,
则由射影定理可得|OB1|2=|F1O|·|OA2|,
即b2=ca,所以c2+ac-a2=0,
即e2+e-1=0,e∈(0,1),解得e=5-12,
所以B正确;
C项,若PF1⊥x轴,所以P-c,b2a,又PO∥A2B1,则斜率相等,所以b2a-c=b-a,即b=c,所以e=ca=cc2+c2=22,所以C不正确;
D项,因为四边形为菱形,则其内切圆的圆心为原点,由圆的对称性可知,圆心到直线A2B2的距离等于c,因为直线A2B2的方程为xa-yb=1,即bx-ay-ab=0,所以原点到直线的距离d=aba2+b2,
由题意知aba2+b2=c,又b2=a2-c2,
整理得a2(a2-c2)=c2(2a2-c2),e4-3e2+1=0,e2∈(0,1),解得e2=3-52,
所以e=3-52=5-12,所以D正确.
答案BD
4.若椭圆x2a2+y2b2=1(a>b>0)的左、右焦点分别为F1,F2,线段F1F2被点b2,0分成5∶3的两段,则此椭圆的离心率为(　　)
A.1617 B.41717
C.45 D.255
解析依题意得c+b2c-b2=53,即c=2b.
∵a2-b2=c2,∴a=b2+c2=5b.
∴e=ca=255.
答案D
5.已知F是椭圆C:x2a2+y2b2=1(a>b>0)的一个焦点,P是C上的任意一点,则|FP|称为椭圆C的焦半径.设C的左顶点与上顶点分别为A,B,若存在以A为圆心,|FP| 为半径的圆经过点B,则椭圆C的离心率的最小值为　　　　　.?
解析如图,|AB|=a2+b2,a-c≤|PF|≤a+c,

由题意可得,a-c≤a2+b2≤a+c,
不等式左边恒成立,则a2+b2≤a+c,
两边平方整理得2e2+2e-1≥0,
解得e≤-1-32(舍)或e≥3-12.
∴椭圆C的离心率的最小值为3-12.
答案3-12
6.(1)计算:
①若A1,A2是椭圆x29+y24=1长轴的两个端点,P(0,2),则kPA1·kPA2=　　　　　;?
②若A1,A2是椭圆x29+y24=1长轴的两个端点,P-5,43,则kPA1·kPA2=　　　　　;?
③若A1,A2是椭圆x29+y24=1长轴的两个端点,P1,-423,则kPA1·kPA2=　　　　　.?
(2)观察①②③,由此可得到:若A1,A2是椭圆x2a2+y2b2=1(a>b>0)长轴的两个端点,P为椭圆上任意一点,则kPA1·kPA2=?并证明你的结论.
解(1)①由椭圆方程可得A1(-3,0),A2(3,0),又P(0,2),∴kPA1·kPA2=2-00+3×2-00-3=-49.
②由椭圆方程可得A1(-3,0),A2(3,0),
又P-5,43,
∴kPA1·kPA2=43-03-5×43-0-3-5=-49.
③由椭圆方程可得A1(-3,0),A2(3,0),
又P1,-423,
∴kPA1·kPA2=-423-01+3×-4231-3=-49.
(2)若A1,A2是椭圆x2a2+y2b2=1(a>b>0)长轴的两个端点,P为椭圆上任意一点,则kPA1·kPA2=-b2a2.
证明如下:设P(x0,y0).
由题意kPA1=y0-0x0+a,kPA2=y0-0x0-a,
则kPA1·kPA2=y0-0x0+a·y0-0x0-a=y02x02-a2.
又P为椭圆上任意一点,满足x02a2+y02b2=1,得y02=b21-x02a2,
代入可得kPA1·kPA2=b21-x02a2x02-a2=-b2a2,得证.
7.如图,已知椭圆x2a2+y2b2=1(a>b>0),F1,F2分别为椭圆的左、右焦点,A为椭圆的上顶点,直线AF2交椭圆于另一点B.

(1)若∠F1AB=90°,求椭圆的离心率;
(2)若椭圆的焦距为2,且AF2=2F2B,求椭圆的方程.
解(1)由∠F1AB=90°及椭圆的对称性知b=c,
则e=ca=c2a2=c2b2+c2=22.
(2)由已知a2-b2=1,F2(1,0),A(0,b),
设B(x,y),
则AF2=(1,-b),F2B=(x-1,y),
由AF2=2F2B,即(1,-b)=2(x-1,y),
解得x=32,y=-b2,则94a2+b24b2=1,
得a2=3,因此b2=2,椭圆的方程为x23+y22=1.
8.已知F1,F2是椭圆的两个焦点,P为椭圆上一点,∠F1PF2=60°.
(1)求椭圆的离心率的取值范围;
(2)求证:△F1PF2的面积只与椭圆的短轴长有关.
(1)解不妨设椭圆方程为x2a2+y2b2=1(a>b>0),
由余弦定理得
cos 60°=|PF1|2+|PF2|2-|F1F2|22|PF1|·|PF2|=
(|PF1|+|PF2|)2-2|PF1|·|PF2|-|F1F2|22|PF1|·|PF2|,
所以|PF1|·|PF2|=4a2-2|PF1|·|PF2|-4c2,
所以3|PF1|·|PF2|=4b2,
所以|PF1|·|PF2|=4b23.
又因为|PF1|·|PF2|≤|PF1|+|PF2|22=a2,
所以3a2≥4(a2-c2),所以ca≥12,所以e≥12.
又因为椭圆中0 所以所求椭圆的离心率的取值范围是12,1.
(2)证明由(1)可知|PF1|·|PF2|=43b2,
S△F1PF2=12|PF1|·|PF2|sin 60°
=12×43b2×32
=33b2.
所以△F1PF2的面积只与椭圆的短轴长有关.
素养培优练
1.(多选)某颗人造地球卫星的运行轨道是以地球的中心F为一个焦为的椭圆,如图所示,已知它的近地点A(离地面最近的点)距地面m千米,远地点B(离地面最远的点)距地面n千米,并且F,A,B三点在同一直线上,地球半径约为R千米,设该椭圆的长轴长、短轴长、焦距分别为2a,2b,2c,则(　　)

A.a-c=m+R B.a+c=n+R
C.2a=m+n D.b=(m+R)(n+R)
解析椭圆的半长轴长为a,半短轴长为b,半焦距为c,则由题意可知a-c-R=m,a+c-R=n,可得a-c=m+R,所以A正确;a+c=R+n,所以B正确;可得a=m+n2+R,c=n-m2,所以C不正确;b2=a2-c2=m+n2+R2-n-m22=(m+R)(n+R),则b=(m+R)(n+R),所以D正确.
答案ABD
2.已知椭圆x2a2+y2b2=1的坐标原点为点O,有长轴上一端点坐标为(2,0),离心率e=32,过椭圆右焦点倾斜角为30°的直线交椭圆于A,B两点.
(1)求椭圆的方程;
(2)求三角形OAB的面积.
解(1)由题意可知焦点在x轴上,则a=2,
e=ca=32,c=3,由a2=b2+c2,解得b2=1,
∴椭圆方程为x24+y2=1.
(2)由题意可知右焦点(3,0),则直线方程为y=33(x-3),即y=33x-1,
设A(x1,y1),B(x2,y2),
将直线方程代入椭圆方程整理得7x2-83x=0,
由根与系数的关系x1+x2=837,x1·x2=0,
由弦长公式|AB|=1+13×8372=167,
原点O到直线的距离为d=|1|1+332=32,
∴△OAB的面积S=12×d×|AB|=12×32×167=437.∴△OAB的面积S=437.